高中数学人教A版选修2-3基本计数原理例题和练习

1、基本计数原理（1） 分类加法计数原理: 做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第 n类办法中有 m种不同的方法.那么完 成这件事情共有 N=m+m +mn种不同的方法。（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m种不同的方法，做第二个步骤有 m种不同的方法做第n个步骤有m种不同的方法，那么完成这件事情共有 N= m xmt xx mn种不同的方法。计数问题是数学中的重要研究对象，解决计数问题，其基本方法是列举法、列表法、树形图法等：其中级方法是分类加法原理和分步乘法原理：其高级方法是排列组合，基本计

2、数原理是连接初级方法和高级方法的“桥梁”，是核心的方法，是解决计数问题的最重要的方法， 而排列组合问题的方法：特殊元素、特殊位置优先法。间接法。相邻问题捆绑法。不相邻（相间 ）问题插空法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板法。分组问题等。例 1 用 0, 1, .9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）。A.243 B.252 C.261 D.279解析0, 1,2 ,，9共能组成 9X10X10=900 （个）三位数，其中无重复数字的三位数有 9X9X8=648 （个），有重复数字的三位数有900-648=252 （个）。故选B。 注意

3、 三位数一定要保证最高位不为0. 例 2 6 名同学排成一排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有（）种不 同站法。 解析 法一 : （ 位置分析法） 先从其他5 人中安排2 人站在最左边和最右边，再安排余下 4 人的位置，分为两步第 1 步，从除甲外的5 人中选 2 人站在最左边和最右边，有A52 种站法：第 2 步，余下4 人 （ 含甲 ） 站在剩下的4 个位置上，有A44 种站法。由分步乘法计数原理可知，共有A52 A44= 480 （ 种 ） 不同的站法。法二 : （ 元素分析法） 先安排甲的位置（ 既不站在最左边又不站在最右边）, 再安排其他5 人的位置，分为两步：第1

4、步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A41 种站法：5第 2 步，余下5 人站在剩下的5 个位置上，有A55 种站法，由分步乘法计数原理可知，共有A14 A55 = 480 （ 种 ） 不同的站法。法三 : （ 间接法 ）6 人无限制条件排队有A66 种站法，甲站在最左边或最右边时6 人排队有2 A55 种站法，因此符合条件的不同站法共有A66 -2 A55 =480（ 种 ）. 例 3 把 4 个不同的黑球和4 个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是（）。A.A8B.A4A4C.A4A4A2D. 以上都不对 解析 黑球排在一起则黑球相邻，用捆绑法，有A44

5、 种排法，同理红球也有A44 种排法；然后黑球看成一个元素，红球看成一个元素，两者之间有个先后顺序A22 ，故选C。 注意 处理元素 “相邻” 问题应遵循 “先整体， 后局部” 的原则， 元素相邻问题，一般用 “捆绑法” ，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列。 例 48 名学生和2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（）82A. A82A. A8 A9 B.82A8 A10 C.8282A8 A7 D.A8 A6 解析 运用插空法，8 名学生排列，有A88 种排法， 8 名学生间共有9 个空隙（ 加上边上空隙） ，再把老

6、师排在9个空隙中，有A2种排法，共有A8A2种排法，故选A 评注 处理元素“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则，元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素。 例 5 春天来了，某学校组织学生外出踏青，4 位男生和3 位女生站成接合影合念男生甲和 TOC o 1-5 h z 乙要求站在一起，3 位女生不全站在一起则不同的站法种数是（）。A.964 B.1080 C.1152 D.1296 解析 男生甲和乙要求站在一起共具有A22 A66 =1440 种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有A22A33A44

7、 =288种，所以符合题意的站法共1440-288=1152 种， 故选C。 注意 由条件中“不全”两个字， 暗示着正面分类讨论计算比较复杂。考虑正难则反，用补集思想去求解。 例6】安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）。A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 解析 由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有 C：种方法，然后进行全排列A3即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C42XA3=36种方法，故选D. 注意 解排列组合问题要遵循两个原则: 一是按元素( 或位置 )

8、的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分类。 例 7 6 个相同的小球放入4 个编号为1, 2, 3, 4 的盒子，求下列放法的种数。每个盒子都不空；(2) 恰有一个空盒子；(3) 恰有两个空盒子。 解析 (1) 先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间 5 个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有 C53=10 ( 种 )。恰有一个空盒子，插板分两步进行，先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如000|00|,有C；种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如000|00|有C；种插法，故共有 C； x1C4=40

9、 ( 种 ) .恰有两个空盒子，插板分两步进行，先在首尾两球外侧放置块隔板，并在5 个空隙中任选i个空隙各插一块隔板，有c5种插法，如|00|0000|然后将剩下的两块隔板插入形成空盒。这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如 |00|0000|有C；种插法。112将两块板与前面二块板之一并放，如|00|0000| 有C3种插法，故共有C5X (C31 C3) =30(种 )。 注意 本题可以作为推广: 相同元素的分配问题一般可以用隔板法，元素不相邻问题，一般用“插空法”， 先将不相邻元素以外的“普通”元素金排列， 然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素。例8从集合1 , 2, 3 ,

10、 4,，10中，选出5个数组成的子集，使得这 5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有（ ） 。A.32 个 B.34 个 C.36 个 D.38 个 解析 先把数分成5 组： 1 ， 10 ， 2 ， 9 ， 3 ， 8 ， 4 ， 7 ， 5 ， 6 ，由于选出的5 个数中， 任意两个数的和都不等于11 ， 所以从每组中任选一个数即可，放共可C21 C21 C21 C 121 TOC o 1-5 h z C2=32 （ 个 ） ，故选A。 注意 先找出和为11 的五组数，再分别从每组数里面抽取一个。针对练习（1）从5名学生中选出4名分别参加A, B, C, D四科竞赛，其中甲不能

11、参加C,D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（）。A.24 B.48 C.72 D.1202） 从 0, 1, 2, 3, 4 这 5 个数字中任取3 个组成三位数，其中奇数个数是（）。3）甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方案共有（）。A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种4）室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的 8 名同学请出座位并且编号为1， 2， 3， 4， 5， 6， 7, 8 。通过观察这 8 名同学的身体特征，王老师决定，按照1， 2 号相邻， 3, 4 号相邻，5, 6 号相邻， 而 7 号与 8 号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有