高三数学专题复习专题八立体几何(试题部分)

1、专题八立体几何【考情探究】主题一、空间几何 体结构特征及 体积与表面积 公式二、空间点、 线、面的位置 关系三、空间向呈 运算及立体几 何中的向量方法主题一、空间几何 体结构特征及 体积与表面积 公式二、空间点、 线、面的位置 关系三、空间向呈 运算及立体几 何中的向量方法考情分析.从近几年高考考道内容来看， 这一部分主要考亘空间几何体 与涉及数学文化、空间几何体 的表面积与体积、几何体的外 接、内切球的计算，考豆空间几 何体侧面展开图问题. 鹿型既有 选择题,也有填空透，难度适中.这一部分突出对空间直线、 平面位置关系的判断,会求两异 面直线所成的角.在解答震中主 要是考查直线与平面平行、垂

2、 直的判定与性质.常出现在解答 题第一问，谁度中等,解题时注 意线线、线面、面面平行、垂 亘位置关系的相互转化.利用空间向星证明平行与垂 直以及求空间角;特别是二面 角:，、空间距商均是高考的热 点、通过向呈的运箕来证明直线 平行.垂直.求夹角，谁度中等， 以解答题形式出现,把立体几何 问题转化为空间向星问题.课标解读内容.认识柱、锥、台 球及其简单组合体的结 构特征. 并能运用这些特征描述现实生活中简 单物体的结构.了解球、愦柱.核推、犊白的表面积和体 积的计算公式.理解空间直线、平面位置关系的定义.能运用公式、途和已获得的结论证明一 些空间图形的位置关系的简单命邈.以立体几何的定义.公理和

3、定理为出发点， 认识和理解空间中线、面平行判定各与 有关性质.以立体几何的定义.公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线、面垂直的判定各与 有关性质.拿睡空间向量的线性运算、数呈积及其坐 标表示、用向呈隈壁积判断向呈的平行与 垂直.理解直线的方向向星与平面的法向呈.能用向垦语言表述直线与直线、直线与平 面、平面与平面的垂直、平行关系.能用向星方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向星 方法在研究几何问题中的作用.管考指导.强化识图能力,还原成自己熟怒的几何 体.对图形或其某部分进行平移.翻折、 旋转、展开或害味卜3,重视立体几何最值问题的研究.平面展开图（折线笠化成

4、直线:.完善知识网络,漫调通性通法,以下是 平行垂直关系娥化关系图.*巴了1 面平行）fiWrH）想L户与1例城n户=|加a；*直6.加强空间向呈对垂直问题的讲究： 空间直角坐标系的建立是基于三线两两 垂直的、因此只有真正掌逞了对垂直关系 的判断、论证的研究方法,真正理解法向 星的目由性,以及求法向呈的方法.才能 使问题,1解!J解决.a急鼠卅的忸肌先建范沿勾量 夫绐钝分界住， 再!：正加伍.思氏（1）a急鼠卅的忸肌先建范沿勾量 夫绐钝分界住， 再!：正加伍.思氏（1）利用三角杉中位线和4必aC可证明注明,边形,MAOE为平行球 边彩，进而证祥MV。心掇器我面平行初定定,戌可证明豺论：（2）定

5、在空向比角史好 系,年利福关点的坐标,求出平面.41.1与平面4M的法向量.同由向量的卖角公式求解.（2019课标I, 18, 12分）如图，出四核柱/iaa）-，L4q2的底面 至菱形.3=4, 46=2,4B.4D=60 . E. V. N分别是6C, BB,.另播总 在平面C；“E内，DEffMNi 易找锚牛打然.（2）本题务误认为44/：=9O.T方泳江媛面：一是通过线我一 援而.二免证面的法向量与线的方向向 殳步直.1求二面角：一是几何法；二是向量法【真题探秘】2为/ 1垓面平行的刿定.2.二面史的求法.f通注由中位战，证战战平行,由统 线平行将线而平行；求两个半平面的 |法向量，再

6、本法向*央角的余，亥01.的冬比我也冬蜜P3288.1空间几何体的表面积与体积基础篇固本夯基【基础集训】考点一空间几何体的结构特征.给出下列命题：棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形：在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱：存在每个面都是直角三角形的四面体:棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是.答基.给出下列命题：在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的塔线：直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥：用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面、则这个几何体一定是圆锥：。以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋

7、转体是圆台：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面：一个平面截圆锥,得到J-个圆推和一个圆台.其中正确命题的序号是.答室.如图,矩形O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O-A1 =6 cm, O C=2 cm,则原图形O.ABC的形状是C： / R70 A1 ?答型菱形. 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O A B C1的面积为、则原悌形的面积为.a-Z r答室4考点二空间几何体的体积.如图所示,正三棱柱ABC-ABC：的底面边长为2,侧棱长为巡,D为BC的中点,则三棱锥A-BD3的体积为（）A.3B.1 C. 1D 噂答室C.平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到

8、平面a的距高为、则此球的体积为（）A.、石 n B. n C, 1后 nD. 6e n答室B.如图,在四边形ABCD中，NDAB=90 , ZADC=135 , AB=5, CD=2、AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的 体积为.考点三空间几何体的表面积.已知直三楼住ABC-AEC：的6个顶点都在球0的球面上，目.AB=3, AC=4, ABAC, AA：=12,则球0的表面枳是.答塞169 n.九童算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:桁底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，桁一空堵沿其一顶点与相 对的棱刨开,得到一个阳马（底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的

9、四棱链）和一个鳖瑞:四个面均为直角三角形的四面体）.在 如图所示的堑堵ABC-A；BC中,AA：=AC=5, AB=3, BC=1,则阳马G-ABB乩的外接球的表面积是.综合篇知能转换【综合集训】考法一与表面积和体积有关的问题（2017课标I , 16, 5分）如图,圆形纸片的圆心为0,半径为5 cm.该纸片上的等边三角形ABC的中心为0. D, E, F为圆0上的 点,ADBC, AECA, AFAB分别是以BC, CA, AB为底边的等腰三角形.沿虑线剪开后,分别以BC, CA, AB为折痕折起aDBC, AECA, AFAB, 使得D, E, F重合,得到三棱推.当AABC的边长变化时，

10、所得三棱锥体积（单位:cm）的最大值为.答室1g（2020届浙江东阳中学10月月考,16）顶点为P的圆推的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,0为 底面圆圆心,ABL0B,垂足为B, 0H_LPB,垂足为H,且PA=1, C是PA的中点，则当三棱推O-HPC的体积最大时,0B的长为.考法二与球有关的切、接问题（2016课标全国山，11, 5分）在封闭的直三楼住ABC-A：BC内有一个体积为V的球若AB_BC, AB=6, BC=8, AA：=3,则V的最大值是 （）A. 4 n B. C. 6 Ji D.（2019皖中入学摸底,10）将半径为3,圆心角为1的扇形围成一

11、个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆推的内切球的体积为（A苧B.苧C当D.2n答室A（2018四川南充模拟.9）已知A, B, C, D是同一球面上的四个点,其中AABC是正三角形,ADL平面ABC, AD=2AB=6,则该球的体积为 （）A. 32、行 nB. 18 n C. 24 n D. 16 n答室A（2017江苏,6,5分）如图,在圆柱0s0：内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0Q：的体积为V：,球0的体积为%,则随爵 .答室I（2018湖南师大附中模拟,16）在体积为和三棱锥S-ABC中,AB=BC=2, ZABC=90 , SA=SC,且平面SACJ_平面ABC

12、,若该三棱锥的 四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是.答塞p（2018江西南昌二中1月模拟,16）在三棱锥S-ABC中,AABC是边长为3的等边三角形,SA=圾SB=2G二面角S-AB-C的大小为 120。，则此三棱锥的外接球的表面积为.答塞21 n应用篇知行合一【应用集训】（2015课标I , 6, 5分）九童算术是我国古代内容极为丰富的数字名著、书中有如下问题：“今有委米依坦内角,下周八尺,高 五尺,问:积及为米几何”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图、米堆为一个圆推的四分之一），米堆底部的弧长为S尺,米堆的 高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少? ”已知1斛米的体积约为1. 62

13、立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A. 14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛答室B如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高S cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测 得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为（）n 866n jD 3 CBr 1 372n3C. cm 答室A（2019课标HI, 16, 5分）学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型,如图、该模型为长方体ABCD-&BCD：挖去四棱锥0-EFGH后所得的几何体,其中0为长方体的中心,E, F, G, H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm, AA：=4

14、 cm. 3D打印所用原料密度为0. 9 g/cm5.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为答室118.8【五年高考】考点一空间几何体的结构特征（2019课标II, 16, 5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一,印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体、但南北 朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图D.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体 体现了数学的对称美.图2是一个棱数为18的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则 该半正多面体共有 个面,其棱长为.（本题第一空2分,第二空3分）图2答室 26;V2-1

15、考点二空间几何体的体积（2019课标1,12,5分）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球0的球面上,PA=PB=PC. AABC是边长为2的正三角形,E, F分别是 PA, AB的中点，ZCEF=90。，贝域0的体积为（）A. n B. 1代 Ji C. 2依 n D.历 n答室D（2015山东,7,5分）在悌形ABCD中，NABC与ADBC, BC=2AD=2.AB=2.桁梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体的体积为（）A 片b-TC 片D.2n答室C（2019江苏,9,5分）如图,长方体ABCAANCD：的体积是120, E为CC；的中点,则三棱锥E-BCD的体积

16、是.答室10（2019天津,11, 5分）已知四棱推的底面是边长为旧的正方形,侧楼长均为、氐若圆柱的一个底面的圆周经过四棱推四条侧楼的 中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.答室j（2018天津,11, 5分）已知正方体ABCAAfCD：的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E, F, G, H,比如图）, 则四棱锥M-EFGH的体积为.（2018江苏,10. 5分）如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（2017天津,10. 5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为（2015

17、江苏,9,5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5、商为1的圆，隹和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作 成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为答室c(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PTNCD：,下部的形状是正四棱柱 ABCAA：BCD(如图所示)，并要求正四棱柱的高0；0是正四棱锥的商PO：的I倍.(1)若AB=6 m, P0：=2 m,则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当P0；为多少时,仓库的容积最大。解析 由 PO：=2 m 知 0：0=1P0；=8 m.因为

18、A;BS=AB=6 m,所以正四棱锥 P-ABGD；的体积 V 雅=1 A；Bf - P0X6:X2=24ms);正四楼住 ABCD-A；B：C：D；的体积 V tt=AB：* 09=6： X 8=2S8 (mJ). 所以仓库的容积 V=V tg+V tt=24+288=312 (ms).设 AiBi=a(D), P0；=h(m),则 0h6, OiO=4h (m).连接 OB.2因为在 RtAPO显中,0：B；+POf=PB；,所以(字)”+始=36,即 a:=2(36-h:).于是仓库的容积 V=V(j+V jg=a： 4h+*： h=ya:h=(36h-h1), 0h6,从而 V =(3

19、6-3h:) =26(12-h:).令 V =0,得 h=2行或 h=-2行阎.当0h0,V是单调增函数:当2h）:n口中嗡2 n答室B（2019宁夏银川质量检测,11）已知直三棱住ABC-ABC的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和、此三棱柱的高为2、仔, 则该三棱柱的外接球的体积为（）八孚 B.苧 C.粤 D,宇 3333答室A（2018广东惠州二模,10）已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2, SA=SB=SC=2,则三棱锥S-.ABC的外接 球的球心到平面ABC的距离是（）A.y B. 1 C.瓜 D,羊答室A（2020届辽宁阜新高级中学10月月考,1

20、1）在三棱键S-ABC中,AB/10, ZASC=ZBSC=J, AC=AS, BC=BS,若该三棱锥的体积为早，则三棱锥S-ABC外接球的体积为（）A. n B, 4/3 n C.5n D.J答室B（2020届河北衡水中学模拟,11）在菱形ABCD中，NDAB=60 ,将这个菱形沿对角线BD折起，使得平面DAB,平面BDC,若此时三 棱锥A-BCD的外接球的表面积为5 n ,则AB的长为（）A.y B.w c.&D,3答室B（2020届湖南长沙一中第一次月考，12）已知三棱链D-ABC的四个顶点在球0的球面上、若AB=AC=BC=DB=DC=1,当三棱推D-ABC 的体积取至J最大值时,球0

21、的表面积为（）文 B.2n C.5jt D.学答室A二、多项选择题每题3分，共15分）改题）已知三棱推 A-BCD 中,BCCD, AB=AD BC=1, CD=、/5，则（）A.三棱锥的外接球的体积为自B,三棱锥的外接球的体积为竽C.三棱锥的体积的最大值为ID.三棱锥的体积的最大值为百O答型AC（改题）如图,矩形ABCD中,X为BC的中点、桁ABX沿直线AM翻折成ABM连接BJ）, N为B：D的中点,则在翻折过程中,下列 说法中正确的是（）R丸存在某个位置，使得 CAB：B. CN的长是定值C.若 AB=BM、则 AM，B：DD.若AB=BM=1,当三棱锥B-AMD的体积最大时,三棱推B-A

22、MD的外接球的表面积是1 n答型BD（2019山东德州上学期期末考试数学试题）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为PB、PC的 中点,在此几何体中、给出下面的结论,其中正确的是（）A,直线AE与直线BF异面B.直线AE与直线DF异面C.直线EF 平面PADD,直线DF _L平面PBC答型AC三、填空题（每题5分，共35分）（2020届山东夏季商考模拟,16）半径为2的球面上有A, B, C, D四点,且AB.AC, AD两两垂直、则ABC, AACD与AADB面积之和 的最大值为.答室S（2020届重庆一中第二次月考,13）已知圆推的母线长为5,侧面积为15

23、n,则该圆锥的体积为答塞12 n（2019辽宁丹东质量测试1一），14,一个圆推的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,则这个圆推的侧面积为.答型V2n（2019福建漳州二模,15）已知正四面体ABCD的外接球的体积为&活n，则这个四面体的表面积为.答室16、倍（2019东北师大附中、重庆一中等校联合模拟,15）若侧面积为4丸的圆柱有一外接球0,当球0的体积取得最小值时,圆柱的表 面积为答室6”（2020届福建厦门一中10月月考,15）三棱推P-ABC中,PA=PB=2, AB=1, BC=3, AC=5,若平面PABL平面ABC,则三棱键P-ABC外 接球的表面积为.答塞25 n（2020届广东

24、广州十六中质量检测（-）,15）已知四棱链P-ABCD的顶点都在球0的球面上,底面为矩形，平面PAD_L底面ABCD, APAD为正三角形,AB=2AD=4,则球0的表面积为.答案yn8.2空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基【基础集训】考点 空间点、线、面的位置关系.如图,在正方体ABCDTBC息中,E, F, G, H分别为棱AA：, BC, Cd）：, DD：的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A.MCGC.MHC： D,直线 GH答室C.在正方体ABCAAACD：中,棱所在直线与直线BA：是异面直线的条数为（）A. 4B.5C.6D.7答室C.设an是两条不同的直线，a, P是

25、两个不同的平面.给出下列四个命题：若若 mn, ,则 n B :若a B：若 n_L a , n_L B ,则 a _L B .其中真命题的个数为）A. 1B.2 C. 3 D. 4答室A.已知正方体ABCAABCD：中,E, F分别为BB;, CC；的中点,另及异面直线AE与D：F所成角的余弦值为（）a4 b4 c4 d4答室B.在三棱推A-BCD中,AC=BC=CD=BD=2, AB=ADN7,则AB与CD夹角的余弦值为.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2, NACB=90 , F, G分别是线段AE, BC的中点,则异面 直线AD与GF所成的角

26、的余弦值为.如图所示,在正方体ABCD-ABCR中,E, F分别是AB和AA：的中点.求证:E、C、D：、F四点共面：(2)CE、DF、DA三线共点.证明(D如图所示、连接EF、CD：、E F分别是AB, AA：的中点， ，EFBA：,又 A：BD：C,，EFDCE、C、D：、F四点共面.,EFCD“EF10,知H不在AA：或BB：上,分别在AB, CD上取点H, G,使AH=DG=10,连接EH、FG,则四 边形EFGH即为所求.（2）作EMLAB于X点,易得MH=便严每尸=6,则AH=10.所求两个几何体的体积之比即为两等商梯形的面积之 比.【三年模拟】一、单项选择题每题3分，共65分）（

27、2020届福建三明一中10月月考,5）设1为直线， , B是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A.若】a,lB,则 a BB.若 1 _L a , 1 J. B ,则 a BC.若则。BD.若 a_LB,lQ,则 1_LB答室B（2020届上海七宝中学10月月考,14）下列命即正确的是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,另3这条直线平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行答室D（2019黑龙江哈师大附中期中,5）若m

28、, n是两条不同的直线，a , p , Y是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）Q B , mu a , nu p nmna Y. P Y= a pa / fi, mn, m a =n_L Ba D y =m, P A y =n, mn= a B答室C（2019福建福州3月质检,6）已知a, b是两条异面直线,直线c与a, b都垂直、则下列说法正确的是（）A.若cc平面a ,则a_L aB.若 c_L平面 a ,则 a a , b aC.存在平面a ,使得c_L a , ac a,b/ aD.存在平面a ,使得c a ,a_L a ,b_L a答室C（2020届湖南长沙一中第二次月考,9）

29、直三棱柱ABC-AAC：中,BB：的中点为M.BC的中点为N, ZABC=120 , AB=2, BC=CG=1,则异 面直线AB：与MN所成角的正弦值为（）A. 1c.- 4D.OA. 1c.- 4D.O答室A（2020届山东济南济钢高级中学10月月考）已知m,n为直线，a为平面，且mu a,则“n_Lm”是“n_L的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答室B（2018黑龙江哈师大附中三模,11）桂长为2的正方体ABCA4BCD：中,E为AD的中点,过点B：且与平面A：BE平行的正方体的截 面面积为（）A. 5 B. 2用 C, 2痣D. 6答室C

30、（2019甘肃兰州一中模拟.6）过三棱柱ABC-ABC：的任意两条楼的中点作直线,其中与平面ABBA平行的直线共有（）A. 1 a B. 6 条 C, 8 条 D. 12 条答室B（2019辽宁沈阳四校联考.3）设m、n是两条不同的直线，a、p是两个不同的平面、下列命题中正确的是（）a p , a D P =n, m_Ln= n_L Ba P , a D 3 =n, me a , m B nmnmn, me a , nc B n a _L Bm a , nu a nmn答室B（2019豫南豫北精英对抗赛.6）在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2, AB=AD=则异面直线AB与CD所成

31、角的余弦值为（）A.? B耳 C.孚 D.答室B（2019湘东六校12月联考,9如图为一个正四面体的表面展开图,G为BF的中点,则在原正四面体中、直线EG与直线BC所成角 的余弦值为（）丸孚B噂C4 D.苧答室C（2018内蒙古赤修1月模拟,8）在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60 , E为PC的中点,则异面直线PA 与BE所成角为（）A. 90 B. 60C.45 D. 30答室C（2020届广东百校联考,10）在长方体ABCD-A：BCD：中,AB=3,AD=1, AA产、点0为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC：的中点， 则异面直线犯与0E所成的角力

32、（）A.30 B. 45 C. 60 D. 90 答室C二、多项选择题共5分）（2020届山东夏季商考模拟,11）正方体ABCD-A：BCD；的棱长为1, E, F, G分别为BC, CC” BB：的中点,则（）A.直线D：D与直线AF垂直B.直线A：G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为:OD.点C与点G到平面AEF的距离相等 答型BC 三、填空题(共5分) 15.(2020届广东广雅中学、执信中学、六中、深外四校八月联考、16)把平面图形X上的所有点在一个平面上的射影构成的图形W称为图形M在这个平面上的射影.如图，在长方体ABCD-EFGH中,AB=5, AD=1, AE

33、=3.则AEBD在平面EBC上的射影的面积是 .答室2、每8.3直线、平面平行的判定与性质基础篇固本夯基【基础集训】考点一直线与平面平行的判定与性质.在如图所示的正四棱柱ABCAACCD中,E、F分别是棱B：B、AD的中点，则直线BF与平面AD的位置关系是()丸平行 C.垂直 答室丸平行 C.垂直 答室AB.相交但不垂直D.异面.如图,三棱锥P-ABC中，点C在以AB为直径的圆0上，平面PAC_L平面ACB,点D在线段AB上，且BD=2AD, CP=CA=3, PA=2, BC=1,点 G为aPBC的重心，点Q为PA的中点.求证:DG 平面PAC:(2)求点C到平面QBA的距高.解析 证明:连

34、接BG并延长交PC于E,连接AE,VGAPBC 的重心，BG=2EG,又 BD=2AD, .DG/7AE,又 DGI平面 PAC, AEc 平面 PAC, .DG平面 PAC.连接CQ, V点C在以AB为直径的圆0上，.*.ACBC,又平面 PACJ平面 ACB,平面 PACC 平面 ACB=AC, /.BC PAC, VCP=CA=3, PA=2, A CQ PA, CQ=y/AC2-AQ2=2f2,-BC=|xlx2X2X4等，又 PB=VPC2 + BC2=5, AB=4心 + BC、=5,.PB=AB, A PAX BQ, .BQ=AB-AQ-=2,，S.,舄PA BQ=2V6,设C到

35、平面PAB的距离为d,则川d苧，,竽点C到平面QBA的距离方苧.考点二平面与平面平行的判定与性质A.恰能作一个C.至少能作一个B.至多能作一个D.不存在.已知a是平面a外的一条直线、过a作平面B,使A.恰能作一个C.至少能作一个B.至多能作一个D.不存在A.m 3 且 A.m 3 且 L aC.m 3 且 nLB.m/7 3 且 nB D.mlEnL答室B.已知m,n, h, 1：表示不同直线a、P表示不同平面，若mu a , nc a , l.c P, l：c P, l：n 1：=M,则。 B的一个充分条件是 ()A.与A.与C重合B.与C：重合答室D.如图,在正方体ABCDTBC息中,0为

36、底面ABCD的中心,P是DD；的中点,设Q是CC：上的点,当点Q 时，平面DBQ平面PAO( )C.为C.为CC：的三等分点 答室DD.为CC：的中点.如图所示,在三棱柱ABC-ABC：中,E, F, G, H分别是AB, AC, O：, &C：的中点,求证:平面EFA平面BCHG.证明 V E, F分别为AB, AC的中点，EF BC. ： EFC平面BCHG, BCc平面BCHG, AEF /平面BCHG.又G, E分别为A& AB的中点,A：B：AB 且 产AB,，AGEB 且 A：G=EB, .四边形 A；EBG 是平行四边形，平面 BCHG, GBc 平面 BCHG,二 A正平 面

37、BCHG.又 VA n EF=E, 平面 EF4 平面 BCHG.综合篇知能转换【综合集训】考法一直线与平面、平面与平面平行的证明方法. （2018甘肃嘉峪关一中三模,5平面。与AABC的两边AB, AC分别交于点D, E,且AD ： DB=AE : EC,如图，则BC与a的位置关系 是（ ）A.异面C.平行或相交答室DB.相交D.平行. （2016山东,18,12分）在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.（1）已知 AB=BC, AE=EC,求证:AC_LFB:已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH 平面ABC证明因为EF 阳所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE

38、=EC,D为AC的中点，所以DEL AC.同理可得BD_AC.又 BD Cl DE=D,所以 AC 1 平面 BDEF, 因为FBc平面BDEF,所以AC1FB.iff(2)设FC的中点为I.连接GI, HL在ACEF中，因为G是CE的中点,I是FC的中点, 所以 GI EF.又 EF DB,所以 GI DB.在ACFB中，因为H是FB的中点,I是FC的中点，所以又HI Cl GI=I,所以平面GHI 平面ABC.因为GHu平面GHI,所以GH 平面ABC. (2020届山东新高考质量测评联盟10月联考,2D如图，在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是矩形、ASAD是等边三角形，平面SAD_

39、L平面ABCD, AB=1, E为棱SA上一点,P为AD的中点，四棱推S-ABCD的体积为手.若E为棱SA的中点,F是棱SB的中点,求证:平面PEF 平面SCD:(2)是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD所成的锐二面角的余弦值为噜。若存在,确定点E的位置:若不存在,请说明理由.解析(D证明:因为E,F分别是SA,SB的中点，所以EF 2在矩形ABCD中,ABCD,所以EFCD,又因为E, P分别是SA、AD的中点,所以EPSD,又因为EF/7CD, EFOEP=E, SDnCD=D, EF, EPu 平面 PEF, SD, CDc 平面 SCD,所以平面 PEF平面 SCD.(2)假设棱S

40、A上存在点E满足题意.在等边三角形SAD中,P为AD的中点,所以SP-AD,因为平面SAD_L平面ABCD,平面SAD C平面ABCD=AD, SPc平面SAD,所以SP_L平 面ABCD,所以SP是四棱链S-ABCD的高,设AD=m, m0,则SPqm, S矩形em,所以V李旗g , SP=m *=竽所以o=2,以P 为坐标原点,PA所在直线为x轴,过点P与AB平行的直线为y轴,PS所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则 P(0,0, 0), A(l, 0, 0),B(1,1,0), S(0, 0, VJ), 设福入 AS= X (-1, 0,V3) = (-X, 0,、行 x)

41、(0W 入 Wl),PE=PA+AE=(1,0, 0) + (-X, 0/3 X ) = (1-X, 0,闻),PB=(1,1,0), 设平面PEB的一个法向量为n；=(x, y, z),Cni , PE = (1 -2)x + V3Xz = 0,Ini PB = x + y = 0,令 x=、倍 A，则 Hi=(V5, A，、住 X , X-l), 易知平面SAD的一个法向量为n/(0.1,0),所以 cos)=-li 2l- 1- llll2l l72X+lW 因为ow Wl,所以 所以存在点E,使得平面PEB与平面SAD所成的锐二面角的余弦值为篙.此时点E位于AS的靠近A所以 cos)=

42、-考法二平行关系中的探索性问题（201S广东惠州一调,19）如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A6CD中，ZABC=60 , AA；=AC=2, A：B=A：D=2、点E在A：D上. 证明:AA：_平面ABCD：解析（D证明:因为四边形ABCD是菱形,NABC=6（T ,所以 AB=AD=AC=2,在中，由 A4i+AB:=A；B:, AA:AB,同理,AAJAD,又 ABDAD=A,所以AA：_L平面ABCD. （4分） 当普=1时,A：B 平面EAC. （6分）理由如下：连接BD交AC于点0,连接OE,假设A5平面EAC,由于A：Bc平面ABD,且平面EACH平面AB）=OE,则0E/A

43、：B, ?。为BD 的中点，在AAND中,E为A;D的中点,即警1.直线。与平面EAC之间的距离等于点区到平面EAC的距离因为E为AJ）的中点，所以点A：到平面EAC的距离等于点D到平面 EAC的距离心广丫2设AD的中点为F,连接EF,则EFAA：,且EF=1,所以EF 一平面ACD,可求得5.廿、倍，又因为 AE=&, AC=2, CE=2,所以 S.w=，所以，Sm：HxTd=T（d表示点口到平面皿的距颗、解得d=竿，所以直线AB与平 又因为 AE=&, AC=2, CE=2,所以 S.w=，所以，Sm：（2016 四川,17,12 分）如图,在四棱推 P-ABCD 中,PACD, AD/

44、7BC, ZADC=ZPAB=90 , BC=CD=AD.（1）在平面PAD内找一点M,使得直线CM 平面PAB,并说明理由: （2）证明:平面PAB1平面PBD.解析（D取棱AD的中点M（XG平面PAD），点M即为所求的一个点.理由如下: 连接CM.因为ADBC, BCAD,所以BCAM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又ABc平面PAB, CMZ平面PAB,所以CM 平面PAB.（说明:取棱PD的中点X,则所找的点可以是直线MN上任意一点）证明:连接BM,由已知,PAAB, PA CD,因为AD BC, BC=#D,所以直线AB与CD相交, 所以 PA_平面 A

45、BCD.从而 PA1BD.因为 ADEC, BCAD, 所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以 BM=CD=jAD,所以 BDAB.又 AB HAP=A,所以 BD_L 平面 PAB.又BDc平面PBD,所以平面PAB_L平面PBD.思路分析（D要得到CM平面PAB,可以先猜出M点所在位置再证明.由已知的线线垂直得到线面垂直,再证面面垂直.评析 本题考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定和性质及面面垂直的判定,熟练掌握线面平行与线面垂直的判定 与性质是解题的关键.【五年高考】（2019课标II, 7, 5分）设a , B为两个平面,则a B的充要条件是（）a

46、内有无数条直线与3平行a内有两条相交直线与B平行a, 3平行于同一条直线a , P垂直于同一平面答室B（2018浙江,6,4分）已知平面a ,直线m, n满足a , nu a ,则“mn”是“m Q ”的（）A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答室A（2015福建,7,5分）若1, m是两条不同的直线、m垂直于平面a ,则“ 1 _Lm”是“ 1 a ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答室B（2015安徽,5,5分）已知叫n是两条不同直线，a , p是两个不同平面,则下列命题正确的是（）A.若a, B

47、垂直于同一平面，则。与8平行B.若m, n平行于同一平面，则m与n平行C.若a, B不平行，则在a内不存在与P平行的直线D.若h, n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答室D（2017课标全国I , 6, 5分）如图,在下列四个正方体中,A, B为正方体的两个顶点,X, N, Q为所在楼的中点,则在这四个正方体中, 直线AB与平面MXQ不平行的是（）答室A（2016课标II ,14, 5分）a , B是两个平面,m, n是两条直线,有下列四个命题：如果 mn, m-l, a , n B ,另吸 a _L B .如果a , n a ,那么on.如果Q B,mu a,那么mB.如果mn, a B

48、,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号答基（2019 课标 I , 19, 12 分）如图,直四棱柱 ABCD-&BCD：的底面是菱形,AA：=4, AB=2, ZBAD=601 ,E,M,N 分别是 BC. BB；, AJ）的中点.证明:MN 平面C：DE:（2）求点C到平面C：DE的距高.解析 本题考查了线面平行、垂直的判定和点到平面的距离，通过平行、垂直的证明、考查了学生的空间想象力、体现了直观想象 的核心素养.连接B：C, ME.因为M, E分别为BB：, BC的中点，所以MEB,且MEBC又因为X为A；D的中点，所以XD=A：D.由题设知

49、AB2DC,可得B；CA；D,故ME#ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN。平面CJ）E,所以MN平面C：DE.过C作C：E的垂线,垂足为H.由已知可得DEBC, DEC所以DE_L平面GCE,故DE_LCH.从而CH_L平面C：DE,故CH的长即为C 到平面C：DE的距离.由已知可得CE=1, GC=1,所以QE5,故CH）浮.从而点C到平面C;DE的距离力等.思路分析 连接BC ME.证明四边形MNDE是平行四边形,得出烬DE,然后利用线面平行的判定定理证出结论.注息到DE. 平面BCC；B；1只需过点C作QE的垂线便可求解.（2017课标全国II, 1S, 12分）如图

50、，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC=AD, NBAD=NABC=90.（1）证明:直线BC 平面PAD:若APCD的面积为2、亿求四棱推P-ABCD的体积.解析本题考查线面平行的判定和体积的计算.证明:在平面ABCD内、因为NBAD=NABC=90：,所以BC/7AD.又BCU平面PAD, ADc平面PAD,故BC平面PAD.取AD的中点M,连接PM. CM.由AB=BC=AD及BCAD, NABC=90得四边形ABCY为正方形，则CMXAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD Cl平面ABCD=AD,所以PM 一 AD,

51、PM，底面ABCD,因为CMc底面ABCD,所以 PV_LCM.设 BC=x, JOO CM=x, CD=x, PMx, PC=PD=2x.取 CD 的中点 N,连接 PN,则 PLCD,所以 PN=x.因为APCD 的面积为 2， 所以;X、公X苧x=2解得x=-2（舍去）或x=2.于是AB=BC=2,AD=1, PX=2、乏所以四棱键P-ABCD的体积V=1x%磬X2G= g 9. （2016 课标全国山，19, 12 分）如图,四棱推 P-ABCD 中,PA_底面 ABCD, AD/7BC, AB=AD=AC=3, PA=BC=1, M 为线段 AD 上一 点,AM=2MD,N为PC的中

52、点.证明MX 平面PAB:（2）求四面体X-BCM的体积.解析（D证明:由已知得AM=|AD=2, 取BP的中点T,连接NT, AT,由N为PC中点知TN/7BC, TX=BC=2. （3分）又AD/7BC,故TNX AM,故四边形AMNT为平行四边形、于是MNAT.因为ATc平面PAB, MX&平面PAB,所以MN平面PAB. （6分）因为PA_L平面ABCD, X为PC的中点,所以X到平面ABCD的距离为#4 （9分）取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEXBC, AE=仪笆石尸=代.由AM/7BC得M到BC的距离为百，故S*自X4X谆2我.所以四面体X-BCM的体积Vg=2S.

53、皿贷殍.（12分） 思路分析（D取BP的中点T,连接AT, TN,先结合条件证明四边形AMXT为平行四边形,从而得到MNAT,再结合线面平行的判定 定理可证：（2）由条件可知四面体N-BCM的高为棱PA的一半,然后求得S必最后利用棱推的体积公式求得结果. 解后反思 证明立体几何中的平行关系,常常是通过转化为平面几何中的线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、 平行四边形的对边互相平行等来推证:求三棱链的体积的关橙是确定其商,而确定高的关健是找出顶点在底面上射影的位置、当 然有时也可采用等体积法求解.（2019江苏,16,14分）如图,在直三棱柱ABC-A瓜C：中,D, E分别为BC,

54、 AC的中点，.但BC.求证：（DAB平面DEC： BEE证明本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基址知识，考查空间想象能力和推理论证能力.因为D, E分别为BC.AC的中点，所以ED/7AB.在直三楼住ABC-A；BC中,ABAB,所以A息ED.又因为EDc平面DEG, 平面DEC：,所以AB 平面DEC：.因为AB=BC, E为AC的中点,所以BE1AC.因为三楼住ABC-ABC是直棱柱、所以CC 平面ABC.又因为BEc平面ABC,所以C：CBE.因为 C：Cu 平面 ASACC:, ACc 平面 A：ACCS, GCDAOC,所以BE 一平面AiACG.因为C：

55、Ec平面ASACC:,所以BEIGE.（2015北京,IS, 14分）如图,在三棱键V-ABC中，平面VAB_L平面ABC, AVAB为等边三角形,AC1BC且AC=EC=、0, M分别为 AB,VA的中点.求证:VB 平面M0C:求证:平面M0C 1平面VAB:求三棱锥V-ABC的体积.解析 证明:因为0M分别为AB,VA的中点，所以0MVB,又因为VBW平面M0C,所以VB平面V0C.证明:因为AC=BC,。为AB的中点,所以0C_AB.又因为平面VABL平面ABC,且OCc平面ABC,所以0C,平面VAB.又OCc平面 MOC,所以平面X0C，平面VAB.（3）在等腰直角三角形ACB中,

56、AC=BC=、所以AB=2, OC=1,所以等边三角形VAB的面积S. 丫步、住,又因为0C,平面VAB.所以三棱锥C-VAB的体积等于次S. .、T.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等、所以三棱椎V-ABC的体积为争评析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，以及几何体体积的求解,考查学生空间想象能力和逻辑推理能力. 12. （2017浙江,19,15分）如图，已知四棱推P-ABCD, APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD, CDAD, PC=.AD=2DC=2CB, E为 PD的中点.证明:CE 平面PAB:（2）求直线CE与平面PBC所成角

57、的正弦值.解析 本题主要考查空间点、线、面的位置关系，直线与平面所成的角等基地知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力. （1）证明:如图,设PA中点为F,连接EF, FB.因为E,F分别为PD,PA中点, 所以 EFAD 且 EF=%D.又因为 BC/7AD, BC=iAD,所以 EFBC 且 EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形，所以CE/7BF, 因此CE 平面PAB.分别取BC.AD的中点为M, N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E, F, N分别是PD, PA.AD的中点,所以Q为EF中点，在平行四边 形BCEF中,MQ/7CE,由APAD为等腰直角三角形得PN1.AD.由

58、DCXAD, 是AD的中点得BXLAD.所以ADL平面PBN,由BC/7AD得 BC 平面PBN,另吆平面PBCL平面PBX.过点Q作PB的垂线,垂足为H、连接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影,所以NQMH是直线 CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在4PCD中,由PC=2, CD=1,口=也得CE/2.在 APB，中，由 PN=BN=1, PB=、用得 QH=1. 4在 RtAMQH 中,QH三,MQ=M,所以 sinZQMH=.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是圣方法总结1.证明直线与平面平行的方法.（例:求证:1。）线面平行的判定定理:在平面a内找到一条与直线1平行的直线

59、5从而得到1 .面面平行的性质:过直线1找到（或作出）一个平面B ,使得B a ,从而得1 a .2.求线面角的方法.Q）定义法:作出线面角，解三角形即可.解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.例:求AB与平面a所成角0的正弦值，其中AW a .只需求出点B到平面a的距离df通常由等体积法求d）,由sin。4得结论.（2015四川,18,12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.清桁字母F, G, H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）：（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论：证明:直线DF_L平面BEG.解析（D点F,G,H的位置如图所示.平面B

60、EG 平面ACH.证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG, BC=FG,又FGEH, FG=EH,所以BCEH, BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形,所以BE/7CH. 又CHc平面ACH, BE=鬲融.所以平面FGH与平面ACFD所成角锐角）的大小为60 .【三年模拟】一、单项选择题每题3分，共35分）（2020届湖南益阳、湘湮9月教学质检,6）已知a, B为两个不同的平面、m, n为两条不同的直线，有以下命题:若则 a B :若 m a , n a ,则 mn:若 mu则 a _L B :若 a A 3 =1, me a , m_Ll,则 mJ. B .其中真命题有