初中数学九年级培优教程整理(全)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业初中数学九年级培优目录 第1讲 二次根式的性质和运算(P2-7) 第2讲 二次根式的化简与求值(P7-12) 第3讲 一元二次方程的解法(P13-16) 第4讲 根的判别式及根与系数的关系(P16-22) 第5讲 一元二次方程的应用(P23-26) 第6讲 一元二次方程的整数根(P27-30) 第7讲 旋转和旋转变换（一）(P30-38) 第8讲 旋转和旋转变换（二）(P38-46) 第9讲 圆的基本性质(P47-51) 第10讲 圆心角和圆周角(P52-61) 第11

2、讲 直线与圆的位置关系（P62-69） 第12讲 圆内等积证明及变换(P70-76) 第13讲 弧长和扇形面积(P76-78) 第14讲 概率初步(P78-85) 第15讲 二次函数的图像和性质(P85-91) 第16讲 二次函数的解析式和综合应用(P92-98) 第17讲 二次函数的应用(P99-108) 第18讲 相似三角形的性质 (P109-117) 第19讲 相似三角形的判定(P118-124) 第20讲 相似三角形的综合应用(P124-130)每天进步一点点！坚持就是胜利！第1讲 二次根式的性质和运算考点方法破译1了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2掌握

3、二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典考题赏析【例】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. B. C. D.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：被开方式中不能含分母；被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.；，最简二次根式是（）A, B,C, D,【例】(黔东南)方程，当y0时，m的取值范围是（ ）A0m1 Bm2Cm2 Dm2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个

4、代数式均为0的结论.由题意得4x80，xym0.化为y2m，则2m0，故选C.【变式题组】2（宁波）若实数x、y满足，则xy的值是_.3（荆门）若，则xy的值为（ ）A 1 B1C2 D34（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）Ax3 Bx3Cx4 Dx3且x45.（怀化），则abc_.【例】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A BC D【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A； B不能化简；C.；D，而.故本题应选D.【变式题组】6如果最简二次根式与是同类二次根式，则a_7在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A

5、和 B和C和D和8已知最简二次根式和是同类二次根式，则a_，b_.【例】下列计算正确的是（ ）A BC D【解法指导】正确运用二次根式的性质； ； 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. .故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ）A BC D10计算：_11_12(济宁)已知a为实数，那么（ ）Aa Ba C1 D013已知ab0，ab6，则的值为（ ）A B2CD【例】已知xy0，化简二次根式的正确结果为（ ）A BCD 【解法指导】先要判断出y0，再根据xy0知x0. 故原式.选D.【变式题组】14已知a、b、c为ABC三边的长，则化简的结

6、果是_.15观察下列分母有理化的计算：，算果中找出规律，并利用这一规律计算：_.16已知，则0 x1，则_.【例】（辽宁）先化简吗，再求值：，其中，.已知，那么代数式值为_.【解法指导】对于，先化简代数式再代入求值；对于，根据已知数的特征求xy、xy的值，再代入求值.【解】原式，当，时，ab1，ab,原式.由题意得：xy1，xy10, 原式.【变式题组】17（威海）先化简，再求值：(ab)2(ab)(2ab)3a2，其中,.18（黄石）已知a是的小数部分，那么代数式的值为_.【例】已知实数x、y满足，则3x22y23x3y2007的值为（ ）A2008B2008C1D1【解法指导】对条件等式作

7、类似于因式分解的变形，找出a、b的关系，再代入求值.解:，由以上两式可得xy., 解得x22008，所以3x22y23x3y20073x22x23x3x2007x220071，故选D.【变式题组】19若a0，b0，且，求的值.演练巩固反馈提高01若，则估计m的值所在的范围是（ ）A1m2 B2m3C3m4D4m502（绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）A12B11C8D303（黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.04（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.05下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.06（常德）

8、设a20， b(3)2, , , 则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）AcadbBbdacCacdbDbcad07（十堰）下列运算正确的是（ ）A BC D08如果把式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A BCD09（徐州）如果式子化简的结果为2x3，则x的取值范围是（ ）Ax1Bx2C1x2 Dx010（怀化）函数中自变量的取值范围是_.11（湘西）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算ab.那么124_.12（荆州）先化简，再求值：，其中.13（广州）先化简，再求值：，其中.培优升级01（凉山州）已知一个正数的平方根是3x2和5x6，则这个数是_.02已知a、

9、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有_对.03（全国）设，则_.04（全国）设,a是x的小数部分,b是x的小数部,则a3b33ab_.05（重庆）已知，则x2y2_.06（全国）已知，那么a、b、c的大小关系是（ ）AabcBbacCcbaDcab 07（武汉）已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）AB3CD08（全国）已知非零实数a、b满足，则ab等于（ ）A1B0C1D209（全国）等于（ ）ABC5D110已知，则的值为（ ）ABC D11已知，求abc的值.12已知与的小数部分分别是a和b，求ab3a4b8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点方法

10、破译1会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典考题赏析【例】（河北）已知，那么的值等于_【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用表示或化简变形.解：两边平方得， ，两边同乘以x得， ，原式=【变式题组】若（0a1），则_设，则的值为（ ）ABCD不能确定【例】（全国）满足等式2003的正整数对（x,y）的个数是（ ）A1B2C3D4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为， ，则xy2003，且2003是质数， 正

11、整数对（x,y）的个数有2对，应选B.【变式题组】3若a0，b0，且，求的值.【例】（四川）已知：，求代数式 的值.【解法指导】视x2，x2-4x为整体，把平方，移项用含a的代数式表示x2，x2-4x，注意0a1的制约.解：平方得， ， 化简原式 【变式题组】4（武汉）已知，求代数式的值. 5（五羊杯）已知，且，则a的值等于（ ）A5B5C9D9【例】（全国）如图，点A、C都在函数的图像上，点B、D都在x轴上，且使得OAB、BCD都是等边三角形，则点D的坐标为_.【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F.设yxAOBCDEFOE=a，BF=b，则AE=a，CF=b，所

12、以，点A、C的坐标为（a,a）、（2ab,b），所以，解得，因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； （一） ； （二）； （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简：； （四）（1）请你用不同的方法化简； = 1 * GB3 参照（三）试得：=_；（要有简化过程） = 2 * GB3 参照（四）试得：=_；（要有简化过程）（2）化简：【例】（五羊杯）设a、b、c、d为正实数，ab，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为，求此三角形的面积.【解法指导】虽然

13、不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD，使ABba，ADc，延长DA至E，使DEd，延长DC至F，使DFb，连结EF、FB、EB，则BF，EF，BE=，从而知BEF就是题设的三角形，而SBEFS长方形ABCDSBCFSABESDEF(ba)c(dc)(ba)bd(bcad)【变式题组】7(北京)已知a、b均为正数，且ab2，求U演练巩固反馈提高01已知，那么代数式值为_02设，则（ ）A24B25CD03（天津）计算_04（北京）若有理数x、y、z满足，则_05（

14、北京）正数m、n满足，则_06（河南）若，则的值是（ ）A2B4C6D807已知实数a满足，那么的值是（ ）A1999B2000C2001D200208设，则a、b、c之间的大小关系是（ ）AabcBcbaCcabDacb09已知，化简培优升级01（信利）已知，那么_02已知，则_ 03（江苏）已知，则_04（全国），则x_05已知，那么_06（武汉）如果，那么的值为（ ）AB2001C1D007（绍兴）当时，代数式的值是（ ）A0B1C1D08（全国）设a、b、c为有理数，且等式成立，则的值是（ ）A1999B2000C2001D不能确定 09计算：（1）（2）（3）（4）10已知实数a、b

15、满足条件，化简代数式，将结果表示成不含b的形式.11已知，化简：12已知自然数x、y、z满足等式，求xyz的值. 第3讲 一元二次方程的解法考点方法破译1掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3会应用一元二次方程解实际应用题。经典考题赏析【例】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A.(m-2)x2-2x-1=0 B.k2x+5k+3=0 C. D.【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0，不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.【变式题组】1（威海）若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则

16、另一个根是_.【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，那么代数式2m2+4n2-4n+1998=_.【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，原式=2010.【变式题组】2（南昌）若3a2-a-2=0，则5+2a-6a2=_.3（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）A2006 B2007 C2008 D2009【例3】

17、关于x的一元二次方程(m-3)x2+4x+m2-9=0有一个根为0，m的值为_.【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.解：依题意m2-9=0，m=3，根据方程是一元二次方程得m3，综合知m=-3.【变式题组】4（庆阳）若关于x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0，则k=_.5（东营）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）A1 B2 C1或2 D0【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.【解法指导】解：解法一：a=1，b=4,c=-1，x=.即x=-2.原方程的根为.解法二：配方，得(x+2)2=5

18、，直接开平方，得,原方程的根为.【变式题组】6（清远）方程x2=16的解是（ ）Ax=4 Bx=4 Cx=-4 Dx=167.（南充）方程(x-3)(x+1)=x-3的解是（ ）A.x=0 B.x=3 C.x=3或x=-1 D.x=3或x=08.（咸宁）方程3x(x+1)=3x+3的解为（ ）Ax=1 Bx=-1 Cx1=0，x2=-1 Dx1=1，x2=-19.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.x2-3x+1=0；(x-1)2=3；x2-3x=0；x2-2x=4.【例5】（山西

19、）解方程：6x2-x-12=0【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x2-x=2，配方得x2-x+(-)2=2+(-)2,(x-)2=()2，即x-=，x1=,x2=.【变式题组】10（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.11（武汉）解方程：x2-3x-1=0.12（山西）解方程：x2-2x-3=0.演练巩固反馈提高01（宁德）方程x2-4x=0的解是_.02（十堰）方程(x+2)(x-1)=0的解为_.03（大兴安岭）方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）Ax=5 Bx=或x=6 Cx=7 Dx=5或x=704（太原）用配方法解方程x2-2x-5=0时，

20、原方程应变形为（ ）A(x+1)2=6 B(x-1)2=6 C(x+2)2=9 D(x-2)2=905（云南）一元二次方程5x2-2x=0的解是（ ）A B C D06（黄石）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+nx-1=0的两实数根，则式子的值是（ ）An2+2 B-n2+2 Cn2-2 D-n2-207（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A8人 B9人 C10人 D11人08（台州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（ ）A(x+2)2=1 B(x-2)2=1 C(x+2)2=9 D(x-2)2=9

21、09（义乌）解方程x2-2x-2=0.10（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.11（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.12（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.13（长春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.14（上海）解方程：培优升级01（鄂州）已知、为方程x2+4x+2=0的两个实根，则3+14+50=_.02已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式的值为_.03（苏州）若x2-x-2=0，则的值等于（ ）.A B C D或04（全国）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，

22、恰有一个公共实数根，则的值为（ ）.A0 B1 C2 D305（全国）已知实数x、y满足：，y4+y2=3，则的值为（ ）.A7 B C D506（全国）已知m=1+，n=1-，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，则a的值等于（ ）.A-5 B5 C-9 D907（毕节）三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是_.08（滨州）观察下列方程及其解的特征：的解为x1=x2=1；的解为x1=2，x2=；的解为x1=3，x2=；解答下列问题：请猜想：方程的解为_；请猜想：关于x的方程_的解为x1=a，x2=（a0）；下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性.解：

23、原方程可化为5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）09（泸州）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函数（x0）的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、An-1An都在x轴上.求P1的坐标；求y1+y2+y3+y10的值.第4讲 根的判别式及根与系数的关系考点方法破译1掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典考题赏析【例1】（成都）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有

24、两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）Ak-1 B.k-1且k0 C.k1 D. k0，所以方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得， 【变式题组】8(中山)已知一元二次方程 QUOTE .(1)若方程有两个实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根为 QUOTE ，且 QUOTE + QUOTE ,求m的值.【例】 设实数s,t分别满足 QUOTE ,并且st1，求 QUOTE 的值.【解法指导】 本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.解：s0，

25、第一个等式可以变形为： QUOTE ,又st1， QUOTE t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有 QUOTE ,即st + 1 =99s，t = 19s QUOTE 演练巩固反馈提高01(东营)若n（n0）是关于x的方程 QUOTE 的根，则m+n的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 02(株洲)定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A B C D 03（崇左）一元二次方程 QUOTE 的一个根为-1，则另一个根为 04(贺州)已知关于x的一元二次方程有两个不

26、相等的实数根，则实数m的取值范围是 05（上海）如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 06（泰安）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .07（淄博）已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值08已知关于x的一元二次方程 QUOTE (1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根之积等于 QUOTE ,求 QUOTE 的值.09（孝感）已知关于的一元二次方程有两个实数根和（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的

27、值10（鄂州）关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由11（北京）已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，12（淄博）已知是方程的两个实数根，且(1)求及a的值；(2)求的值培优升级01（全国）设，且，则代数式的值为 （ ）A 5. B7. C 9. D.11.02（延边）已知m是方程 QUOTE 的一个根，

28、则代数式 QUOTE 的值等于（ ）A2016 B.2017 C.2018 D.201903如果a、b都是质数，且 QUOTE ,那么 QUOTE 的值为（ ）A QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D QUOTE 或204（全国）已知实数 QUOTE ，且满足 QUOTE 的值为（ ）A23 B.-23 C.-2 D.-1305.(全国)设 QUOTE 是关于x的方程 QUOTE 的两个实数根，则 QUOTE 的最大值为_06已知 QUOTE 是方程 QUOTE 的两个实数根，则 QUOTE 07（全国）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程 QUOTE 的两个根记作

29、QUOTE ,则 QUOTE _08已知关于x的方程： QUOTE .(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为 QUOTE ，满足 QUOTE ,求m的值及相应的 QUOTE .09（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程 QUOTE 有两个不相等的实数根 QUOTE ,(1)若 QUOTE ,求m的值；（2）求 QUOTE 的最大值.第5讲 一元二次方程的应用考点方法破译 1能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程； 2会建立一元二次方程模型解实际应用题经典考题赏析 【例l】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，

30、那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A8人 B9人 C10人 D11人 【解法指导】 构建一元二次方程模型求解设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x，患流感人数为x+l；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9应选B 【变式题组】1(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x，则关于x的方程为 2(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。提高到1

31、21 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为( ) A9 B10 C1l D123(太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 【例2】 (黄石)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2一12x+35=0的根，则该三角形的周长为( ) A14 B12 C12或14 D。以上都不对【解法指导】 方程x2一12x+35=0可化为(x一7)(x一5)=0，解得x=7或x=5，当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5，该三角形的周长为12应选B【变式题组】4(青海)方程x2一9x+18=0的

32、两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A12 B12或15 C15 D不能确定5(襄樊)如图，在平行四边形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x一3=0的根，则平行四边形ABCD的周长是( ) A、 B、C、 D、或 【例3】 (莆田)已知O1和O2的半径分别是一元二次方程（x1)(x一2)=0的两根，且O1O2=2，则O1和O2的位置关系是 【解法指导】 依题意，O1和O2的半径分别为1和2，lO1O23，O1和O2相交【变式题组】 6(兰州)两圆的圆心距为l，两圆的半径分别是方程x2一5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是( )

33、A外离 B内切 C相交 D外切7(江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程 8(庆阳)如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部 分作为耕地若耕地面积需要55 l米。，则修建的路宽应为( ) A、1米 B、15米 C、2米 D、25米 【例4】 (白银)在实数范围内定义运算“”，其法则为：ab=a2 - b2，求方程(43)x=24的解 【解法指导】 解此类题要严格按照定义进行变换 解：ab=a2 - b2(43)x=7x=72-x2 72-x2 =25x=5【变式题组】

34、9(全国)对于实数u、v，定义一种运算“”为：u v=uv+v,若关于x的方程x (a x)= 一有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 【例5】 (十堰)如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地怎样围才能使矩形场地的面积为750m2 ，(2)能否使所围矩形场地的面积为8l0 m2 ，为什么?【解法指导】 解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 (80一x)米依题意，得x (80一x)=750，即x2一80 x+1500=0解此方程，得x1=30，x2=50 墙的长度不超过45m, x2=50不合题意，应舍去当x=30时，(80一x)

35、= (8030)=25所以，当所围矩形长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2 (2)不能因为由x (80一x)=810，得x2一80 x+1620=0又b2-4ac=(一80)2一411620= - 800上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为8l0 m2【变式题组】10(广东)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有8l台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台?演练巩固反馈提高1(南通)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村

36、饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，20l0年该市计划投资“改水工程”1176万元 (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；(2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万?2(长沙)当m为何值时，关于z的一元二次方程x24x+m一=0有两个相等的实数根? 此时这两个实数根是多少?3(贵阳)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。(1)该公司2006年

37、盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?4(庆阳)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： (1)该企业2007年盈利多少万元? (2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元?培优升级1(河南)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x26x+k=0的两个实数根，且x12x22x1x2=115(1)求k的值；(2)求x12+x22 +8的值2(临沂)为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11

38、万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资1859万元 (1)求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率； (2)从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元?3(南宁)如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米(1)用含x的式子表示横向甬道的面积为平方米；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽4(厦门)某商店购进一种商品，单价30元试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关

39、系：P=1002x若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元? 每天要售出这种商品多少件?5(庆阳)如图张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米2的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱? 6(益阳)如图，ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路。探究并解答下列问题： (1)分别以AB

40、、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值 7(全国)某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有同学多少人?第6讲 一元二次方程的整数根考点方法破译1方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值；2基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法，经典考题赏析 【例l】 （全国）

41、已知方程a2x2(3a28a)x +2a213a +15 =0（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=_ 【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况对于二次，可用分解求根法 解：a=0时，则需2a213a +15 =0，矛盾所以此时无整数解；a0，分解得（ax +3 2a）（ax +5 a）=0a0，解得 ，则a是3或5的约数，故a可取l，3或5 【变式题组】1（全国）已知关于x的方程(al)x2 +2x a1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有_个2（全国）设关于x的二次方程（k26k +8）x2（2k26k 4）xk2 =4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值

42、 【例2】 （全国）试确定一切有理数r，使得关于石的方程rx2+(r+2)x+r 1 =0有且只有整数根 【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况对于二次，可用消参法， 解：(1)若r=0，x=，原方程无整数根； (2)当r0时，消去r得：，得（2x1 1）（2x2 1）=7，令xl0，它一定有两个不同的实数根而原方程的根都是整数，所以方都是整数，因此它的判别式= (a+18)2 224应该是一个完全平方数，设(a+18)2 224 =k2（其整数），则(a +18)2 - k2= 224，即（a+18 +k）（a+18 -k）=224.显然a+18 +k与a+18 -k的奇偶性相

43、同，且a+18 +k18而224 =1122 =564 =28 8，所以或或解得或或 而a是正整数，所以只可能或 当a=39时，方程(l)即x2 +57x +56 =0，它的两根分别为1和 56.此时原方程的三个根为1，1，56 当a= 12时，方程(1)即x2 +30 x +56 =0，它的两根分别为-2和- 28.此时原方程的三个根为1，2，28 【变式题组】5（全国）设a是正整数，二次函数y=x2+(a+17)x+38 -a，反比例函数y=，如果两个函数图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值， 【例5】 （全国）关于x，y的方程x2 +xy+2y2= 29的整数解（x

44、，y）的组数为( )A2组 B3组 C4组 D无穷多组【解法指导】 本题可用判别式法解：可将原方程视为关于算的二次方程，将其变形为x2+xy+(2y229)=0由于该方程有整数根，则判别式0，且是完全平方数由A =y24（2y229）=7y2 +1160，解得y216. 57于是01491611610988534 显然，只有=16时，=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x2+4x +3 =0此时x1=l，x2=3；当y=4时，原方程为x24x +3 =0，此时x3 =1，x4=3所以，原方程的整数解为 【变式题组】6（武汉）整数a使得关于x、y的方程组 对于每一个实数b总有实数解，求

45、整数a的值演练巩固反馈提高1（全国）关于x、y，的方程x2+y2= 208（xy）的所有正整数解为_2若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程x2(m+2)x+4m =0的根，求m及三角形三边长3已知方程ax2(a-3)x+a2=0中的a取整数，试求出能使此方程的解至少有一个是整数时a的值4（全国）设a是正整数，如果二次函数y =2x2+ (2a +23)x+10 7a和反比函数） 的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共点5（全国）已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程x2(8p l0q)x +5pq =0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q) 培优升

46、级1（全国）已知a、b都是正整数，试问关于x的方程x2 abx+(a +b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明2（全国）(1)是否存在正整数m、n，使得m(m+2)=n(n+1)?(2)设k（k3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n,，使得m（m+k）=n(n+1)?3.（全国）如图所示，O的直径的长是关于x的二次方程x2+2（k-2）x十k=0（k是整数）的最大整数根P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+ PB2+ PC2的值4（全国）设整数

47、a、b、c（abc）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2abacbc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数5（全国）已知二次函数y=x2+bxc的图象经过两点P(l，a)，Q(2，l0a) (1)如果a、b、c都是整数，且cb8a，求a、b、c的值； (2)设二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C如果关于石的方程x2+ bx c=0的两个根都是整数，求ABC的面积第7讲 旋转和旋转变换（二）考点方法破译1掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角；2会判断图形的旋转过程

48、，会利用旋转性质解实际问题；3能利用旋转性质进行开放探究。经典考题赏析【例】（咸宁）如图，在RtABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且DAE=450，将ADC绕点A顺时针旋转900后，得到AFB，连接EF，下列结论：AEDAEF；ABEACD；BE+DC=DE；BE2+DC2=DE2，其中正确的是（ ）ABCD. 【解法指导】本题解题可利用旋转的性质切入解：由旋转性质知，FAD=FBC=900，且AF=AD，DAE=450，FAE=450，由AF=AD，FAE=DAE，AE=AD，得AEDAEF，正确；由勾股定理得BF2+BE2=FE2，将BF=DC，FE=DE代入得，BE2+DC2

49、=DE2，正确；且知不正确；若AFBADC，则不正确，故本题选B【变式题组】1如图，在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随x、m、n的变化而改变【例】 （孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转900，得A1OB1。已知AOB=900，B=900，AB=1，则B1点的坐标为（ ）ABCD【解法指导】 根据旋转的性质得A1OB1=300，OB1=OB=，过B1作B1H垂直Y轴于H。可得B1H=，OH=，则B1点的坐标为，本题选A。【

50、变式题组】1（泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿X轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P2008的位置，则点P2008的横坐标为_【例】（邵阳）如图将RtABC(其中B=340，C=900)绕点A按顺时针方向旋转到A1B1C1的位置，使得点C、A1，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）【解法指导】 可以选择BAB1为旋转角，由三角形外角和定理得BAB1=340+900=1240，应选B。【变式题组】3（津州）如图，OAB绕点O逆时针旋转800得到OCD，若A=1100，D=400，则的度数是（ ）A300 B400 C500 D6004（陕西）如图，AOB

51、=900，B=300，A1OB1可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，若点A1在AB上，则旋转角的大小可以是（ ）A300 B450 C600 D 9005（株洲）如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的，测得AB=BC，OA=OC，OAOC，ABC=360，则OAB的度数是（ ）A1160 B1170 C1180D1190【例】（昆明）在RtABC中，C=900，BC=4cm，AC=3，把ABC绕点A顺时针旋转900后，得到AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）A BCD5【解法指导】 点B所走过的路径是以AB为半径、圆心

52、角为900的圆弧，又AB=5cm，所以路径长为，应选C【变式题组】6（丽水）把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，已知AB=AC=8cm，将MED绕点A（M）逆时针旋转600后如图（2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是_cm2(结果精确到0.1,).【例】(南宁)已知ABC在平面坐标系中的位置如图所示。分别写出图中点A和点C的坐标；画出ABC绕点C按顺时针方向旋转900后的A1B1C1；求点A旋转到点A1所经过的路线长（结果保留）【解法指导】解：（1）A（0，4）、C（3，1）（2）图略（3）AC=，弧【变式题组】1（武汉）如图，已知ABC的三个顶点分别

53、为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1。0）（1）请直接写出点A关于Y轴对称的点的坐标；（2）将ABC绕坐标原点O逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。2（齐齐哈尔）如图，在平面坐标系，ABC的顶点坐标为A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）。（1）若将ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的A1B1C1（2）画出A1B1C1绕原点旋转1800后得到的A2B2C2；（3）A1B1C1与ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_; (4)顺次连结C、C1、C1、C2所得到的

54、图形是轴对称图形吗？【例】（全国）如图在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1）、B（2，-1），C（-2，-1）、D（-1，1），Y轴上一点P（0，2）绕点A旋转1800得到P1，点P1绕点B旋转1800得到P2；点P2绕点C旋转1800得点P3，点P3绕点D旋转1800得到P4，重复操作依次得到P1、P2、，则点P2010的坐标是（ ）A、（2010，2） B、（2010，-2） C、（2012，-2） D.（0，2）【解法指导】由已知可以得到，点P1、P2的坐标分别为（2，0），（2，-2），记P2（a2,b2），其中a2=2,b2=-2,根据对称关系，依次可

55、以求得：P3（-4-a2,-2-b2）,P4(2+a2,4+b2),P5(-a2,-2-b2),P6(4+a2,b2)，令P6(a6,b2),同样可以求得，点P10的坐标（4+a6,b2）即P10(42+a2,b2),由于2010=4502+2，所以点P2010的坐标为（2010，-2），本题应选B。【变式题组】1（东莞）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求AEB的大小；（2）如图，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小。2

56、（衡阳）如图，圆心角都是900的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD。（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是OA=2cm，求OC的长。演练巩固反馈提高01（广州）将左图所示的图案按顺时针方向旋转900后可以得到的图案是（ ）02（黑龙江）如图，将ABC沿DE折叠，使点A与BC边上的中点F重合，下列结论中：EFAB且EF=；BAF=CAF；S四边形ADFE=；BDF+FEC=2BAC，正确的个数是（ ）A1B2C3D403（扬州）如图，ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为ABC内一点，将ABP绕点A逆时针旋转后与ABP1重合，如果AP=3，那么线段PP1的长等于_.

57、04(达州)如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l滚动，则A点从开始至结束所走过的路线长为：_（结果保留准确值）05（青岛）如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转450，则这个两个正方形重叠部分的面积是_.06(莆田)如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：（1）网格中每个小三角形的面积为_（2）将顶点在格点上的四边形ABCD绕点O顺时针旋转120两次所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为_ (结果保留)07（温州）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，

58、且四边形的顶点在方格的顶点上。（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形。培优升级01如图，COD是AOB绕点O顺时针旋转400后得到的图形，点C恰好在AB上，AOD=900，则B的度数是_.02(黄冈)如图，在RtABC中，A=900，AB=6，AC=8，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转900至DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是_cm2.03(延边)如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA

59、上，点P在矩形ABCD内。若AB=4cm，BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_cm2.04(嘉兴)如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对OAB连续作旋转变换，依次得到三角形、，则三角形的直角顶点的坐标为_.05如图，已知：P是等边ABC内的一点，APB、BPC、CPA的大小之比是5：6：7,则以PA、PB、PC的长为三角形的三个内角的大小之比（ ）A2：3：4 B3：4：5C4：5：6 D5：6：706（河北）有一个四等转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌

60、，如图1，若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转900，则完成一次变换。图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换，按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）A上 B下C左D右07已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC。（1）将PAB绕点B顺时针旋转900到P1CB的位置（如图1）。设AB的长为a , PB的长为b(b”，“”或“0，抛物线中a0,不正确；D中直线的a0，不正确。故应选C。【变式题组】3.（嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（ ）4.(兰州)在同一直角坐标系中，函数y