13概率论与数理统计

1、1概率论与数理统计(十三)开始王柱2013.04.222第三章 部分作业答案1314*(1)51.*(1). xy01p.j016/254/254/514/251/251/5Pi.4/51/5 xy01p.j028/458/454/518/451/451/5Pi.4/51/5放回:独立不放回:不独立627*(2)8 “二封信随机投入四个邮筒，前两个邮筒内的信数之联合分布”。 xy01 2 01/41/41/169/1611/41/806/1621/16001/169/166/161/16一封信落入该两邮筒之一的概率为1/4，未落入该两邮筒的概率为1/2。2. *(2)不独立9510(1) k=

2、1(2)(3)(4)511第三章 部分作业答案2126解 (1) 随机变量X 的概率密度 ,是 的边缘密度；显然，当 时 =0； 当 时 =0； 当 以及 时，有于是y1O1/2xy=x1/2yxx+y=1G(2) + 不大于1的概率其中 是以点为顶点的三角形区域(见插图) 151010:1) 当 时显然 =0；对于 ，有 当 y1 时显然 =0；对于 ,有其中由于 ，可见 于是，1710:2) ，随机变量 关于 条件密度 ，随机变量 关于 条件密度181818 1)，X与Y不独立。18 2)，随机变量 关于 条件密度，随机变量 关于 条件密度 21第三章 部分作业答案32222（2）求两个部

3、件寿命都超过100小时的概率.2322.(1)(2)同样对y, 因此相互独立。2424252624. Z=x+y:0,1,2,3,4,5,6,7 xy0123400.100.050.010.020.0110.040.060.020.030.0420.130.080.010.050.0330.080.110.050.060.02w=2x-y:-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8M=Max(x,y):0,1,2,3,4N=Min(x,y):0,1,2,3Z=M+N=x+y0.320.350.300.090.160.100.190.190.302724. Z=x+y:0, 1, 2,

4、 3, 4, 5, 6, 7w=2x-y:-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8M=Max(x,y):0,1,2,3,4N=Min(x,y):0,1,2,3Z=M+N=x+yZ: 0.10 0.09 0.20 0.20 0.16 0.14 0.09 0.02W: 0.08 0.13 0.15 0.18 0.11 0.06 0.08 0.06 0.05 0.05 0.04 0.01M: 0.1 0.15 0.25 0.40 0.1 N: 0.44 0.34 0.14 0.08 2824. 292828解 设的分布函数为，则当时=0；当时于是随机变量的密度函数为32例13-00000

5、 x2+xy/30000012xycbad0提醒34(1)abc0(2x3+x2)/310(4X3y+x2y2)/12(Y2+4y)/12000012xycbad036(2)37定义1： 三个重要的收敛定义： 设, Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列,X也是一个随机变量. N S, P(N)=0 . 若对任意的 e Nc ,有则称,随机变量序列Y1,Y2,Yn,几乎处处收敛于X.记为第五章 大数定律及中心极限定理* 5.1引言38定义2： 设, Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列,X也是一个随机变量.若对于任意正数 ,有则称,随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛(Convergence

6、 In Probability)于X.记为注意,这是数列可以证明:39特别有： 设, X1,X2,Xn,是一个随机变量序列,a是一个常数.若对于任意正数 ,有则称,随机变量序列X1,X2,Xn,依概率收敛于a.记为注意,这是定义2中 X=a 的特例。40依概率收敛序列还有以下性质: 设又设函数g(x,y)在点 (a,b) 处连续,则证明：41由连续知,对于任意正数 ,必有正数 ,使4243定义3： 设, Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列,X 也是一个随机变量.它们的分布函数分别为 Fn(x) 和 F(x).若对F的每一个连续点x,都有则称,随机变量序列Y1,Y2,Yn,依分布收敛于X.记为

7、可以证明:44定义5.2.1 、设 X1,X2,Xn,为相互独立的随机变量,作若存在一个常数序列 ，使得* 5.2大数定律则称随机变量序列 服从大数定律（Law of Great Numbers）。即对任意正数 ,有45定理5.2.1 、设 X1,X2,Xn,为相互独立的随机变量,具有有限方差，且存在常数C使得，此被称为契比雪夫Chebyshev大数定律。 则随机变量序列 服从大数定律。46即要求，对于任意正数 ,有实际上，这里取欲证明47证明：48因为 ，所以 ，于是有但概率不能大于1，所以49设随机变量X具有数学期望 E(X)= 和方差 D(X)= 2, 则对于任意正数 , 不等式.成立。

8、 引理5.2.1： 切比雪夫(Chebyshev)不等式这里用到了50 注意到上述定理的全部条件实际上是为了保证下述的Markov条件成立。所以，我们又可以得到更为一般的 若随机变量序列满足Markov条件， 则大数定律成立。此被称为,马尔可夫（Markov）大数定律：这里甚至未要求随机变量序列的相互独立性。 51 解释：定理表明：当n充分大时, 满足条件的随机变量X1,X2,Xn的算术平均接近于它们的数学期望的平均。特别：随机变量X1,X2,Xn相互独立,且具有相同的数学期望和方差: E(Xk)= ,D(Xk)= 2(k=1,2,).通俗的说，满足定理条件的随机变量X1,X2,Xn的算术平均

9、,当n充分大时几乎变成一个常数。则随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于 .52 定理5.2.3(辛钦大数定律) (辛钦定理)：定理要求:随机变量X1,X2,Xn,相互独立,且具有相同的数学期望和方差.未要求服从同一分布.设随机变量X1,X2,Xn,相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望 E(Xk)= (k=1,2,).即随机变量序列 依概率收敛于 .但在:随机变量X1,X2,Xn,相互独立,且服从同一分布的场合,只要求具有数学期望,并不要求方差存在,就有相同的结果. 这就是 证明略.则随机变量序列 服从大数定律。53定理5.2.2 (贝努利(Bernoulli)大数定律)：设nA是n次

10、独立重复试验中事件A发生的次数.p是事件A在每次试验中发生的概率,证明思路:引入相互独立的随机变量Xi ,i=1,2,n Xi=0,在第i次试验中事件A不发生; =1,在第i次试验中事件A发生; i=1,2,n则54贝努利定理表明:独立重复试验中,事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A发生的概率p.这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 就是说,当n很大时,事件A发生的频率与事件A发生的概率 有较大偏差的可能性很小. 由实际推断原理,在实际应用中,当试验次数很大时便可以用事件A发生的频率来代替事件A发生的概率. 再者，(贝努利定理是辛钦定理的特殊情况):55对随机变量序列应用辛钦大数

11、定律，并根据依概率收敛的性质得： 设随机变量X1,X2,Xn,相互独立, 与X服从同一分布,且具有数学期望 E(Xk)=k (k=1,2,)。试证：证明：由已有条件知： X1,X2,Xn, 相互独立且与X同分布，所以例13-1.56* 5.3中心极限定理定义5.3.1X1,X2,Xn,为相互独立的随机变量,若随机变量和的标准化序列若则称随机变量序列 服从中心极限定理（The Central Limit Theorem）。即，随机变量序列Y1,Y2,Yn,依分布收敛于标准正态分布.57的分布函数Fn(x)，对于任意x满足 58 定理5.3.1 (林德贝格勒维(Lindeberg-Levy)中心极

12、限定理，独立同分布的中心极限定理) 设 X1,X2,Xn,为相互独立的随机变量,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差:证明略. E(Xk)= ,D(Xk)= 2 0,(k=1,2,)则随机变量序列 服从中心极限定理。59 在数值计算中，任何实数x都只能用一定位数的有限小数y来近似，这就产生了一个误差 z=x-y。假定每个数都按四舍五入的方法保留到十进制小数点后5位，则相应的舍入误差可以看作是 上的均匀分布。若将10000个数 相加，试估计所有这些数和的误差。就是我们要估计的总误差。若以传统的方法估计：因为 ，所以得： ，显然这种估计方法太保守，我们可以考虑用概率论的方法重新进行估计。因为：

13、 解:记 ，易知例13-2.60此时可以假定 相互独立，且n=10000较大，所以应用Lindeberg-Levy中心极限定理有： 当 k=3 时有：即我们能以99.7%的概率断言： 。这个结果只是前面上限估计的 。61定理5.3.2 (李雅普诺夫Liapunov定理)记若存在正数 ,使得当 n 时, 设 X1,X2,Xn,为相互独立的随机变量, 具有数学期望和方差: E(Xk)=k ,D(Xk)= k2 0,(k=1,2,)62则随机变量即Zn的分布函数Fn(x)对于任意x满足 证明略.63这表明:在满足定理的条件下,随机变量当n很大时,近似地服从正态分布N(0,1).由此当n很大时近似地服

14、从正态分布这就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理的条件,那末它们的和,当n很大时,近似地服从正态分布.64定理5.3.3 (德莫弗-拉普拉斯De Moivre-Laplace定理) 设 随机变量序列k 服从参数为n,p的二项分布,则对于任意x,恒有即: k 可近似服从正态分布， 。65证明思路: k可以看作n个相互独立,服从同一0-1分布的诸随机变量X1,X2,Xn之和,即有由定理一有66例5.3.3 :在一家保险公司里有10000人参加人寿保险，每人每年交保费12元，假定一年内一个人意外死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司索赔1000元，问：（1）保险公司亏本的概率

15、有多大？（2）保险公司一年的利润不低于40000元的概率有多大？ 解： 以X记10000个参加保险的人中一年内意外死亡的人数，则 。因此， 表示保险公司亏本的概率， 表示保险公司一年的利润不低于40000元的概率。由于n=10000比较大，所以根据Lindeberg-levy中心极限定理得： 例13-3.6768例5.3.4 : 某车间有同型号机床200台，每台开动的概率为0.7，假定各机床开动与否是相互独立的，开动时每台机床耗电15个单位，问：最少要供应这个车间多少电能，才能以不低于95%的概率保证不致因电力不足而影响生产。解： 以 记200台机床中同时开动的台数，则有： ；设最少要供应 m

16、 台机床同时开动所需的电能，才能以不低于95%的概率保证不致因电力不足而影响生产。于是。应用中心极限定理（此时认为 n=200 比较大）有：例13-4.69查正态分布表得 所以 。这样便求得：最少要供应这个车间 个单位的电能，才能以不低于95%的概率保证不致因电力不足而影响生产。70 一个加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记求PV105 的近似值.解:易知近似服从N(0,1).例13-5.71一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于30的概率为p=1/3.若船舶遭受了90000次波浪的冲击.问其中有29