八年级因式分解难题(附答案及解析)

1、第 页（共 31 页） TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2一填空题（共10小题）1已知x+y=10， xy=16，则x2y+xy2 的值为2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x1） （x9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：3若多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是4分解因式：4x2 4x 3=5利用因式分解计算：2022+202 196+982=6

2、ABC三边a， b， c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC的形状是7计算：12 22+32 42+52 62+ 1002+1012=8定义运算a b=（ 1 a） b，下面给出了关于这种运算的四个结论： 2（2） =3 a b=b a若a+b=0，则（a a）+（ bb）=2ab若a b=0，则a=1 或b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）9如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10若多项式x2 6x b 可化为（x+a） 2 1，则 b 的值是20 小题）11已知 n 为整数，试说明（n+7） 2（n 3） 2的

3、值一定能被20 整除12因式分解：4x2y 4xy+y13因式分解（ 1 ） a3 ab2（ x y） 2+4xy14先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2 6n+9=0，求m 和 n 的值解：m2+2mn+2n2 6n+9=0 m2+2mn+n2+n2 6n+9=0（m+n） 2+（ n 3） 2=0 m+n=0， n 3=0 m= 3， n=3问题：（ 1 ）若x2+2y2 2xy+4y+4=0，求xy 的值（ 2）已知 ABC的三边长a， b， c都是正整数，且满足a2+b2 6a 6b+18+|3 c| =0，请问ABC是怎样形状的三角形？15 如果一个正整数能表示

4、为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数 ”如4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20这三个数都是和谐数（ 1 ） 36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（ 2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4 的倍数吗？为什么？（ 3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数 ”之和为16如图1，有若干张边长为a 的小正方形、长为b 宽为 a 的长方形以及边长为 b 的大正方形的纸片1 ）如果现有小正方形1 张，大正方形2 张，长方形3 张，请你将它们 TOC o 1-5 h z 拼成一个大长方形（在图 2

5、 虚线框中画出图形）， 并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式（ 2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为169， 长方形的周长为34，求长方形的面积（ 3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求 可以拼成多少种边长不同的正方形1 所示， 用若干块这样的硬纸片17 （ 1） 有若干块长方形和正方形硬纸片如图拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：（ 2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平

6、方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图18已知a+b=1， ab= 1，设s1=a+b， s2=a2+b2， s3=a3+b3， ， sn=an+bn（ 1 ）计算s2；（ 2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1， ab= 1 ，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1s2（1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4（ 3）试写出sn 2， sn 1， sn三者之间的关系式； TOC o 1-5 h z （ 4）根据（3）得出的结论，计算s619 （ 1）利用因式

7、分解简算：9.82+0.4 9.8+0.04（ 2）分解因式：4a（ a 1） 2（1 a）20阅读材料：若m2 2mn+2n2 8n+16=0，求m、 n 的值解：m22mn+2n28n+16=0，（m22mn+n2）+（n28n+16）=0（ mn）2+（n4）2=0，（mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（ 1 ）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x y 的值（ 2）已知ABC的三边长a、 b、 c都是正整数，且满足a2+b2 6a 8b+25=0，求ABC的最大边c的值（ 3）已知a b=4， ab+c2 6c+13=0，则a b+c=

8、21仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2 4x+m 有一个因式是（x+3） ，求另一个因式以及m的值解： 设另一个因式为（ x+n） ， 得 x2 4x+m=（ x+3）（ x+n） ， 则 x2 4x+m=x2+（ n+3）x+3n n+3= 4m=3n解得： n= 7， m= 21另一个因式为（x 7） ， m 的值为21 问题：（ 1 ）若二次三项式x2 5x+6 可分解为（x 2） （ x+a） ，则 a= ；（ 2）若二次三项式2x2+bx 5 可分解为（2x 1） （ x+5） ，则 b= ；（ 3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x k 有一个因

9、式是（ 2x 3） ，求另一个因式以及k 的值22分解因式：（ 1 ） 2x2 x；16x2 1；（ 3 ） 6xy2 9x2y y3；4+12（ x y） +9（ x y） 223已知a， b， c是三角形的三边，且满足（a+b+c） 2=3（ a2+b2+c2） ，试确定三角形的形状24分解因式（ 1 ） 2x4 4x2y2+2y42a3 4a2b+2ab225图是一个长为2m、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（ 1 ）图中的阴影部分的面积为；（ 2）观察图请你写出三个代数式（m+n） 2、 （ m n） 2、 mn 之间的等量关系是

10、（ 3）若x+y=7， xy=10，则（x y） 2=（ 4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了试画出一个几何图形，使它的面积能表示（ m+n） （ m+3n） =m2+4mn+3n226已知a、 b、 c 满足 a b=8， ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值27 已知：一个长 方体 的长 、宽 、 高 分别 为正 整 数a、 b、 c， 且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积（ x2 4x） 2 2（ x2 4x）1529阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：21+x+x（ x+1） +x（ x+1） 2 =（ 1

11、+x） 1+x+x（ x+1） =（ 1+x） 2（ 1+x）=（ 1+x） 3 TOC o 1-5 h z （ 1 ）上述分解因式的方法是，共应用了次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1） 2004，则需应用上述方法次，结果是（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n 为正整数）30对于多项式x3 5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3 5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x 2） （注：把x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x a） ） ，于是我们可以把多项式写成：x3 5x2+

12、x+10=（ x 2） （ x2+mx+n） ，（ 1 ）求式子中m 、 n 的值；（ 2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3 2x2 13x 10 的因式 TOC o 1-5 h z 2017年 05月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一填空题（共10小题）（ 2016 秋 ?望谟县期末）已知x+y=10， xy=16，则x2y+xy2的值为160 【分析】 首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可【解答】解：x+y=10， xy=16， x2y+xy2=xy（ x+y） =10 16=160故答案为：160【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，

13、正确找出公因式是解题关键（ 2016 秋 ?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（ x 1 ） （ x 9） ；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x【分析】 根据多项式的乘法将2（ x 1） （ x 9）展开得到二次项、常数项；将2（ x 2） （ x 4）展开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2 后利用完全平方公式分解因式【解答】 解：2（ x 1） （ x 9） =2x2 20 x+18；2（ x 2） （ x 4） =2x2 12x+16；原多项式为2x2 1

14、2x+182x2 12x+18=2（ x2 6x+9） =2（ x 3） 2【点评】 根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确（ 2015 春 ?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是 4 【分析】 利用完全平方公式（a+b）2=（ab）2+4ab、 （ab）2=（a+b）24ab计算即可【解答】 解：x2+mx+4=（ x 2） 2，即 x2+mx+4=x2 4x+4， m= 4故答案为：4【点评】 此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解

15、题关键（ 2015 秋 ?利川市期末）分解因式：4x2 4x 3= （ 2x 3） （ 2x+1）【分析】ax2+bx+c（ a 0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数a1， a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1， c2的积c1?c2， 并使a1c2+a2c1正好是一次项b， 那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（ a1x+c1） （ a2x+c2） ，进而得出答案【解答】解：4x2 4x 3=（ 2x 3） （ 2x+1） 故答案为：（ 2x 3） （ 2x+1 ） 【点评】 此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键5（

16、 2015春 ?东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202 196+982= 90000 【分析】通过观察，显然符合完全平方公式【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（ 202+98） 2=3002=90000【点评】 运用公式法可以简便计算一些式子的值（ 2015 秋 ?浮梁县校级期末）ABC三边a， b， c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC的形状是等边三角形【分析】 分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a b） 2+（ a c） 2+（ b c） 2=0，得出：a=b=c，即选出答案【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边

17、均乘以2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即 a2 2ab+b2+a2 2ac+c2+b2 2bc+c2=0，即（ a b） 2+（ a c） 2+（ b c） 2=0，解得：a=b=c，所以，ABC是等边三角形故答案为：等边三角形【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定ABC是等边三角形（ 2015秋 ?鄂托克旗校级期末）计算：12 22+32 42+52 62+ 1002+1012=5151 【分析】 通过观察，原式变为1+（3222）+（5242）+（10121002），进一步运用高斯求和公式即可解决【解答】解：12

18、 22+32 42+52 62+ 1002+1012=1+（ 32 22） +（ 52 42） +（ 1012 1002）=1+（ 3+2） +（ 5+4） +（ 7+6） + +（ 101+100）=（ 1+101）101 2=5151 TOC o 1-5 h z 故答案为：5151【点评】 此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题（ 2015 秋 ?乐至县期末）定义运算a b=（ 1 a） b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2（2） =3a b=b a若a+b=0，则（a a）+（ bb）=2ab若a b=0，则a=1 或b=0其中正确结论的序号是 （填上你认为正确

19、的所有结论的序号）【分析】 根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断【解答】 解：2（2） =（ 1 2）（2） =2，本选项错误；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故ab 不一定等于ba，本选项错误；若a+b=0，则（aa）+（ bb） =（1a）a+（1 b）b=aa2+bb2=a2 b2= 2a2=2ab，本选项正确；若a b=0，即（1 a）b=0，则a=1 或b=0，本选项正确，其中正确的有故答案为【点评】 此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键9（ 2015 春 ?张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0， 代数式a+a2+a3+a4+a

20、5 +a6+a7+a8=0【分析】 4 项为一组，分成2 组，再进一步分解因式求得答案即可【解答】解：1+a+a2+a3=0， a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（ 1+a+a2+a3） +a5（ 1+a+a2+a3） ，=0+0，=0故答案是：0【点评】 此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题10 （ 2015 春 ?昆山市期末）若多项式x2 6x b 可化为（x+a） 2 1，则 b 的值是 8 【分析】 利用配方法进而将原式变形得出即可 TOC o 1-5 h z 【解答】 解：x26xb=（x3）2 9b=（x+a）21， a= 3，9 b= 1，解得

21、：a=3，b=8故答案为：8【点评】 此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键二解答题（共20 小题）11已知 n 为整数，试说明（n+7） 2（n 3） 2的值一定能被20 整除【分析】用平方差公式展开（n+7） 2（ n 3） 2，看因式中有没有20 即可【解答】解：（ n+7）2（n3） 2=（n+7+n 3） （n+7n+3）=20（n+2），（n+7） 2（n 3） 2的值一定能被20 整除【点评】 主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2 b2=（ a+b） （ a b） （ 2016 秋 ?农安县校级期末）因式分解：4x2y 4xy+y【分析】 先提取公因式y，再对

22、余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：4x2y 4xy+y=y（ 4x2 4x+1）=y（ 2x 1） 2【点评】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止（ 2015 秋 ?成都校级期末）因式分解（ 1 ） a3 ab2（ x y） 2+4xy【分析】 （ 1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（ 2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （ 1 ）原式=a（ a2 b2） =a（ a+b） （ a b） ；（ 2 ）原式=x2 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2

23、=（ x+y） 2【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键（ 2015 春 ?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2 6n+9=0，求m 和 n 的值解：m2+2mn+2n2 6n+9=0 m2+2mn+n2+n2 6n+9=0（ m+n） 2+（ n 3） 2=0 m+n=0， n 3=0 m= 3， n=3问题：（ 1 ）若x2+2y2 2xy+4y+4=0，求xy 的值（ 2）已知ABC的三边长a， b， c都是正整数，且满足a2+b2 6a 6b+18+|3 c| =0，请问ABC是怎样形状的三角形？【分析

24、】 （ 1）首先把x2+2y2 2xy+4y+4=0，配方得到（x y） 2+（ y+2） 2=0，再根据非负数的性质得到x=y= 2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b26a6b+18+| 3c|=0，配方得到（a3）2+（b3）2+|3c| =0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可【解答】解： （ 1 ）x2 +2y2 2xy+4y+4=0 x2+y2 2xy+y2+4y+4=0，（ x y） 2+（ y +2） 2=0 x=y= 2；（ 2）a2+b2 6a 6b+18+| 3 c| =0， a2 6a+9+b2 6b+9+| 3 c| =0，（a 3） 2+（

25、b 3） 2+| 3 c| =0 a=b=c=3三角形ABC是等边三角形【点评】 此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题（ 2015 秋 ?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数 ”如4=22 02， 12=42 22， 20=62 42，因此4，12， 20 这三个数都是和谐数（ 1 ） 36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（ 2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4 的倍数吗？为什么？（

26、 3）介于1 到 200 之间的所有“和谐数 ”之和为 2500 【分析】 （ 1）利用36=102 82； 2016=5052 5032 说明 36 是 “和谐数 ”， 2016不是 “和谐数 ”；（ 2） 设两个连续偶数为2n， 2n+2（ n 为自然数）， 则 “和谐数 ”= （ 2n+2） 2 （ 2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n） （ 2n+2 2n） =4（ 2n+1） ，然后利用整除性可说明“和谐数 ”一定是 4 的倍数；（ 3）介于1 到 200 之间的所有“和谐数 ”中，最小的为：22 02=4，最大的为：502 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和

27、【解答】 解： （ 1 ） 36 是 “和谐数 ”， 2016 不是 “和谐数 ”理由如下： 36=102 82； 2016=5052 5032；（ 2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（ n 为自然数），（2k+2） 2（2k） 2=（ 2k+2+2k） （ 2k+2 2k）=（ 4k+2）2=4（ 2k+1） ， 4（ 2k+1）能被4整除， “和谐数 ”一定是 4 的倍数；（ 3）介于1 到 200 之间的所有“和谐数 ”之和，S=（2202）+（4222）+（6242）+（502482）=502=2500故答案是：2500【点评】 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式

28、进行变形，从而达到使计算简化（ 2015 春 ?兴化市校级期末）如图1， 有若干张边长为a 的小正方形、长为 b 宽为 a 的长方形以及边长为b 的大正方形的纸片（ 1 ）如果现有小正方形1 张，大正方形2 张，长方形3 张，请你将它们 TOC o 1-5 h z 拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形）， 并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式（ 2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为169， 长方形的周长为34，求长方形的面积（ 3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），

29、求可以拼成多少种边长不同的正方形【分析】 （ 1）根据小正方形1 张，大正方形2 张，长方形3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（ 2）由长方形的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形与大正方形的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形的面积；（ 3）设正方形的边长为（na+mb） ，其中（n、 m 为正整数）由完全平方公式第 页（共 31 页） n=1， m=1，正方形的边长为a+b；第 页（共 31 页）可知： （ na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2因为现有三种纸片各8张，n28，m28， 2mn8（n、m

30、 为正整数）从而可知n2，m2，从而可得出答案【解答】 解： （ 1 ）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形 a2+3ab+2b2=（ a+2b） （ a+b） ；（ 2）长方形的周长为34， a+b=17小正方形与大正方形的面积之和为169， a2+b2=169将 a+b=17两边同时平方得：（ a+b） 2=172，整理得：a2+2ab+b2=289， 2ab=289 169， ab=60长方形的面积为60（ 3）设正方形的边长为（na+mb） ，其中（n、 m 为正整数）正方形的面积=（ na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2现有三种纸片各8 张， n2 8， m2

31、8， 2mn 8（ n、 m 为正整数） n 2， m 2共有以下四种情况；n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；n=2，m=1 ，正方形的边长为2a+b；n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b【点评】 此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式17 （ 2014 秋 ?莱城区校级期中）（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（ a+1）（ 2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示请你用拼图等方法推出一个完

32、全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图【分析】 （ 1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（ 2）要能根据等式画出合适的拼图【解答】 解： （ 1 ）长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（ a+1） 2；a2+2a+1=（ a+1） 2；（ 2）如图，可推导出（a+b） 2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（ 2a+b） （ a+2b） 本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用18 （ 2013 秋 ?海淀区校级期末）已知a+b=1， ab= 1，设s1=a+b， s2=a2+

33、b2，s3=a3+b3， ， sn =an+bn TOC o 1-5 h z （ 1 ）计算s2；（ 2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1， ab= 1 ，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b） =1s2（1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4（ 3）试写出sn 2， sn 1， sn三者之间的关系式；（ 4）根据（3）得出的结论，计算s6【分析】 （ 1） （ 2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b， ab 的值，即可推出结论；（ 3）根据（1）所推出的结论，即可推出Sn 2+Sn 1=Sn；（ 4）根

34、据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3【解答】解：(1) &=a2+b2= (a+b) 2- 2ab=3;( aF+b2) (a+b) =a3+ab2+a2b+b3=ai3+b3+ab (a+b),.3X 1=aP+b3 - 1,a3+b3=4,即 &=4；V S4= (a2+b2) 2 2 (ab) 2=7,S4=7;=3, Ss=4, &=7,S2+&=S|,Sn 2+S1 1=Si； 0 2+0 尸S, &=3, Ss=4, 84=7,85=4+7=11,=7+11=18.【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据 题意推出&=3,

35、Se=4, *7,分析归纳出规律：Sn 2+& 1=S1.19. (2013春?重庆校级期末)(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X 9.8+0.04(2)分解因式：4a (a-1) 2- (1 - a)【分析】(1)利用完全平方公式因式分解计算即可；(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可.【解答】解：(D原式=(9.8+0.2)2=100；第20页(共31页)第 页（共 31 页）2) 4a( a 1)1 a)=（a1）（4a24a+1）=（a1）（2a1） 2【点评】 此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键20（ 2013 春 ?惠山

36、区校级期末）阅读材料：若 m2 2mn+2n2 8n+16=0， 求 m、n 的值解：m22mn+2n28n+16=0，（m22mn+n2）+（n28n+16）=0（ mn）2+（n4）2=0，（m n）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（ 1 ）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x y 的值（ 2）已知ABC的三边长a、 b、 c都是正整数，且满足a2+b2 6a 8b+25=0，求ABC的最大边c的值（ 3）已知a b=4， ab+c2 6c+13=0，则a b+c= 7 【分析】 （ 1 ）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据

37、两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出x与 y的值，即可求出x y的值；（ 2）将已知等式25 分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（ 3）由a b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 b 与 c的值，进而求出 a 的值，即可求出a b+c的值【解答】解： （ 1 ）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2） +（ y2+2y+1） =0（ x+y） 2+（ y+1）

38、2=0 x+y=0 y+1=0解得x=1， y= 1 x y=2；（ 2）a2+b2 6a 8b+25=0 TOC o 1-5 h z （a26a+9）+（b28b+16）=0（a3） 2+（b4）2=0a3=0，b 4=0解得a=3，b=4三角形两边之和第三边ca+b，c 3+4 c 7，又c 是正整数， c 最大为6；（3）ab=4，即 a=b+4，代入得：（b+4） b+c2 6c+13=0，整理得： （b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0， b+2=0，且c 3=0，即b= 2， c=3， a=2，则 a b+c=2（2） +3=7故答案为：7【点评】 此题

39、考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键（ 2012 秋 ?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2 4x+m 有一个因式是（x+3） ，求另一个因式以及m的值解： 设另一个因式为（x+n）， 得x24x+m=（x+3）（x+n）， 则x24x+m=x2+（n+3）x+3n n+3= 4m=3n解得：n= 7， m= 21另一个因式为（x 7） ， m 的值为21 问题：（ 1 ）若二次三项式x2 5x+6 可分解为（x 2） （ x+a） ，则 a= 3 ；（ 2）若二次三项式2x2+bx 5 可分解为（2x 1） （ x+5）

40、，则 b= 9 ；（ 3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x k 有一个因式是（ 2x 3） ，求另一个因式以及k 的值【分析】 （ 1）将（x 2） （ x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值；（ 2x 1） （ x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x 3n，可知2n 3=5， k=3n，继而求出n 和 k 的值及另一个因式【解答】 解： （ 1 ）（x2）（x+a）=x2+（a2）x2a=x25x+6， a 2= 5，解得：a= 3；（ 2）（2x

41、 1） （ x+5） =2x2+9x 5=2x2+bx 5， b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x 3n，则 2n 3=5， k=3n，解得：n=4， k=12，故另一个因式为（x+4） ， k 的值为12故答案为：（1）3；（ 2分） （2）9； （2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分） 【点评】 本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式（ 2012 春 ?郯城县期末）分解因式：（ 1 ） 2x2 x；（ 2）

42、16x2 1；（ 3 ） 6xy2 9x2y y3；（ 4） 4+12（ x y） +9（ x y） 2【分析】 （ 1）直接提取公因式x即可；（ 2）利用平方差公式进行因式分解；（ 3）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（ 4）把（x y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可【解答】解： （ 1 ） 2x2 x=x（ 2x 1） ；（ 2） 16x2 1=（ 4x+1） （ 4x 1） ；（ 3 ） 6xy2 9x2y y3，= y（ 9x2 6xy+y2） ，2= y（ 3x y） ；（ 4 ） 4+12（ x y） +9（ x y） 2，= 2+3（ x y）

43、2，=（ 3x 3y+2） 2【点评】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3） ，提取公因式y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解23（ 2012春 ?碑林区校级期末）已知a， b， c是三角形的三边，且满足 （ a+b+c）2=3（ a2+b2+c2） ，试确定三角形的形状【分析】 将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题【解答】解：（a+b+c） 2=3（ a2+b2+c2） ， a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， =3a2+3b2+3c2，a2+b2 2ab+b2+c2 2bc+a2+c2 2ac=0，即（ab）2+（bc）2+（

44、ca）2=0， a b=0， b c=0， c a=0， a=b=c，故ABC为等边三角形【点评】 本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题24 （ 2011 秋 ?北辰区校级期末）分解因式（ 1 ） 2x4 4x2y2+2y4（ 2） 2a3 4a2b+2ab2【分析】 （ 1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（ 2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】解： （ 1 ） 2x4 4x2y2+2y4=2（ x4 2x2y2+y4）=2（ x2 y2） 2=2（ x+y） 2（ x y） 2；2a3 4a2b

45、+2ab2=2a（ a2 2ab+b2）2=2a（ a b）【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式 进行二次分解，注意分解要彻底（ 2011 秋 ?苏州期末）图是一个长为2m、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（ 1 ）图中的阴影部分的面积为（ m n） 2 ；（ 2）观察图请你写出三个代数式（m+n） 2、 （ m n） 2、 mn 之间的等量关系是 （ m+n） 2（m n） 2=4mn 2（ 3）若x+y=7， xy=10，则（x y） = 9 （ 4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它

46、表示了（ m+n） （ 2m+n） =2m2+3mn+n2 5） 试画出一个几何图形，使它的面积能表示（ m+n） （ m+3n） =m2+4mn+3n2（ 1）可直接用正方形的面积公式得到2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别 TOC o 1-5 h z 3）此题可参照第（2）题4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式5）可参照第（4）题画图解： （ 1 ）阴影部分的边长为（m n） ，阴影部分的面积为（m n）（m+n）2（mn）2=4mn；） （x y）2=（x+y）24xy=7240=9；（ m+n） （ 2m+n） =2m2+3mn+n2；5）答案不唯一： 例如：本题考查了因式

47、分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形（2009 秋?海淀区期末）已知a、b、c 满足ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c的值【分析】 本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口由a b=8 可得 a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0； 此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、 c 的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可【解答】 解：因为a b=8，所以a=b+8 （ 1 分）又 ab+

48、c2+16=0，所以（b+8） b+c2+16=0 （ 2分）即（b+4） 2+c2=0又（b+4） 2 0， c2 0，则 b= 4， c=0 （ 4 分）所以a=4， （ 5分）所以2a+b+c=4 （ 6 分）【点评】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法（ 2010 春 ?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、 b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积【分析】 我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（ a+1）（ b+1） （ c+1） 1， 就得 （ 1+b）（ c+

49、1） （ a+1） =2007， 由于a、 b、 c均为正整数，所以 （ a+1） 、（ b+1） 、（ c+1） 也为正整数，而 2007只可分解为3 3 223， 可得 （ a+1） 、（ b+1） 、（ c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222就可求出长方体体积 abc了【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 1=2006，a（ 1+b） +c（ 1+b） +ac（ 1+b） +（ 1+b）1=2006，（ 1+b） （ a+c+ac） +（ 1+b） =2007，（ 1+b） （ c+1+a+ac） =2007，（ 1+b） （ c+1） （ a+1） =2007，2007 只能分解为3 3 223（a+1） 、 （ b+1） 、 （ c+1）也只能分别为3、 3、 223 a、 b、 c也只能分别为2、 2、 222长方体的体积a