数字信号处理：dsp03 离散信号和抽样定理

1、数字信号处理2.离散信号和抽样定理 8/11/20221马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率连续信号的离散化 , 或 连续信号 （连续时间函数）抽样：对连续信号按一定的时间间隔 进行取值，得到 抽样（采样）间隔 离散信号或时间序列 8/11/20222马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率例1 连续信号为按间隔 抽样得离散信号为例2 连续信号为8/11/20223马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率 则相应的离散信号为 （整体） （局部） 在一定条件下带限信号的抽样定理 连续信号 和它的频谱 的关系：8/11/20224马尽文2.1连续信号的离散化

2、，带限信号与奈奎斯特频率 如果频谱 满足： 其中 为一个实数， 为正数，则称 为带限的。 对于带限信号，则有 将 展开为傅里叶级数：8/11/20225马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率比较前面的公式，得令 则得到 代入得反过来由傅立叶逆变换得8/11/20226马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率 带限信号抽样定理：设 为带限信号，当 时，可由信号 的离散值 可恢复出频谱 和信号 。C. 实信号的奈奎斯特频率和抽样定理 设 为实连续信号，它的频谱为 ，则 设 由上面关系得：8/11/20227马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率 由于振幅 是

3、偶函数，一个实信号是带限的，频谱非零的区域必是以0为中心的区间。因此，实信号 是带限的，可用截频 表示： 比较前面的带限情况，则有 取抽样间隔 满足 则 这时带限信号中8/11/20228马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率抽样定理1：设实信号 有截频 ，取抽样间隔 满足 ，则由离散信号 可恢复频谱 和信号 ，它们的表达式为 称 为抽样频率，称 为奈奎斯特频率。8/11/20229马尽文2.1连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率注意：比截频 大的任何频率也是截频，因此，奈奎斯特频率应指最小截频。8/11/202210马尽文2.2 离散信号的频谱和抽样定理A.离散信号的频谱

4、离散信号 的频谱定义为 显然， 是一个周期为 的周期函数，且 因此，8/11/202211马尽文2.2离散信号的频谱和抽样定理 当 当上式不成立时， 如何表示 ？B. 抽样定理2 根据信号与频谱的关系，我们有 将 分解成可列个小区间： 于是有 8/11/202212马尽文2.2离散信号的频谱和抽样定理抽样定理2:设连续信号 的频谱为 ，离散信号 的频谱为 ，则它们的关系为8/11/202213马尽文2.2离散信号的频谱和抽样定理 抽样定理2的直观意义：将 分成许多小段，以 为基础。左右每隔 取一段，然后将各段叠加起来，最后得到 。 见下页抽样定理2示意图8/11/202214马尽文2.2离散信

5、号的频谱和抽样定理8/11/202215马尽文2.2离散信号的频谱和抽样定理C. 重抽样定理对于 ，当 太小时，数据过大。这时则需要重（二次）抽样，取 ，其中 是一个固定的正整数。设连续信号 的频谱为： 因此， 。进一步以 为间隔对 进行抽样。按照抽样定理2，有8/11/202216马尽文2.2离散信号的频谱和抽样定理重抽样定理1：设原始离散信号 的频谱为 ，重抽样后的离散信号 的频谱为 ，则两个频谱的关系如下： 其中 由前面定义给出。 意义（同抽样定理2类似） 例 见下页图示，重抽样后的频谱8/11/202217马尽文2.2离散信号的频谱和抽样定理8/11/202218马尽文2.2离散信号的

6、频谱和抽样定理重抽样定理2：设原始离散信号 的频谱为 ，重抽样后的离散信号 的频谱为 ，其中 ，则两个频谱有如下关系： 证明：设产生离散信号的原始连续信号为 ，相应的频谱为 。根据抽样定理2，得 8/11/202219马尽文2.2离散信号的频谱和抽样定理将 到 的 ，分成长度为 的可列个小段则有8/11/202220马尽文2.3 由离散信号恢复连续信号的问题A.由离散信号恢复连续信号的问题设 是一个连续信号，其频谱为 。由 可以通过下式将离散信号 变成连续信号 ：其频谱为其中 为 的频谱。8/11/202221马尽文2.3 由离散信号恢复连续信号的问题如果对于任何离散信号 都要求： 那么 或

7、应是什么形式呢？首先考虑一个特殊的离散信号 ：从离散-连续转化式得： 则有8/11/202222马尽文2.3 由离散信号恢复连续信号的问题反过来，若 满足容易验证 永远成立。故得到下面的连续化定理。连续化定理：根据上述连续化公式，如果对于任何 都要求 ，则充分必要条件是连续函数 满足：8/11/202223马尽文2.3 由离散信号恢复连续信号的问题B. 两个例子例1 若取 则有8/11/202224马尽文2.3 由离散信号恢复连续信号的问题例2 若取则有8/11/202225马尽文2.3 由离散信号恢复连续信号的问题可以看出 是由离散抽样点 组成的折线！由于则8/11/202226马尽文2.4

8、 抽样与假频，抽样与重抽样的注意事项A.抽样与假频当信号 的频谱在 不为零时，由抽样定理2知，在区间 上 ， 即 包含了多余的成分（叠加部分）。这种情况 含有假频，称为假频谱现象。当在重抽样问题中，当 的频谱 有大于 的高频成分，也会出现在 上有 假频现象会影响对真实信号的了解，需要去掉假频。实际中，去假频可通过低通滤波器对于信号进行处理。 8/11/202227马尽文2.4 抽样与假频，抽样与重抽样的注意事项B. 连续信号抽样注意事项1）试探性方法（从较小间隔出发） 比较不同间隔的频谱变化，直到稳定为止。2）如果信号中包含有高频噪声，可以先进行滤波处理，再进行抽样。3）工程界出现的许多连续信号是用电子仪器记录的，这种仪器被称为模拟信号记录仪。其缺点是信号振幅值的精度不够。现在大量采用的数字信号记录仪。这就需要设计采样间隔。一般可以将采样间隔取的小一些，给以后的处理留有余地。8/11/202228马尽文2.4 抽样与假频，抽样与重抽样的注意事项C.离散信号重抽样注意事项对离散信号 的重抽样（ ）步骤：1）检查信号的有效频率成分是否在 。若是，则转向下一步，否则重新考虑更小的间隔。2）检查