考研数学三真题及答案

1、2011年 考 研 数 学 三 真 题一、选择题(18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)(1)已知当？ 0时，？?？= 3?锄？侬等价无穷小，贝U(A) ?= 1,? 4(B) ? 1,? -4(C)?= 3,? 4(D) ?= 3,? -4【答案】C。【解析】【方法一】?:。.一?%?-?=?3?0?:。.一?= 3?琴等?(?落次达法则)一 1 /?Z? ?3?_ QX=?)?d，2? + ?f2? )( ?,一 )11=11=? 2 +92)= 1由此得？?= 4。【方法二】由泰勒公式知?。5 + ?(?= 3?Q等 +?(，?贝U?=

2、 3?33? ?3- 3?仔等 + ?(?= 4?+ ?)4?= 4?+ ?)4?(?- 0)故？?= 3,?= 4。【方法三】3?3? 3?3?+ 3?Q ?3?3?2 ?3?-?-0?1 Q6 (3?6?3?2 ?3?-?-0?1 Q6 (3?6?13(?+?，(). ?c 1 M=10?翦 6?)+ ?”. ?119=?- 2 + 2)(=?3)8=1 2?故？?= 4综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一一元函数微分学一洛必达(LHospital)法则(2)已知？?(?)？?= 0处可导，且?o)= 0,

3、则？?-2?(?3)二 ?fo?r3(A) -2? (B) -? (0)(C) ?(砌【答案】Bo【解析】【方法一】加项减项凑？?= 0处导数定义?- 2?(?) ?-?-0?- ?0) ?- 2?(?) ?-?-0?- ?0) - 2?) + 2?(0) ?-0?- ?0)- 2?:0?) - ?(0)?=?(0) - 2?(0) = -? (0)【方法二】拆项用导数定义?- 2?(?-?- 2?(?-?-0?)?- 2?-由于？?0) = 0,由导数定义知?= ?(0), ?-0 ?= ?(0), ?-0 ?)?7 =? (0)所以？?F?所以？?F?；?.) = ?(0) - 2?(0)

4、 = -?fo?【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数(0)? = ?测?- 2?(?？?-?- 2?(?？?-?- = ?2?fo?f ?=-1而对于？?？= ?(0) = 1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于?(?)?= 0处可导，则?= ?0) + ?(0)?+ ?= ?(0)?+ ?(?)?) = ?(0)?+ ?(?管个?- 2?(?个管管个?- 2?(?个管?!?)?仔？?(?) 2?(0)?+ ?(，?fo?fo?=?(0) - 2?(0) = -? (0)综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数和微

5、分的四则运算设?*是数列，则下列命题正确的是(A)若少=1?攵敛，则 少=1(?-1 + ?)收敛 (B)若少=1(?1 + ?)收敛，则 ?=1?攵敛 (C)若6=1?攵敛，则少=i(?-i - ?)收敛, (D)若5=i(?i -?)收敛，则方=1?攵敛 【答案】A。【解析】若少=1?攵敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A【考点】高等数学一无穷级数一级数的基本性质与收敛的必要条件?(4)设？ J04 ?,?!?物大小关系为(A) ? ?殳？犯)? ? ?(C) ? ?R ?D) ? ?及 ?【答案】Bo同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小,由

6、于当 0 V ? 的寸，0 ?!? ?又因为？?揶,+s)上的单调增函数，所以 ?2V :, , , , , , , , 4 4?故 J04 ?4?即？： ?0和 J ?(?)? = ? (?皤 J ？?(?)?？?(?丽？?(?初分布函数由于？?(?打？?(?为两个分布函数，显然？?(?)？?也是分布函数，?和？?(？为=?虱？?(？+ ?(?) ?)综上所述，本题正确答案是 Do【考点】概率论与数理统计一多随机变量及其分布一随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度(8)设总体？?勺服从参数为入(0)的泊松分布，？,？,？?42)为来自 该总体的简单随机样本，则对于统计量 ？

7、=，丫?=1？笏口?？=？-1 里=11 ？+ ；？2有 TOC o 1-5 h z (A) ？ ？B)？、 1 1 1 1 2 , 1 .2 a 1 , 1 (C)？ ？D)？*？ / i , 1 t i 2 , 1 B【答案】Do【解析】？(？,斯以，？= ？= ？,？,？目互独立均服从？(？) 可求得？?？= ？= ？= ？= ？而？= ? ?, ?=二？ + 2?2?-1?所以？?？? ? ?综上所述，本题正确答案是 Do【考点】概率论与数理统计一数理统计的概念一常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本 二、填空题(914小题，每小题4分，共24分。)?(9)设？?？= lim ?(

8、1+ 3?歆则？?(?=。?fo【答案】?3?(1 + 3?)【解析】1?= lim ?1 + 3?)?3?3?= ?fo?(?= ?3?+ 3? = ?3?(1 + 3?)综上所述，本题正确答案是？3?(1 + 3?。【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的四则运算一？ ? 一(10)设函数 z= (1 + J?则？?(?,1)=。【答案】(2?21)d?+ (-2?2 1)?【解析】由z = (1 + ?)”可得? ?n?(1+ ? ?n?(1+ 各 ?n(1 +?+?1+ ?1+ ?1? 1=(1 + I?1?” (1 + ? + ?+ ? ?z?- ?n?(1+ ? 2? Z?,

9、X2? - ?ln( ? ?1?+ ? ?=-(1 +?字n(1 +?+ 中？ 所以？?(？1)=巧 ？?？? (2?21)d?+ (-2?2?(1,1)?(1,1)1)?综上所述，本题正确答案是(2?21)d?+ (-2?2 1)?【考点】高等数学一多元函数微积分学一多元函数偏导数的概念与计算(11)曲线？?？+ ?+ 3=?在点(0,0)处的切线方程为 4【答案】？?= -2?。【解析】方程？?？?+ ?+?) = ?刑端对？家导得?(?+ ?+?-) (1 + ?) = ?将？?= 0,?= 0代入上式，？ = -2故所求切线方程为？?= -2?【考点】高等数学一一元函数微分学一复合函数

10、、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线(12)曲线？?= v7?)，直线？?= 2及?轴所围成的平面图形绕？轴旋转所成 的旋转体的体积为。【答案】43)【解析】由旋转体公式得 TOC o 1-5 h z c2 c1 o 24?= ?r ? ?f(?- 1)? ?(?- ?)i = , M M / /I11313综上所述，本题正确答案是竺?。 3【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分应用(13)设二次型？?,？?,？?)= ?磐?柏秩为1, ?)勺各行元素之和为3,则？?在正交变换？?= ?的标准形为。【答案】3?【解析】?3 13?3 13?31 = 3?3 13?1 +?2 + ?

11、3 = 3 ?1?1 + ?2 + ?3 = 3 ?1?1 + ?2 + ?3 = 3 ?111?W1 = 31所以？?= 3是？勺一个特征值再由二次型？?？秩为1? = 1? ?= 0是？?勺2重特征值。因此正交变换下标准形为3?综上所述，本题正确答案是3?。【考点】线性代数一二次型一二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形（14）设二维随机变量（?,?服从正态分布？?（?？; ？?？;0）,则？?）？=【答案】？?+ ?。（?服从正态分布？?（?？;？?？;0）所以？与？才目互独立，且? ? ? ? ? = ?= ?+ （?2? = ?（9?+ ?）= ?+ ? 1 1mm ! 、/

12、_ I / 综上所述，本题正确答案是？?+ ?。【考点】概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)求极限？?溺?-?-1 ?(1+?)【方法一】+2?-?4?夕?一?(1+?)-1+2?-?4?夕?一?(1+?)=?W.?(等价无穷小代换)?,-1=?y?;?（洛必达法则）1?：?限为非零常数的因子极限先求)cccccccc ?!?.?也气洛必达法则)2?-01【方法二】以1+2?-?-14+2?-?-1一?以1+2?-?-14+2?-?-1一?也?（1+?）=写吟:

13、（等价无穷小代换）=济?胃-（?+2）（分子有理化）12? - 2?1?=-?=+ ?2 ?fo2?2?【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算(16)已知函数？?(?？?具有二阶连续偏导数，？?1,1) = 2是？?(?？?的极值,?2?= ?（? ?（?）求一一|, . ?夕?=1?=1?由链导法则，?= ?+ ? + ?4 其中？?= ?+ ?= ?（?）所以?2 ?, , 一， ，0”。= ?+ ? + （? ?+ ?*?+ ?*? r r r r由于？1,1)= 2是？?(?？,?的极值，贝U?以1,1） = ?1,1） = 0,?（1,1）

14、 = ?/） = 0,令？?= ?= 1 ,得=? ?2,2) + ?即=? ?2,2) + ?即2,2)? ?1,1)?=1?-1?=1=? ?2,2)+ ?(2,2)? ?1,1)【考点】高等数学一多元函数微积分学一多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值(17)求不定积分/?【方法一】令?= ?则？?= ?,? 2?(17)求不定积分/?【方法一】令?= ?则？?= ?,? 2? 2(?2?)?J I f ?=2?2 / ( Vl- ?+ 2)?=2?+?/ ?(1- 阈-4? Vl- ?=2?2V1 - ?- 4?a ?=2v?(?+?2v7b- 4M ?【方法二】?+? V? 2(

15、?)?J1 =2v?(?钝?2 /(1+ -1)?2 A/1 - ? A/?=2v?(?+?2V1 - ?Q 4v?仔?【考点】高等数学一一元函数积分学一不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18)证明4?毋?-卷=0恰有两个实根。3【解析】令？?？= 4?堂-v3,本题也就是要证明？(?)有两个 3零点3- ?(? =1 + ?1 = T?(? =1 + ?1 + ?令？?(?= 0得？?= 士V3,贝U当？?6 (-巴-通)时,?(? 0,?(?萼调增；当？?6 (送,+s)时，?(? 0?(?= ? V3= ? +00? f+003则？?= v3为？

16、?(?)一个零点，在(v3,+s)内？?(?磔有一个零点故 4? v3 = 0 恰有两个实根。3【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，函数单调性的判别(19)设函数？?(?弯0,1上有连续导数，？?0) = 1且? ?(?+ ? ?(?)?熨？小(?)|0 ? TOC o 1-5 h z ? /? / ,、| ?,?0 W?W ?(0 t W1).求？(?物表达式。【解析】化已知等式左边的二重积分为二次积分计算?-? ?(?+ ?( r ? *?)? I ， e乂 J 、/，CC00?r? ?-?=/ ( / ? ?)?(?)? 00?=/ ?(? ?)?=? / ?)?- ?

17、(?)? 00?=?- r ?(?)? J% / 0等式右边的二重积分化为二次积分? ?(?)?) 1? 、， ! ! TOC o 1-5 h z ?加?可知？1?域？?的面积，区域易得为三角形，面积为-? ? ?2所以？ ？(？)？?)1? /? 一一1c所以？?- f0 ? - ?(?)两边对徐导得(2 - ?(?= 2?(?)?解得？?)?= -y,由？?0) = 1 得？?= 4(2-?)所以？?)?=就T，(0 W?W 1)【考点】高等数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义高等数学常微分方程和差分方程齐次微分方程，一阶线性微分方程(20) 设向量组

18、?1 = (1,0,1) ?， ?2 = (0,1,1) ?， ?3 = (1,3,5) ?高等数学常微分方程和差分方程齐次微分方程，一阶线性微分方程(20) 设向量组?1 = (1,0,1) ?， ?2 = (0,1,1) ?， ?3 = (1,3,5) ?不能由向量组?1 = (1,1,1) ?， ?2 = (1,2,3) ?， ?3 = (3,4, ?)?线性表示求 ?的值；将 ?1 ,?2,?3用 ?1,?2,?3线性表示。【解析】(I) 因为|?1,?2,?3| = |01 101113|= 1 #0,所以？,？,？线性无关。5那么？1 ,？2,？3不能由？1,？2,？3线性表示？1

19、 ,？2,？3线性相关，即1|？1 ,？2,？3| = | 11所以 ？= 513112 4| = |0 13 ？0 231 | = ？- 5 = 0？- 3如果方程组？1？1 + ？2？2 + ？3？3 = ？（？= 1,2,3）都有解，即？1 ,？2,？3可由？1 ,？2,？3线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解对 （？1,？2,？3？1 ,？2,？3）做初等行变换，有101110 1 3 ？1 21 1 51 31-0031040 15010111 3 ？10 1 -111133 ？1 2 4 402213102 4 0 10200020

20、 ？41 -1152 100 -2所以？1=2？1 +4？2 -？3，？2=？1+2？2？3 = 5？1 + 10？2 - 2？3【考点】线性代数一向量一向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关 TOC o 1-5 h z 11-11(21) 设?为3 阶实对称矩阵，?的秩为2，且? 00= 00-1111求 ?的所有特征值与特征向量；求矩阵 ?【解析】因 ?(?) = 2知 |?| = 0，所以 ?= 0是 ?的特征值1-1111又 ? 0 = 0 = - 0 ， ?0 = 0-11-111所以按定义，?= 1是 ?的特征值，?1 = (1,0,1) ?是 ?属于?= 1的特征向

21、量;?= -1 是 ?的特征值，?2 = (1,0, -1) ?是 ?属于?= -1 的特征向量。?3 = (?1 , ?2 ,?3 )?是 ?属于?= 0的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此解出?3 = (0,1,0)?1 ?3 = ?1?+ ?3 = 0解出 ?2?3 = ?1解出?3 = (0,1,0)?故矩阵?的特征值为1, -1,0 ；特征向量依次为?1(1,0,1)?,?2(1,0,-1) ?,?3(0,1,0)?,其中?1,?2,?3均是不为0 的任意常数。0 110-100010 1-10由 ?(?1,?2,?3) = (?1,-?0 110-100010 1-101 -1?= (?1,-?2,0)(?1,?2,?3)-1 = 00110 0 1= 0 0 01 0 0【考点】线性代数一矩阵的特征值与特征向量一矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵(22)设随机变量？?勺概率分布分别为X01P1233?-101P且？?？ = ? = i(I)求二维随机变量(?？?羽概率分布;(II)求？?= ?概率分布;(III)求？?勺相关系数？?(I)由？?？ = ? = 1 得？?？ ? = 0而？?？?？? = ?