西交大理论力学教学包电子教案

1、教学目标知识 标：刚体平面运动的简化，刚体的平面运动方程，刚体平面运动的分解，基点法，速度投影法，速法，平面图形内各点的加速度分析。能力目标： 掌握求平面图形内各点速度的三种方法素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点基点法，速度投影法，速法教学难点基点法，速度投影法，速法教学理实一体实物讲解小组、协作教学学时10教 学 内 容 与 教 学 过 程 设 计注释第 9 章 刚体的平面运动理论学习图 9-1这些刚体的运动既不是平移也不是绕定轴的转动，但它们有一个共同的特点，即刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。因而

2、，刚体上任一点都在各自的平面内运动。具有这种特征的运动称为刚体的平面运动。刚体的平面运动描述刚体平面运动的简化设有一刚体做平面运动，刚体内每一点到固定平面的距离始终不变，如图 9-2 所示。现取一平行于固定平面的平面来切割物体，截得一平面图形 S。刚体平面运动时，平面图形 S 始终在平面内运动。通过平面图形 S 上的A 点作垂直于该平面的直线段 A1A2，该线段随刚体平面运动过程中，始终垂直于此平面，显然 A1A2 的运动是平移，即 A1A2 上各点的运动与图形 S 上的 A 点的运动完全相同。同理，平面图形 S 上 B 点的运动也可代表直线段 B1B2 的运动。A、B 两点是平面图形 S 上

3、的任意两点，因此，平面图形 S 上各点的运动就代表整个刚体的运动，即只要已知平面图形 S 的运动，也就知道了整个刚体的运动。于是刚体的平面运动可以简化为平面图形观察 9-1 中各种运动，找出他们的共同点。结合图 9-2，说明刚体平面运动的简化。目S 在其自身平面内的运动。图 9-2刚体的平面运动方程为了确定代表刚体的平面图形 S 的位置，在平面图形上任取一点 O，称为基点，再取一直线段 OM，如果直线段 OM 的位置确定，平面图形 S 的位置显然也就确定了，如图 9-3所示。图 9-3xO=f1(t),yO=f2(t),=f3(t)（9-1）式(9-1)称为刚体的平面运动方程。刚体的平面运动可

4、视为两部分组成：一部分是平面图形随基点 O的平移，另一部分是绕基点 O的转动。刚体平面运动的分解设平面图形 S 在 Oxy 平面内运动，如图 9-4 所示。图 9-4以 A 为基点，在平面图形 S 上建立平移参考系 Axy，平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行 坐标轴 x 和 y。那么上述运动过程可以分成下面两个运动过程。平面图形 S 上直线段 AB 运动到图 9-4(b)中 AB1 位置的过程可看成随基点 A 在 Oxy平面内平移的过程。直线段 AB1 运动到图 9-4(c)中 AB位置的过程可看成平面图形S 绕通过A并垂直于图形 S 的轴做定轴转动。当然，这两个运动过程

5、实际上是同时发生且连续完成的。综上分析，如下结论：平面图形 S 在其自身平面的运动可分解为随同基点的平移和观察图 9-4，试着将运动过程分成两部分。绕着基点的转动两部分运动。选择不同的点作为基点，其平移规律不同，平移部分的速度和加速度也不相同。因此，平面图形随基点的平移部分与基点的选择有关。平面图形相对平移动参考系的转动部分与基点的选择无关。结论：平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。这里的角速度和角加速度是相对移动参考系而言的。平面图形相对于任何平移参考系（包括固定参考系），其转动都是一样的，角

6、速度、角加速度也都是相同的，故无须标明绕哪一点转动。平面图形内各点的速度基点法设在某瞬时，平面图形的角速度为，平面图形内点 A 的速度为 vA，求平面图内任一点 B 的速度vB，如图 9-6 所示。已知 A 点的运动，故选取 A 点作为基点。按点的速度 定理，平面图形内 B 点可看成是动点。动系铰接在点 A 的平移坐标系上，即牵连运动是随基点 A 的平移，而相对运动是点 B 绕基点A 的圆周运动。由点的速度 定理，即得 A、B 两点之间的速度关系为vB=vA+vBA (9-2)由此 结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。这种求解平面图形内任一点速度的方法

7、称为基点法，它是刚体平面运动速度分析的基本方法。图 9-6速度投影法图 9-7设 A、B 是平面图形内任意两点，速度分别为 vA 和 vB。如图 9-7 所示，两点的速度关系满足式(9-2)，即 vB=vA+vBA，将该式向 A、B 两点的连线上投影，注意到 vBA 垂直于 A、B 两点的连线，则得(vA)AB=(vB)AB (9-3)速度投影定理：在同一瞬时，平面图形内任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。应用速度投影定理求解平面图形内点的速度的方法称为速度投影法。采用基点法和速度投影法求解速度时，应注意如下几点：教师讲解基点法和速度投影法。学生解例题，并总结注意事项。用基点法解题时，为使

8、求解方便，通常取运动已知的点作为基点。式 vB=vA+vBA 是矢量方程，共有三个矢量，作速度平行四边形时，一定要保证绝对速度 vB 成为平行四边形的对角线。速度投影法只用于求解平面图形内点的速度，而不能直接用于求平面图形的角速度。式(9-3)是一个代数方程，所以只能求个未知量。若已知平面图形内任一点的速度大小和方向，又知另一点速度方向，则用式(9-3)可方便地求出该点速度的大小。9.2.3 速法1速某瞬时平面图形内（或扩展部分）速度为零的点 P，称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速。定理：一般情况下，在每一瞬时，平面图形内都唯一地存在一个速度为零的点（即速度瞬心）。图 9-13关于速的

9、概念，应从以下几个方面理解：速是平面图形内某瞬时速度为零的点，它不是平面图形内一个固定的点，其位置随时间而变化，在不同瞬时，速会有不同的位置。速可能在平面图形内，也可能在平面图形之外的扩展部分上。某瞬时只要平面图形的角速度不等于零，则该瞬时平面图形有且只有一个速。平面图形的速只是速度为零的点，但其加速度并不一定为零。平面图形上各点速度的分布根据上述定理，若取速P 为基点，则该瞬时平面图形内任一点 M 的速度可由基点法表示为vM=vP+vMP注意到基点 P 的速度vP=0，则有vM=vMP上式表明：任一瞬时，平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速 P 转动的速度，其大小为 vM=MP，方向垂直

10、于 MP，指向与图形角速度的转向一致。这种利用速度瞬心求解平面图形内点的速度的方法称为速 法，简称为瞬心法。确定瞬心位置的方法已知某瞬时平面图形内任意两点的速度方向，且两者互不平行，则该瞬时速 必在每一点速度的垂线上。如图 9-15 所示，已知某瞬时平面图形上任意两点 A、B 的速度分别为 vA 和 vB，过点 A、B 分别作 vA 和 vB 的垂线，则两垂线的交点 P 就是平面图形该瞬时的速。图 9-15(b)表示速 P 落在了平面图形之外的扩展延伸部分上。已知某瞬时平面图形内两点的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线，但两速度的大小不等，则平面图形该瞬时的瞬心 P 必在这两点的连线

11、与两速度矢端连线的交点上。如图 9-16(a)所示，A、B 两点的速度 vA 和 vB 同向、平行且垂直于连线 AB 的情况，此时速 P 位于 A、B 两点之外；图 9-16(b)中，A、B 两点的速度 vA 和 vB 反向、平行，此时通过图 9-13，证明定理。教师讲解瞬心法。速 P 位于 A、B 两点之间。图 9-15图 9-16已知某瞬时平面图形内两点的速度相互平行，速度方向与这两点的连线不相垂直，如图 9-17(a)所示；或速度的方向与这两点的连线垂直，且这两点速度大小相等，如图 9-17(b)所示。则该瞬时平面图形的速在无穷远处，图形的角速度=0，此时平面图形上所有各点的速度相互平行

12、，且大小相等，其速度分布和平移的情形一样，故称之为瞬时平移。 必须注意，瞬时平移只是刚体平面运动的一个瞬时状态，与刚体的平移是两个不同的概念。瞬时平移时，虽然平面图形的角速度为零，图形上各点的速度相等，但图形的角加速度并不一定等于零，图形上各点的加速度也并不一定相同。若平面图形沿一固定面滚动而无滑动（做纯滚动），则每一瞬时图形与固定面相接触的 P 点就是图形的速 ，如图 9-18 所示。因为在这一瞬时，点 P 相对于固定面的速度为零，所以它的绝对速度等于零。车轮在滚动的过程中，轮缘上的各点相继与地面接触而成为车轮在不同时刻的速 。图 9-17图 9-18用瞬心法解题时其解题步骤如下：分析机构中

13、各构件的运动。选取研究对象，进行速度分析，确定速。用速法求解未知量。如果需要研究由几个图形组成的平面机构，应该注意，机构的运动都是通过各 的连接点来传递的，每个平面图形在每一瞬时有各自的速 和角速度。因此，每求出一个瞬心和角速度，应明确它是哪一个图形的瞬心和角速度，绝不可 。9.3 平面图形内各点的加速度分析设某瞬时平面图形 S 内A 点的加速度为 aA，图形的角速度为，角加速度为，如图 9-24所示。若选 A 点为基点，由前所述，平面图形 S 的运动可以分解为随同基点 A 的平移（牵连运动）和绕基点 A 的转动（相对运动）。因此，平面图形内任一点 B 的加速度 aB 可以用牵连运动为平移时的

14、点的加速度 定理求解。B 的绝对加速度tnaB=aA+a BA+a BA(9-6)式(9-6)表明，平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。此即平面图形内任一点加速度的基点法。用基点法求解平面图形内点的加速度与用基点法求解点的速度的步骤相同，但还应注意以下几点：(1)由于式(9-6)中涉及量较多，在具体计算时，般用法求解比较方便，即采用矢学生用瞬心法解例题，并总结出解题步骤。量方程的投影式求解未知量。式(9-6)中有 4 个矢量，每一矢量都有大小、方向两个 ，共计 8 个 。对平面矢量方程而言，它有两个独立的投影方程。因此，已知其中 6

15、 个 ，才能解出其余两个未知量。在分析图形上任一点的加速度时，须画出该点的加速度分析图。当方位已知而指向未知时，可先假设指向；当大小和方向都未知时，可分解成两个正交的分量，并假定其指向。若某瞬时平面图形的角速度等于零，则 an =0，又由 at 方向垂直于 AB 连线，则该瞬BABA时点 A 和点B 的加速度在 AB 连线上的投影相等。特殊情况：当=0 时，(aB)AB=(aA)AB，此结论可称为加速度投影定理。在一般情况下，点 A 和点 B 都可能是曲线运动，因此，式(9-6)还可写成 (9-7)当点 B 的加速度大小和方向均未知时，式(9-7)还可写成 (9-8)在进行加速度分析之前，般先

16、要进行速度分析，求出平面图形的角速度，这样相对于基点做圆周运动的法向加速度 anBA=AB2 就是已知量了。9.4 运动学综合应用举例例 9-15 如图 9-29（a）所示，曲柄 OA=r，以角速度绕定轴 O 转动。连杆 AB=2r，轮 B 半径为 r，在地面上滚动而不滑动。求曲柄在图示铅垂位置时，杆 AB、轮 B 的角加速度及轮 B 上C 点的加速度。图 9-29例 9-16 半径为 R 的圆轮 O 在水平面上以匀角速度O 做纯滚动。杆 AO=l，其一端 O 与轮心铰接，另一端置于棱角 D 上，如图 9-30(a)所示。图示瞬时杆 AO 的中点 B 恰与棱角 D 重合，求该瞬时杆 AO 的角速度和角加速度。例 9-17 半径为 R 的圆轮在水平面上做纯滚动。杆 AB 穿过套筒 C 后，其 A 端铰接于圆轮轮缘上，如图 9-31(a)所示。若已知 R=0.5 m，轮心 O 的速度 vO=1 m/s，加速度 aO=1 m/s2，方向如图 9-31（a）所示。当=30时，求该瞬时杆 AB 的角速度和角加速度。例 9-18 如图 9-32(a)所示机构，曲柄 OA 以匀