利用夹逼准则求极限

1、利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法：定理 1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型 1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论 1极限变化过程中最小项与最大项之比为1 时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为( x) ，最大项为(x) ，数列有 n 项，则整数倍为n 倍，由定理1 可知 lim n( x)1 lim( x) .n(x)( x)例 1.求 lim (11.1) .222nn2n4n2n1解： limn22nlim

2、n22limn22lim1 1.1n22nn22nnnnnn22由推论1， 1n11.1n1.n22nn22n24n22nn22由夹逼准则可得所求极限为1.例 2.求 lim (11.1).n2n1n2n2n2nnn12解： lim n2nnlimn2n11.n1nnnnn2n1由推论1，0n11.1n0.n2nnn2n1n2n2n2nnn2n1由夹逼准则可得所求极限为0.例 3.求 lim (12.n).222nnn1nn2nnn解：由推论1，1n(n 1)n2112.n2nn(n1)n211 由夹逼22n n n2n 1 n2n 2n n2n 12准则可得所求极限为1.2由以上例题可以看出

3、用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧例 4.求 lim 2n . n n!解： 02n222.24 .(放到第二项最大 )n!123nn！且 lim40 .故由夹逼准则可知lim 2n0.nn!nn!例 5.求 limnn(1).n解：设1h(h0), 则从而 0n2, 因为 lim20,n(n 1) h2( n1)h2n由夹逼准则可知limn0.nn例 6.求 lim3 n2sin(n!) .n 13n2 sin( n! )3n23 n23 n231, (三角函数有界性 )解：由于 0n 1n1nn3n即313n2 sin(n!)31,而

4、lim31lim310,nn1nnnnn由夹逼准则可知3n2 sin(n! )0.limn1n1例 7.求 lim (12n3n ) n .nlim 3( 1 )(2 )n1lim 3( 1)n( 2) n1解：原式1n n1 n .n33n331n(2 n1n2 n1 3,因为0()1,1()( )3333两边同时乘以3n 得到3n12n3n3n1 ,11再两边同时开n 次方根得到 312n3n n33n.11当 n时, 右边lim (33n )3lim 3n31 3lim 3 左边 .nnn1故由夹逼准则可得lim (12n3n )n 3.n例 8.求 limx .xx解：由取整函数的性质可知x1xx.当 x0时,x 1 x x,即1 x1；xxx1xx当 x0时 ,x 1 x x,即1 x1；xxx1xx因为lim (11)1，limx1.由夹逼准则可得xxxx例 9.求 limx b(0,b0).x 0 x解由取整函数的性质可知b1bb (