数学-高中经典50题(附答案)

1、高中数学题库1. 求下列函数的值域：解法 2 令 sinx f(t)tt1 |sinx| |t|1.问题转化为求关于 t f(t)在闭区间1,1上的最值本例题(2)解法 2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2. 4地球相距m万千米和 m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3 和 ，求该慧星与地球的最近距离。2 3x y2 2F(c 1a b2 2（图见教材P132 1。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 时，由椭圆的几何意义可知，彗星 A 只3 / 1 2能满足 或 )。

2、作 FB FA m3 3 2 3故由椭圆第二定义可知得m 4m3caa2(ccaa2(cc)c23m) 1 c 2 1 3两式相减得 m a m cc) , 3 a 3 2 2 2 2c .acc . 3 32答：彗星与地球的最近距离为 m万千米。3ac，另一个是a.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3. ABC 是我方三个炮兵阵地，A 在B 6KmC在B 正北偏西30 4Km，P A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于C 两地比 A 距P 地远，因此 4s后，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1Km

3、/s，A 若炮击 P P249例 2）解：如图，以直线 为 x 轴，线段 的中垂线为 y 轴建立坐标系，则B(C( 3)，因为 PB PC ，所以点 P 在线段BC的垂直平分线上。1因为k 3BC中点D( 3) 的方程为 y 3 (x （1）BC3又 PB PA 故 P A，B 为焦点的双曲线右支上。设P(x,y)，则双曲线方程为x24 y x25 0)（21 x y 5 3，5 3所以P 3).因此k 3，故炮击的方位角北偏东。PA 8 3说明：本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4

4、 米，高 2米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系设拱桥型抛物线方程为x2 2py (p 0)。将 B（4,-5）代入得P=1.6x2 3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过则 A(2,y)，由 22=-3.2 A得 A= -1.25因为船露出水面的部分高0.75 米所以 h=+0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行思维点拔 1 l ，点5. 如图所示，直线l 和l 相交于点 M，1 2 2Nl ，以A、B为端点的曲线段C1l 的距离与到点 N 的距离相等。若 为锐角三角形， 上任一

5、点到2 17, 且6，建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程。解：以直线l 为 x轴，线段 MN的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲1线段C 是以点N 为焦点，以l 为准线的抛物线的一段，其中 AB 分别为曲线段 C的端2点。设曲线段C 的方程为 y2 2px(p xA x x ,y 0)，其中xA,xB为AB的Bp p横坐标， p MN ，所以M( N( ，由 , 3，得,2 2 p( A 2 px x ) 2 1）A2p(xA 2 px （21（2) 2 9A2xA4 1 p 0pp 4 p 2 或 ，因为 为锐角三角形，所以解得 xA 1 x 2 Ap 2xAp 2，故舍去

6、x 2A，所以p 4x 1A BN P 由点B 在曲线段C 上，得x 4B ，综上，曲线段 C的方程为2y2 8x x y 0)思维点拔本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6. 设抛物线 y2 4ax(a 0)的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心，AB为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点 ，N。点P 是 的中点。（1）求AMAN的值（2 aAMAPAN a说明理由。解：设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M,N. AM + AN = MM + NN =xM+x+2a 又 圆 方 程x

7、(a4)2 y2 将 y2 4ax代入得x2 2(4a)xa2 8a 0 M 2 4 得AMANx x aN(2)假设存在 a因为AM+AN=MMNN=2PP所以AP=PP P 点在抛物线上，这与P 的中点矛盾。故 a 不存在。7. 抛物线 2 0y2 px p 上有两动点AB及一个定点 F , MF, BF成等差数列（1）求证线段AB 的垂直平分线过定点Q（2 MF OQ 6O （3）对于（2）中的抛物线，求AQB 面积的最大值。解 1 ） 设 A x ， 则1,y ,B x ,y ,M x ,y1 2 2 0 0p x ，12pBF x ，22p x ，由题意得02x0 x x 的中点坐标

8、可设为x ,t1 20 ，其中2y yt （否则 MF BF p 01 022而k ABy1x1yx2212pyy12 y y 2 2y y1 22p y y1 2pt， 故 AB 的 垂 直 平 分 线 为ty ，即t 0，可知其过定点 ,0t x x 0 x 0 p x p Q x 0pp（2 MF OQ 6 x0 x p 6 p 0 2y2 8x。 x 02（ 3 ） 直 线 AB ： 4x2y ， 代 入 y2 8x 得 y2 t2 0 ，ttt2 ， y 2 2 x 2 x y y 1 y y y 4y y t2 1 2 1 2 2 1 221 2t 21 , t 2 2 t2 t

9、x 2 21 x y y2 1 24 21 ， 又 点 到 AB 的 距 离 tt d ，4 221 1 1 AQB 2S d t4 t t t 2 t2 4 64 4令 u t2 t4 t6 ， 则 ut t3 t5 ， 令 u0 即 4t t3 t5 ，得 t 0 或 t2 或 t2 ， 06 t2 t 3 时3 3 3 6S 。AQB9思维点拔定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线l: y x2 2)交椭圆x2 9y2 9于 B两点，若 为l的倾斜角，且 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。解 ： 将 l 的 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 消 去 y ， 得92)

10、x2 22x2 90 1 x x 2 2 1 1 292)6 62 19 2由 1 3 3 得2 ， 3 3 3 ,5 的取值范围是 6 6 思维点拔对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由 给出， ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。 所以可以认定2 29、已知抛物线 y2 x与直线 y k(x 相交于 AB（1） 求证：（2） 当OAB的面积等于 时，求k的值。 2y x（1） P127y k(x消去x 2 yk 0。设 (1,y B(x ,y )，由韦达定理得 1y 1y ,B在抛物线 y2 x上， 1 2 2 21 x ,y x ,y y x x2 2 2 2

11、1 2 2 1 2 1 2y y y ykOA 1 k 2 1 21 OAOB x x x x y y1 2 1 2 1 2OB（2） 解：设直线与x轴交于 N，又显然k 令 y x（）1 1 1S OAB S S y y y OAN OBN 2 11 22 2y21 1 1 2S 1 (y y ) 4y y ( )1 2 kOAB 2 1 22 241 1 OAB 解得S 2 4, k,2 k16思维点拔及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线 y=4x上恒有两点关于直线 y=kx+3对称，求 k的取值范围。解设 、C关于直线y=kx+3对称，直线 x=-ky+m y2=4xy2+4ky-

12、4m=0， 设 （x1y1C（x，y中点M（0，yy0=（y+y2/2=-2kx02+m，点 Mx0，y）在直线上。-2k（2），2k3 2k 3k又 BC与抛物线交于不k 33 2k 同两点，=16k 2+16m0把 m代入化简得 02+16m0把 m代入化简得 0k(k 1 2 k )(k即 0，k解得-1k0即 m22-90b0值为 2 3 的最小值为（ ）a bA6B83C3D 4答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分当直线 za0，）过直线x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时，目标函数 （a0，）取得最大 12，即 4a+6b=12 2a+3b=6

13、, 而2 3 13 ( ) =(2 3)2a b b a 13 2 25 a b a b 6 6 a b 6 6A 2a+3b=62 3 的a b最小值常用乘积进而用基本不等式解答13、本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元分钟和 200 元分钟，规定甲、 3万元和 2万是 万元答案：70 x分钟和 y z x y300， 元，由题意得500 200 ，x yx，y0.y500400目标函数为z 3000 x2000y二元一次不等式组等价于x y300， 5x 2y900，xy0.300l M2001

14、00 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线l:3000 x2000y 0，即3x2y 00 100 200 300 xM 联立 x y 300，解得x100，y 200点M 的坐标为200) 5x 2y 900.z 3000 x2000y 700000的热点题型之一14、设a为实数，函数 f(x)2x2 (xa)|xa|(1)若 f(0)1，求a的取值范围；(2)求 f(x)的最小值；(3)设函数() f(x(,)，(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集 a 0）若 f(0)1，则a|a1 a1；a 12（2x a时， f(x)3x22axa2, 2 f(a),a 0

15、 2a ,a 0 f(x) a 2a2f( ),a0 ,a0 3 3，当x a时， f(x) x22axa2, f( a),a 0 2a ,a 0 2 f(x) ， 2 ( 0 2 , 0f a a a a综上 2a ,a 0 2f(x) 2a2 ；,a0 3（3）x(a,)时，h(x)1得3x 2axa 10，2 24a 12(a 128a2 2 2当6 6a 或a 时，x(a,)； 2 2当 a 3 2a a 3 2a2 26 6 (x )(x ) 0 a 时，0，得：；3 32 2 x a讨论得：当2 6a 时，解集为(a,)；( , )2 2当a 3 2a a 3 2a 2 26 2a

16、( , )时，解集为(a, , )2 2 3 3；当a 32a 22 2a , 时，解集为 , )2 2 3灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力15、知函数 ( ) 1 3 2 2 f x x x 3 a n 项和为nS a 21 3 ( , 2 )a a a (nn n n 1 n 1在函数y f (x)的图象上，求证：点(,S )也在 y f (x)的图象上；n（）求函数 f(x)在区间(aa)内的极值解析：(证明： 因为 ( ) 1 3 2 f x x x 所以 f (x) x22x，3由点(a ,a a nN)在函数n n 1 n 1y f x 的图象

17、上, 2 2( ) a a a a1 2 1 2n n n n( ) 2( ) a n ，a a a a a a ， 又 N )n 1 n n 1 n n n 1 n所以a a ， a 是n n n1 2a d 的等差数列，1 2所以 3 ( 2 2n nS n n n ,又因为 f (n)n22n,所以S f(n), n n2故点(,S )也在函数 y f (x)的图象上n():f(x) x2 2x x(x2),令 f(x)得xx2当 x变化时,f(x) f(x)的变化情况如下表:x (-,-2) -2 (-2,0)f(x) + 0 -f(x) 极大值 注意到 (aa 12,当2a12,即2

18、af(xf( ,此时 f(x)无极小3值；当a10,0af(x)的极小值为 f(0)2, f(x)无极大值；当a或1aaf(x)既无极大值又无极小值学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力16、设ab0.若 3是a与b的等比中项，则 1 1 的最小值为（ ）a b1A8 B4 C1 D4答案：B解析：因为3a 3b 3，所以ab1， 1 1 (ab1 1) 2 b a a b a b a bb a22 4，当且仅当a bb 即 1aa b 时“=”成立，故选择Ba b 2能力17、设数列 a a c cN c为实数a 满足 0 n 1 3 1 , *,n（）证明：a 对任意nN*成立的充分必要

19、条件是c；n（）设0（）设01c ，证明：a 1c)n1,nN*；n3 1 2c ，证明：a2 a2 2 1 ,nN* 3 1c1 2解析： (1) 必要性： ，又1 21c 2 0 1 1 ，即a cc充分性 ：设c，对nN*用数学归纳法证明a n，当n1时，a 假设a k 1 0 k，则a 3 cc c ，且1 1 1 1k ka 3 c c1 1 1 0k k ， ，由数学归纳法知 a 1a 对所有nN*成立 k n(2) 设01 ，当n1时，a ，结论成立c 1 03当n2 a c a c a a a 1 1 , 1 1 1 1) n n n n n n，10C ,由（1a 1，所以n

20、31a a 3 且n 1 n 11 0a n 1，1a ca )n n 1，1a ca )c) a ) n a )n2 1 1n n n ，1 2 1 1 )n ( )a c nN1 *n (3) 设01 ，当n1时， 2c a132021c，结论成立，当n2时，由（2a 1c)n1 0n，a2 c)n1)2 1c)n1 c)2(n 1c)n1n，a2a2 2 2 2 2 1n 1 2 n 2 nc) ) 2nn1 n11c 1c纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） 解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有

21、 个，其中为等差数列有三类：（ 0 6 1或-1的有8 2或 4共有 个，成等差数列的概率为 B时要做到不遗漏，不重复19、等差数列an和bnn项和分别用Sn和TnS 4n an nT n5 bn n的值为( )A4n2n1Bn36n2C6n3n2D6n2n3答案：Aa aS n n a2n1(2nn n n2a S 4(2n 2 1n n b T 3(2n 5n 2n18n4 4n2 6n2 n1点评：考查等差数列的前n 项和的变形。(ab)220 0yabyxdy 的最小cd值是_答案：4 (ab) (xy) (2 解析： cd xy xy2 2 2点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不

22、等式。21 p:实数x满足x24a20a0q:实数x满足x2 x60或x2 2x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围解析：设 Ax x ax a a x|a x，| 4 3 0( 0)2 2B x x x x x | 6 0 2 8 02 2 x|x x60 x|x 2x802 2x|2 xx|x4x=x|x4x因为p是q的必要不充分条件，所以q p，且p推不出q而C B x|4 x， | 3 , C A x x a xa R Ra2 a4所以x|4 xx|xa或x，则 或 a 0 a 0 即2 或a4a 03点评：考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。22、已知二次函数 f(

23、x)的二次项系数为 a ，且不等式 f(x)2x 的解集为（1 , 3（）若方程 f(x)6a 0有两个相等的根，求 f(x)的解析式；（2 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围1 f(x)2x013 f(x)2xa(xx且a0因而 f(x)a(xx2xax2 (24a)xa （）由方程 f(x)6a 0得：ax2 (24a)x9a 0 （）因为方程（2）有两个相等的根所以(24a2 4a9a0，即5a2 4a10解得：a1（舍去）或 1 a ，5a 1 代入（）得 f(x)的解析式为： ( ) 1 2 6 3 将5 5 5 5（2）f(x)ax 2a)xa21a a a12a(x )

24、，2a aa2 4a1有 a ，且a 0，求证：PB等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 分.1）由题设知，ab 2,M(N 2所以线段 中点的坐标为(22) 平分线段 MN 过线段 过坐标原点，所以k 22122.（2）直线 的方程x y2 2y 2x代入椭圆方程得 4 2解得2 2 4 2x ,P( , ( ,3 3 3 343 2C( 3于是直线AC 的斜率为0234323故直线AB的方程为x y230.|234 2 3 31 11 2|2 2,d .3（3）解法一：将直线 的方程 y 代入x y 2 22 2 解得x ,记 ,4 2 12 2 12 2k k则P(,k(,k

25、C(故直线 AB 的斜率为0k k 2,其方程为y ( (2 2) 2 k x k x k x k2 2 2 22解得k 2) k 2) k2 2 3x x B或 因此 ( , )2 2 2 2 2 2k k k.于是直线PB的斜率k3k2k2 k k(2k )3 21k 1 2 k k kk ) 3 2 (2 22 2 )2k2.因此 .1k PA PB解法二：P 1 y B x y x x x x A x y C x 设 ( , ( , , ( , ( 1 2 2 .2 1 1 2 1 1 10(y ) yk 1 1 2x (x ) 2x设直线PBAB的斜率分别为1,k2因为C 在直线AB

26、 1 1 1k2.从而y y y (y )1 k1k k 12 12 1 2 11 2 x x x ( x )2 1 2 12y 2y (x 2y ) 442 2 2 22 ( 2 ) 4 42 1 1 2 2x x x x2 x x2 2 2 2 22 1 2 1 2 10.k 因此 1k PA .30 A1,1点B在抛物线 y xQ满足BQ QA，经过Q点与M x轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP,求点P的轨迹方程。考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由QM MP知QMP 三点在同一条垂直于 x轴的直线上，故可设P , y 则 ( 则 ) .

27、( yQ(, 0M(,x2 x2 y y x2 y x2 y0 0B x 由 即 再设 ( , , ( . ) 1 y BQ x x y y x y1 1 0 1 0 x1y解得1)x)y0,.将式代入式，消去 y0，得x1y1)x)2x2,)y.又点B 在抛物线y x2上，所以y 21 x 11，再将式代入y 21 x 11，得)2x )y 2)x)2,)2x )y 2) x 22 2)x2,2)x)y) 0.因 两边同除以得2x y1 0.故所求点P 的轨迹方程为 y 2x1.31 ）x2G y2 : 14已知椭圆 .x2 y2 1的切线 I交椭圆G 于AB 两点.（）求椭圆G 的焦点坐标

28、和离心率； （）将 表示为 m的函数，并求 的最大值.（19 14 a b c所以 a2 b 2所以椭圆G 的焦点坐标为( 3,0),( 3,0)e离心率为ca32.（）由题意知，|m1.3 当m1时，切线l的方程x 1，点AB的坐标分别为232此时| 3当 m=1时，同理可得| 3当|m1时，设切线 l 的方程为 y k(xm由 y k(x m2 4k )x 8k mx4k m 4 2 2 2 2 2x得 y2 1. 40设 AB 两点的坐标分别为( , , )1 y x y ，则1 2 2k2m 2 2k mx x ,x x 1 1 42 2 1 k k 12 24又由 l |x2 2 ,

29、得 即m2k2 k2 1.y k 12| x2 x ) (y y )| (2 2 1 2 1所以 k4 64k m24k )2 24(4k m2 214k24)4 3|m m2 3|.由于当m3时，| 3,所以| 4 3|m| 2 ) ,m ( , m 3.因为| 4 3|m| 4 32 m 3 3 3|m| |m|且当m 3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2.32 ）已知直线 ：，R。（）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P P 在 y轴上，求该圆的方程；（ l x轴对称的直线为ll与抛物线 Cx2=4y是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，

30、考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13分。解法一：（）依题意，点P 的坐标为（，）因为 l，所以0m 1 12 0 ，解得 m=2 P 的坐标为（，2）从而圆的半径r | (20) (02) 2 2,2 2(x2) y 8.2 2故所求圆的方程为（）因为直线l的方程为y x,所以直线l的方程为y x.由y xm , 得x 4x 4m 02 2 4x y4 44mm)2（1m0时，直线l与抛物线C相切（2m，那0时，直线l与抛物线C不相切。综上，当时，直线l与抛物线C相切；当m时，直线l与抛物线C不相切。解法二：(x2)2 y r2.（）设

31、所求圆的半径为 ，则圆的方程可设为依题意，所求圆与直线l:x ym0相切于点 P（0，则 2 24 m r , |20m| 2r,解得mr 2 2.(x2)2 y28.所以所求圆的方程为（）同解法一。33 ）(x 5)2 y2 4,(x 5)2 y2 4设圆C 与两圆中的一个内切，另一个外切。（1 C 的圆心轨迹 L的方程;3 5 4 5( , F( 5,0)5 5（2 M P 为 LMP FP的最大值及此时点P 的坐标（）解：设 C的圆心的坐标为(x,y)，由题设条件知| (x 5) y (x 5) y 2 2 2 2化简得 L的方程为x24 y2 （）解：过 M，F的直线l方程为 y 2(

32、x 5)，将其代入 L的方程得15x 32 5x84 0.2解得6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5x ,x ,故l交点为T ( , ),T ( , 1 2 1 25 15 5 5 15 15| | FT | | 因 T1 在线段 MF外，T2 在线段 MF内，故 1 1| | | | 2.，若P 不在直线 MF上，在中有2 2| FP| | 2.|MP| FP|故 点取得最大值 。34 ）平面内与两定点 (a,0)，A2(a,0) (a 0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上 1、 A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关

33、系；C1m1m(0)U)C2，设F1、2是C2C1N F1N 2S |m|a2。若存在，求tanF1N 2的值；若不存在，请说明理由。 ）设动点为 ，其坐标为(x,y)，y y y2k k 2 2 ,当xa时，由条件可得 x a x a x a 1 2即mx2 y2 ma2(xa)，又 1(a,0),2(,0)的坐标满足mx2 y2 ma2,故依题意，曲线 C的方程为mx2 y2 ma2.当m,C的方程为x y2 22 2 Ca 是焦点在 y轴上的椭圆；当m1时，曲线C的方程为x2 y2 a2C 是圆心在原点的圆；当1m0时，曲线C的方程为x y2 22 2 1 a C 是焦点在 x轴上的椭圆

34、；当m0时，曲线C的方程为x y2 22 2 a maC是焦点在 x轴上的双曲线。（）由（）知，当 时，C1的方程为x2 y2 a2;当m(0) 时，C2的两个焦点分别为1(a 1m,2(a 1m,对于给定的m(0) ，C1上存在点N(0,y0)(y0 0)使得S |m|a2的充要条件是 x y a ,y 2 2 2 0 0 012a 1m| y |m|a .2 0 2 0|m|a| y .由得0| y0 a,由得 1m0|m|a 1 50 a,即 m1m 2 当0或m1 52时，存在点 N S=|m|a2；当|m|a 1 5 a,即-1m ,1m 2m1 52或 时，不存在满足条件的点 N，

35、当 1 5 1 5m ,02 2 时，由NF1 (a 1m0 y02 (a 1m0,y0)，可得NF1NF2 2 m)a2 y2 ma2,令|NF1 1,|2 2,12 ，则由 rr rr1 2 1 2 2,1 2 2，从而1 sin 12S rr sin tan21 2 2 2 2，于是由S |m|a2，可得 1 2|m| ma2tan |m|a2,即tan . 2 m综上可得：当 1 5m ,02 时，在 C1 上，存在点 N，使得S |m|a ,且F 21 2当 1 5m 2 时，在 C1 上，存在点 N，使得S |m|a ,且F 21 2当 1 5 1 5m( ) ,) 2 2时，在

36、C1 上，不存在满足条件的点N。35 ）x y2 2C a b1: 2 2 0)a b如图 ，椭圆 的离心率为3C y x b2 : 22 ，x 轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。（）求C1C2的方程；（）设 与 y 轴的焦点为 ，过坐标原点 O 的直线l与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB分别与 相交与D,E（）证明：ME;（）记MAB,MDE 的面积分别是1,S2问：是否存在直线 l,S1S2?请说明理由。c3 e ,从而a b,又2 b a,解得a b 1.a 2 解 故 C1C2的方程分别为x24 y y x2 21.）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l

37、 的方程为 y .y由yx21得x2 10.设(1,1B(x2,y21,x2是上述方程的两个实根，于是1 x k x x , 2 1 2又点 M的坐标为（，kk1 1 1 ( ( )1 x2k x x k x2y y 2 1 1 2 1 2x x x x x x1 2 1 2 1 2k 2k21 1故 MAMB y k x1y k x 由 （）设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 1 y x21解得xy0 x 1yk,k211则点A 的坐标为( , k1 k2 .11k又直线 的斜率为 1，同理可得点 B的坐标为(1k1,1k21于是1 1 1 1 1k2S |MA| 1k |k | 1 |

38、2 11 1 1 12 2 k k 2|k |1 1 1y k 1x ,1由x 4y 2 240 24k )x 8k x 得10. 8kx 1 , x 1 4k2 1 或y 1 4k 12 y1 1 4k21解得k 4k 12( , 1 114k 14k2 2则点 D 的坐标为1 11又直线 ME的斜率为 k8k( 14k2，同理可得点E 的坐标为1,44kk21211 |k | k )2S |MD|ME1 12 2 2于是 4)2 k k1 1.因此S 1 41 (4k 17).21 2S 64 k2 1由题意知，1 4 17 1(4k 17) , k k .2 解得 2 或 2 1 2 1

39、 164 k 32 411k 21 2k 1 3k 1 k k ,所以 .1 21kk 11k又由点 AB 的坐标可知，1故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为3y y 232.36 ）如图，已知椭圆 的中心在原点 O，长轴左、右端点 ，N 在 x 轴上，椭圆 的短轴为 MN C1C2 的离心率都为 ，直线 ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 ABCDe（）设12 ，求 与的比值；（）当 e 变化时，是否存在直线 ，使得 BOAN，并说明理由）因为 C1C2的离心率相同，故依题意可设x y b y x2 2 2 2 21: 2 2 2: 4 2 (a

40、 b a b a a设直线l:x t t a)，分别与 C1C2的方程联立，求得a bt, a t Bt, a t 2 2 2 2b a4分1 3e ,b a,分别用y ,yA B2 2当表示 A，B 的纵坐标，可知2| y | b2 3| BC AD B .2| y | a2 4A6分（）t=0时的l不符合题意.t 0时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN 相等，即b aa t a t2 2 2 2a bt t a,ab 1e2 2t .a b e2 2 2解得1e 22|t a,0e所以 解得 e1.e 22因为0所以当 e22时，不存在直线 ，使得BO/AN；当22e1

41、时，存在直线 l 使得BO/AN. 12 分37 ）y2C x2 : 12在yF且斜率为- 2的 已知O 为坐标原点，F为椭圆直线l与C交于AB两点，点P（）证明：点P 在 C （）设点P 关于点O 的对称点为QA、Q 四点在同一圆上解：（）（0，1l的方程为y 2x1，代入y2x2 12并化简得4x 2 2x1 2分2设 (1,1B(2,y2P(3,3则2 6 2 6x ,x ,1 24 42x x ,y y 2(x x )21 2 1 2 1 22由题意得2x (x x ) ,y (y y )1.3 1 2 3 1 222( ,2 所以点P 的坐标为2( ,2 经验证，点P 的坐标为 满足

42、方程y2x2 2故点P 在椭圆 C 6分（）由 2P( , 2和题设知， 2Q( 2PQ的垂直平分线1的方程为 2y . 2M设 AB 的中点为 ，则 2 1( , ) 4 2AB 的垂直平分线为l2的方程为2 1y x2 4.由、得1,l2的交点为 2 1N( , ) 8 8。 9分2 2 1 3 11|NP ( ) (1 ) ,2 22 8 8 83 2| AB 1( 2) |x x ,22 12 3 2| AM , 42 2 1 1 3 3| ( ) ( ) ,2 24 8 2 8 83 11|NA | AM | | | ,2 28故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|

43、NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知 AP、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上38 20）在平面直角坐标系 xOy中，已知点（B点在直线 y 3上，M点满足/， ，M 点的轨迹为曲线（）求 C的方程；（）P 为C 上动点，l为 C P 处的切线，求O 点到l距离的最小值解：()设 ，由已知得 B(x，A(0，所以=（， =(0-3-y)， =(x，再由题意可知（+ ） =0， 即（，） (x，-2)=0.14 x2所以曲线C 的方程式为 1 1 1()设P(x0，y0)为曲线：4 x2 2 x，所以l的斜率为 上一点，因为 y =2 x0因此直线l的方程为1y

44、y x (xx )0 0 02，即x x y y x 0 2 2 0 0则O l的距离d |2y x |20 0 x204.又1y x2 20 04，所以1x24 1 402 ( 4 ) d x2 0 x 4 x 42 20 0 2 当x20 时取等号，所以O l距离的最小值为 2.39 ）已知动直线l与椭圆C:x y 2 21交于P x y1, 13 2Q x y2, 2OPQ 的面积S=62 ,其中O 为坐标原点.（）证明x2x 21 2和y y2 21 2均为定值;（）设线段PQ的中点为 M| |的最大值；S S S C 上是否存在点 D,E,G62?DEG的形状；若不存在，请说明理由.

45、（）当直线l的斜率不存在时，PQ 两点关于 x 轴对称，所以2 1,y2 1.因为P(1,1)在椭圆上，因此x y 2 21 1 13 2又因为S 62,6|x | y .1 12所以6|x ,|y 1.1 12 由、得此时x2 x2 y2 y2 1 2 1 2 （）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y m,由题意知 m0，将其代入x y 2 213 2，得(2k )x 6m 2)02 2 2，其中36k m 12(2k )(m 2)2 2 2 2k 2m （）2 2即又 m 2x x ,xx ,1 2 2 1 2 22k 2k2 6 3 2 2 2k m| 1k2 (x x )2 4x

46、x 1k2 ,1 2 1 2 22k 所以因为点O 到直线l的距离为d |m|1k ,2所以1S |d21 2 6 3 2 | |k2 m2 m 1k 22 2 3 1 k2 k 26|m| k 2m2 22k2又S 62,k 22m ,2 2整理得 且符合（）式，此时 m 2x2 x2 (x x )2 2xx ( )2 2 1 2 1 2 1 2 2 22 k 2 k2 2 2y2 y2 x2 x2 x2 x2 ) ) 4 ( ) 1 2 1 2 1 23 3 3综上所述，x2 x2 y2 y2 1 2 1 2 结论成立。（）解法一：（）当直线l的斜率存在时，6| |x ,|PQ2| y 1

47、 12 由（）知6| |PQ 2 6.2 因此（）当直线l的斜率存在时，由（）知1 2 k , 2 2m y y x x k k m 3 3 22 2 21 2 k( 1 2) m m ,2 2 2m 2m mx x y y 9k2 1 6m22 1 1| 2( 1 2)2 ( 1 2)2 2 2 4m m 4m 2 m2 2 2 2k2 2m2) 2(2m2 1|2k2) 2(2 (2k ) m m2 2 2 21 1 1| 2 |2 )2(2 )2 m2 m2 所以1 1 )(2 )m m2 21 13 225 m m2 2( ) .22 4| | PQ所以521 13 2 ,m 2m m

48、2 2，当且仅当时，等号成立.综合（12）得的最大值为52.解法二：4| 2 |2(x x )2 (y y )2 (x x )2 (y y )2因为1 2 1 2 2 1 2 1 x x )(y y 2 2 2 21 2 1 210.所以4| 2 | 2 2| | 2 5 5| | , 2即当且仅当2| | 5时等号成立。因此 的最大值为52.（）椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得S S S 62.D u v E x y G x y S S S ( , ( , ( , )1 1 2 2 62证明：假设存在 ，由（）得u x u x x x v y v y y y 2 2 2 2 2 2

49、2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 23解得u x x ;v y y 1.2 2 2 2 2 2 1 2 1 225因此 只能从 中选取 只能从 中选取u,x ,x ,v,y ,y 1 ,1 2 1 22 6( , 2因此DEG 只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，S S S 62与 矛盾，所以椭圆C 上不存在满足条件的三点 D，40 ）x2 y2 25如图，设 P 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的摄影，M 为 PD 上一点，且 4MD PD 5（）当P 在圆上运动时，求点 M C的方程；4（）求过点（3，）且斜率为5 的直线被 C所截线段

50、的长度 M的坐标为（）P 的坐标为（xp,yp） x, 5 y, 4 由已知得P 在圆上， 2x y 2 5 25 ，即 C 的方程为4x y 2 21 （）过点（，0）且斜率为45 的直线方程为4y x3 5，设直线与C的交点为 A x y B x y1, 1 , 2, 2将直线方程4y x 35 C的方程，得x 22 x 3 125 25即x2 3x803 41 3 41x ,x 1 22 2 AB的长度为AB x x y y x x 1 4116 41 41 2 2 21 2 1 2 1 2 25 25 5注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。41 ） 已知

51、平面上的线段l及点Pl上任取一点QPQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l)。（1）求点P到线段l:x y3 x的距离d(P,l)；（2l是长为2 的线段，求点集DP|d(P,l)所表示图形的面积；（3）写出到两条线段1,l2距离相等的点的集合 P|d(P,l ) d(P,l ，其中 1 2l l CD1 , 2，A B C D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2, , ,6 分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。BC(D(0)。 B0),C(D(2)。y1 B(0,0),C(0,0),D(2,0)。AB O 1解： 设Q(x,x是

52、线段l:x y3 x上一点，则2 2 5 2 9| (x (x x ) x2 2， 当 x3 时 ，d(P,l)| 5。 设线段l的端点分别为 ,B，以直线 AB为x轴， AB的中点为原点建立直角坐标系，则 (0),B0)，点集D由如下曲线围成1: y xl2: y x，1:(x y x2:(x y x2 2 2 2其面积为S 4。 BC(D(1,0)，(x,y)|x B0),C(D(2)。(x,y)|xy x2 B(0,0),C(0,0),D(2,0)。(x,y)|xy y x,0 x2 xyy3C3A C AyBDB 1OxA O 1x D 1 2x D42 ）椭圆有两顶点（0（0 （ l

53、 与椭圆交于 D 两点，并与 x轴交于点P AC 与直线 交于点Q（）当 |=322 时，求直线 l 的方程；（）当点P 异于A、B两点时，求证：为定值。解：由已知可得椭圆方程为y22x2 1，设l的方程为 y1k(x0),k为l的斜率。则 2k 4y 1 x x y y 1 2 2 1 2 22 k 2 k(2 k )x 2 1 02 2 2yx 1 x x 1 y y 2k 22 2 2 2 21 2 2 1 2 2k k k2 8 k4 k2 9 2 2 2 (2k ) (2k ) 2(x x ) (y y ) k 2 k 21 2 1 2 2 2 2 2 的方程为y 2x1l43 ）在

54、平面直角坐标系中，点P(a,b) (a b0)为动点，1,2分别为椭圆x y2 22 2 1 的左右焦点已知12为等腰三角形a b（）求椭圆的离心率e；（）设直线2与椭圆相交于 ,B两点，M 是直线PF上的点，满足 AM BM 2，2求点M 的轨迹方程数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分 分.（）解：设1(c,0),2(c,0)(c 0)由题意，可得|2 |12 |,即(ac) b 2.2 2整理得c c c )2 1 1 得 a a a或ca12. e所以12.（）解：由（）知a 2c,b c,3x2 4y2 12c2,可得椭圆方程为直线 方程为 y

55、 3(xcAB两点的坐标满足方程组 x2 y2 c23 4 12 , y x cy x c5x2 0. 消去 y并整理，得解得8x x .1 25得方程组的解 8x c,x 5 21 y c, 3 3 1 y . 52不妨设8 3 3( c, cB c) 5 5(x,y则AM (x c,y cBM (x,y c)5 5设点 M的坐标为，由3y 3(xc),得c x .3于是 8 3 3 8 3 3AM ( y x, y x 15 5 5 5BM (x, 3x).由 8 3 3 8 3 3( y x)x( y x) 3x215 5 5 5即 ，18x2 3化简得将18x 15 3 10 x 52

56、 2y 代入c x y,c 0. 16 3x 3 16x所以x18x2 30(x因此，点 M的轨迹方程是44 ）已知抛物线1:x y，圆C23:x2(y4)21的圆心为点 M（）求点 M 到抛物线1的准线的距离； P 是抛物线1 P 作圆 1于c2AB两点，若过 MP 两点的直线l垂直于 ，求直线l的方程几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 （）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：y 14,所以圆心 （，4）到准线的距离是174.P(x ,x2(x,x2B(x ,x2)（）解：设 ，0 0 1 1 2 2则题意得0 0 1 2，设过点P 的圆C2的切线方程为yx2 k xx0 ( 0)，即y

57、 x20 0则| 4 x | 20 0 1k2(x k 2x (4x )k(x 102 2 2 2 2即 ，0 0 0 0设PB的斜率为1,k2(1 k2)，则1,k2是上述方程的两根，所以2x (x 4) (x 4) 1 2 2 20 0 0k k ,k k .1 2 2 1 2 2x 1 x 10 0将代入yx x x 2 2 20 0 由于0是此方程的根，故1 1 0,2 k2 0，所以x x 2 22 2 2x (x 4) x 4k x x k k x x k 1 2 2 0 0 2 , 0 . x x x 1 x1 2 1 2 0 2 01 2 0 0由MP AB，得2x (x 4)

58、 x 42 2k k ( 0 0 2x )( 0 0 x 1 x 22x 1 x0 0，解得x2 0235,23 23( , )5 5即点P 的坐标为 ，所以直线l的方程为 3 115y x 1154.e45 20）如题（）图，椭圆的中心为原点O，离心率 ，一条准线的方程为x （）求该椭圆的标准方程；P满足：OP OM ON中M,N 与的斜率之积为 ，问：是否存在两个定点F,F ，使得PF 为定值？若存在，求, 的坐标；若不存在，说明理由e）由c 2 a2 , 2 2,a 2 ca c 2,b a c 22 2 2解得，故椭圆的标准方程为x y 2 24 2（）设P(x,y),M(1,1N(x

59、2,y2)，则由 得2(x,y) (x ,y )2(x ,y ) (x 2x ,y 2y 1 1 2 2 1 2 1 2即x x 2x ,y y 2y .1 2 1 2x22y2 4因为点 MN 在椭圆 上，所以1 21 2 22 42 2 2 2，故x2 y2 x2 x2 x x y2 y2 y y2 ( 4 4 ) 4 4 )1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 (x 2y ) 4(x 2y ) 4(x x 2y y )1 1 2 2 1 2 1 2 204(x x 2y y 1 2 1 2设 ,k k 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知y yk k 1 2 x x1 21 ,因此12 21y2 2所以x22y2 20.所以 P 点是椭圆x y 2 2(2 5) ( 10)2 21上的点，设该椭圆的左、右焦点为 ，则由椭c (2 5) ( 10) 2 2圆的定义为定值，又因，因此两焦点的坐标为1( 10,0),2( 10,0).46AB是抛物线