02同济808考研第10章结构动力学

1、第十章端部集度为 ml a 。10-5 试确定图示各体系的动力(a)m1度，忽略弹性杆自身的质量。体，A 结点力矩为： M 1 ml a l 2 l 1 mal3取 A 点I233m21221 l l ql 2q由动力荷载引起的力矩为：EIEIt t 33(b)由弹性恢复力所引起的弯矩为： k la 1 l cal23 3根据 A 结点力矩平衡条件 MI Mp Ms 0：ql313t 2 93整理得： ma ka 3ca qt 3lll度 y， 。分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动(c)mm2）力法EI1 ql 2t 32EIBCA1 l(d)31 l kmmm3.l

2、c解：取 AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移 。根据几何关系，虚mm功方程为： 1 q l2 1 lk 1 l l l c mx xdx 0lt 3330则同样有： ma ka 3ca qt 。3lll在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个度。10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量 m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为 k），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建解：1）刚度法系的运动方程。10-9 图示结构 AD 和 DF 杆具有无限刚性和均布质量 m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为 k，C、E 处弹簧的刚度系数为 k

3、，B 处阻尼器的阻尼系数为 c，试建系振动时的运动方程。该体系仅有一个度。mCmABDEF可设 A 截面转角 a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量 m 上的惯性力呈三角形分布。其cEI=kkkaaaaaFBFrmEIy mEI1= EIM(t)1 ml .2解：k（2）画出 M p 和 M 1 图（在 B 点处作用一附加约束）R1 pM t 3 23m24.ka2Ml M t 3ca3ma2k ap3EIl取 DF体， MF 0 ：k1132aR 2a mx dx ka 2220 R 2ma2 3 kaM 14取 AE体： MA 0（3）列出刚度法方程 m l3 M 3EIl3ak mx

4、dx ca 4ka 3Ra 0， k R 0222k， Rt 1 p111 p1124024Mt 将 R 代入，整理得：72EI代入 R1 p 、 k11 的值，整理得： m l4l325R 15ma3 ka2 k 0410-10 试建立图示各体系的运动方程。(b)FP(t)m(a)EIM(t)llmAB22EI1=l EIl解：2P1 1ll2P 1解：（1）以支座 B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。2M 1 图M 2 图解：此体系为静定结构，内力容易求得。试用柔度法解题位移，弹簧处位移为 2 。3在集中质量处施加垂直力 P，使质量

5、发生竖向此体系度为 1 。设质量集中处的竖向位移 y 为坐标。由此根据弯矩平衡可求得 P 4 k 。9y 是由动力荷载 F和惯性力矩 M共同引起的。pt I4 ky 11M1 12 Fp(t )9 2m3km 。由图乘法：12l3l /2 lll 5l3(c) l2 l ， 2 l 6EI 222 11122EI33EI48EIml33EI5l3惯性力矩为m yl， y m yl F EIEIEA1=pt 48EI3EI5经整理得，体系运动方程为： m yy F。16 pt l32EI10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。llll222解：可以将两个视为两个并联的弹簧。(a

6、)m2l 3l3l3EI=常数上柔度系数为下柔度系数为48EI6EI96EI2aaal311102EI于是两者并联的柔度系数为并 6EI 96EI， 102EI解：mml3l3a1(d)ma2M 1 图25a311a2 a图乘得： f 2 a 2 2a a a 36EI11EI =常数EI22 3 26EI ll5ma3解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加水平位移后画得弯矩图如下。(b)mk30EI13l3 30EI 30EI。， ，即 k11水平支杆中力为EI1=1113l3m13ml3kll2FBFrll1mf11解： 3 l16 3 l1116339EI13l3l 32l3

7、23 l3230EI13l312EI13l39EI5 l3213 l6413l36EI13l3M 1 图M 2 图M 图(e)忽略水平位移m 0.014974l313 1l 2 l233 1 3l 2 3 16 2 13 EI 32 llll 3 32322 193 3219 3 64EI1EIEIml3 8.172EA=常数m0.014974ml310-15 设已测得某单度结构在振动 10振幅由 1.188mm 减小至 0.060mm，试求该结构4a4a解：12nyk11.188的阻尼比。解： 0.0475lnln20.0061yk n2323度结构受简谐荷载 F (t)= F sin t

8、作用，且有 .075 。10-16 设有阻尼比0.2 的单P11212 56 56若阻尼比降低至0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？Fm 21解： A M 1 图2 2 2 2 4 21 2 2 5 24a5a27a2EAf11 2 21 3a 2 3 EA 6 EA已知 从 0.2 降低至 0.02. .075 ， F1 F sint ，A 不变。 1 2EA mf1127ma299(f)1 4 0.22 m1 16 4 0.0216EI=常数F 简谐荷载的幅值应调整到 0.827F。10-19 试求图示简谐荷载作用无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位l2

9、l2l3aF sint f m y f F sint6EI 。ml3移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设 y11 12t C12y 24EIy 5F sint(a)Fsin t mml32mP*1m25 Fl3sin tAEIyt CB 21 2ll31荷载作用在 B 点引起位移。3EI6EI其中2 24EI , P* 5 F ，稳态解：解：由力法可知，= 2sin tml31 1224EI13EI4 ， mml3ml35Fl3=sin t36EIFl3Fl31Fyt sint sint 即幅值为m23EI3EI 25Fl35Fl31 2所示结构的运动方程为 yt C = 36EI sin t ，

10、C 点最大动位移幅值为 36EI（2）求 B 点的动位移反应当幅值最大时，弯矩也最大。P sint f m y f P sinty21 t B t B 2222P*P*11yt B m2 sin t ， yt B 2m2 sint 2 21 21 2FlMmax 图(b)Fsin tmACEIBl2l2解：l21lM 1 图（1）求结构运动方程M 2 图335l312 f21 48EI,如所示弯矩图，图乘后，243FBFr5Fl328196yt C = 36EI sin tPl121192Pl 21yt B f21 P* 2 Pf22 sin t 21最大动力弯矩图10-20 试求图示集中质量

11、体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为 k。 25l3 2l33EI51 t P 2P sin t= q(t)= qsin 48EI 21 2mm3 2BCDEI=Ak1sin tPl3 25l2l2 21l= 2 23EI 321 2解： 27Pl3 1 32 2 l23sin t=3EIl l 2 221l2.m.m 3 lklPl3 121 4 sin t=3EI 128 33 29121Pl3=sin t288EIqt 为静力荷载，弹簧中反力为 8 ql 。若度。设为 B 点处顺时针方向转角 为121Pl3已知图示体系为静定结构，具有一个坐标。

12、建立动力方程：B 点的动位移幅值为288EI（3）绘制最大动力弯矩图l 3l m 332llml kl l qxdx12EI3EIl 22223 20l 2m99mm l k l ql 2 m k q222 881k111k221 21 2M 1 图M 2 图121Pl33EI5Pl312EI281MAmax 288EI l236EIPl96l21 9 l 。8121Pl33EI121则弹簧支座的最大动反力为 2 2MPlCmax1288EI2l219210-21 设图 a 所示排架在横梁处受图 b 所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。第一阶段（ 0 t t1 ）：624已知 EI

13、=610 N(a)m ，t 0.1s，F 810 N。1P02000kN4000kN2000kNFP(t)EA=EA=EIEI2EI解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。可将排架柱视为三个并联的弹簧。3EIh36EI12EI边柱刚度柔数 k1 k3 中柱 k2 ， k并 h3h3sin 2 Tt yst2 1 1 12 6106 N m2k 0.645rad / sT sin 2 tm63 m3 8000102 N T t ys 2t0.11T 9.73s ， 1 2tt数值很小11T9.7397.3求 T 的过程。Eh所以认为当 FPt 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略

14、不计，于是根据动量守恒原理：1m v Ft 8105 v 8104 0.1Eht11t122v 5103 m / st1再根据势能守恒得：EhEhky 1 8105 5103 2 1212t12max22M 1 图 y 0.0077mst2k24EImh324EI， 2112， T 11mk 0.0077 10 1283N ， FQ边 642N6FQFQ中11h3mh324EI610-22 设图 a 所示排架横梁为无限刚性，并有图 b 所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。第二阶段（ t t ）1(a) 解：在三角形冲击荷载作用下单度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。FBFr6m因为不

15、受外力作用，所以横梁以t1 时刻的位移和速度为初始值做A 振动。Fm 21 y st22 22(b) 41FP(t) 22FP0其中： 2 tan1 2Ot1t1210-23 设题 10-22 图 a 所示刚架 m4000kg，h4m，刚架作水平振动时因阻尼引起振幅的对数递减率 0.10。若要求振幅在 10 秒内衰减到最大振幅的 5，试求刚架柱子的弯曲刚度 EI至少为何值。解：（1）求周期数。 2 2 2（1）使动位移最大，即使 最大，从而得出1 4 2 最小。 22 n ln 0.05 30 2 2 2 2 Y0.05y y e 22nf 1 4f 4 2 002 20.14 1设， 2 2

16、 22mk（2）求 k： t n2使 f 0 ，则 1 2 2n2n2 m2 3.14159302 4.0103（2） yt Acos(t ) k 1421.223103 N / mt 2102n1设 g 两柱并联22 1 2 2 2 2 4 2 1 1 4 122EI k EI 3.79106 N m2 22h310-24 设某单度体系在简谐荷载 FP(t)= F sin t 作用有阻尼强迫振动，试问简谐荷载 1 21 4 2 ，显然要求如果使速度响应最大，则 g 最大，设 g1 频率 分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？ 2y Asint t 作用下，稳态位移响应可

17、表示为解：在简谐荷载 F (t)= F sint P 1 0 得 。11最小。使： gg2 1 1 22y Asin(t )2（3）t 211l2h EIf 2 l ， f f 022 2 2 22212211122312 4222（2）振型方程24 211l31 2 2 显然要求 h1 最小。hm A 0 A 0212令 122 4EI5l3111 2 20 A 2m A 0则 h1 0 解的： 12212EI221 2 210-26 试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)3 0010 - 12EIml3 2令 ，频率方程为： D 0m 3 10 0 1 10, 2 3EI=

18、常数12EIEIml3 1.095m110ml312EIEIml3 2ll23ml3（3）振型图如下解：1ll1ll1ll1ll第一振型第二振型1(b)M 1 图M 2 图2 1 l l 2 l 1 2 l（1）1223222FBFrlA21 2.414 1 2.773 ， A22 2.414 2 0.358解：A110.7071A120.7071P 1P 1(c)m1=mm2=mEIk= EIl3EIl2l2llllll解：1l11/ 21/ 2体系具有两个度。先求柔度系数，做出弯矩图，由图乘法： 212 l3l / 2 1 1 2 1l lll 2ll 11EI 23233EIM 1 图M

19、 2 图2l31 1 l 2l 2 l l33EI13l35l3 ff22f12f21，（1）211211EI 23 2 6EI12EI12EI（2）振型方程 1l 2l321222 l 2l EI 2 23 2 6EIl3EIm得振型方程： 12 l3 1 2l3 2mm 2 A1 mA2 03EI6EI4 52l32l3113EI12EImA1 m A 0 ，令6EI 22 2 ml3 令 ，频率方程为： D ml3 25 013 - 6EI2.414 2 17 52 25 00.7070.707 - D 0.707，由频率方程 D=0 15.227, 1.7731212EIEIml3 E

20、Iml3 0.8883EIEIml33EIEIml3115.227ml3 12EI1.773ml3 2.576 1.060，解得：12ml3 0.4535ml3 2.66752 2.6021 8（3）当 1 15.227 时，设 A11 1 A21 0.722733 1 a 1 1 / k 1 / k 11a2 102216 EI2 2248 EI 8当 2 1.773 时，设 A12 1 A22 2 0.622710频率方程为：绘出振型图如下：111m1 2f12 m2 01210.6227f m f m21 122 210.7227取 m ma, m 1 ma3 代入整理得：123第一振型

21、第二振型(d)2 44 a 40a2 0 其中 48EIa3 m231 11.045a, 2 3.625a48EIEIa4 m EIa4 m 2.085111.045a4 m48EIk1= 12EI6EIk2= a3a3 a 3.63923.625a4 ma解：振型方程为：m A m A 011211 1112 222a 111 fm A f m A 021 11 222 221 a21212a121212a 1i 1, 2 代入（a）式中的第一个方程中，得：将 , Ai1i1ma4ma4 m11 10.2301 0.2292 2M 1 图M 2 图0.135 1 EIEIA m21a21a

22、ma3a31 1a3111112 211 6 EI/ k1 / k2 48EI 32 2248 EI13.625 11 ma4 m 211 122.12548EI3 111 a 2 A / k / k / 2a 22 ma21a ma3122112 12 2 2248 EI48EI 3绘出振型图如下：FBFramEIEI1=EI0.13522.1251l第一振型第二振型2(e)mM 3 图l3l3l3（1） f11 2EI ， f22 2EI ，（2）振型方程33 6EIEI=常数l31 l36EIm A m A 0 A 01 2EI232m1 l36EIl3m A m A 0 A 0aa1

23、2EI232解：l310 A1 0 A2 m 2 A3 0 6EI13 13-0002-6EIml32l2令 ，频率方程为： D 1 00ll 4, 221233EI3EI , 1232ml3ml31 1 0 1 1 0 M 1 图M 2 图AAA 123 0 0 1 振型图如下：aal2 l1l2a1a111111a2a3aM 1 图1M 2 图M 3 图 a3,1111223EI第一振型第二振型（2）振型方程为：1 5a3a3m A m 1 3EI26EI1 5a38a3m A m 61 3EI2I1 4 14a33m A m A 3E1 3EI2 516-2832112216-第三振型6

24、EIml32令 ，频率方程为： D 5 0(f)84m 1 231.8, 2 1.936, 3 0EI 0.161, 1.760m12ma3EI=常数11m 3.469 1AAm1=m12 6.640 EI1=EIEIm2= 2m解：10-27 试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)解：EI1=EIEIFBFraaall6EI6EI6EIl 26EIl 2k22k21l 2l 2k12k116EAl06EIl 26EIl 21k1k126EIl 2k2211kEA2l21EAl06EI6EIl 2EA2ll 2M 1 图M 2 图24 ym2l3 - 2448 - 2 y24E

25、I24EI48EI 0 y k11 , k21 k12 , k22 ，-24F1 图F 2 图l2l2l2EI4 2 EAEAEA 2EIml3EIml3k11 k22 y 7.029, y 40.971， 2.651, 6.401l2l22l1212EA 2 2EAk21 k21 1,A 1A 0.707 0.707 2l24l12振型图如下：振型方程： 4 2EA 2 m A 111112EA A2 04l4l2EA 4 2 A EA m A 020.707124l4l0.7070.7070.7074 22 2 m4l24 2 ，频率方程为： D 0令EA 1 4, 2 4 2EA第一振型

26、第二振型2(b)A1 1, A2 1 1 11ml mEAml 1.3062(c)mEIk= EIl3mEIll解：解：lEAEAEAEIl 26EIl 26EIl 2k12k11解：3il4il3il3il12il13i2lk22k21M 1 图作出附加连杆移动M 2 图2ilk9i2lk12位移的弯矩图11k21k 3i k 4EI ， k k EI ， k 3i k 4EIk2211122122l2l3l3l2l3M 1 图15iM 2 图k m 2k列出频率方程： D 11112 08ik12 k21 0 ， k11 2 ， k22 k m 2k212222ll23EIml35EIml

27、33EI15 y A 0 0 1 2列振型方程： * 2ml312其中 y 解得：1结构自振频率分别为：16 y A3mlEI列频率方程并求解：25EIml3 222求第一振型：令 A11 1得 A21 1求第二振型：令 A12 1 得 A22 1结构的振型向量形式为：D 15 y 0 0 15 y16 y 0016-yy1 15, y2 16EIA1 1, A2 1EIml3 2.739, 2.8281 112 振型图如下：ml3求振型将 y 15, A 1 代入方程组（*）中得： A 0 ，即 A1 1 0 1111211 将 y 16, A 1 代入方程组（*）中得： A 0 ，即 A2

28、 0 1 1122222 第一振型第二振型振型图如下：(d)EIEImEI1=FBFrlll画 M1 , M p 图2a a 2 a 112 11E22 32 2 a a 11EI 211 p第一振型10-28 试说明在应用多第二振型度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载列出方程得： 5a3 a3 qa4 0I的性质、特点和作用位置分别有何要求？10-29 试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。 12EIEI 14EI解得： I 3 qa点的最大竖向动位移 yB(max) ，并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷

29、110-30 试求图示结731a31a31k EI EI ma3 载频率 ，B 点处弹性支座的刚度系数，忽略阻尼的影响。a3CyBmax 7 qa qa 2 EI4EI2根据公式 M M1I1 Mp 画出最大动力弯矩图。EImABEIDaa1 qa22解：13 qa228M 图10-31 图示结构在 B 点处有水平简谐荷载 FP (t) 1kNsin t 作用，试求集中质量处的最大水1 EI ml3平位移和竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。设 ，忽略阻尼的影响。12qa212Fsin tCB14a2qamM 1 图MP 图A2maqs2mEIEIl5m，EI=5105kNm2；简谐荷载幅值 F3

30、0 kN，每分钟振动 240 次；忽略阻尼的影响。m 3=m解：作出 M 1、M 2 图1Fsin tm 2=1.5m1F2m1=2m22F解：M 1 图M 2 图MP 图k33k31k32 1 2 2 2 14EI1k23k21k22， 211211EIEI 2 1 2F 2 2 4F1k12k13 1 2 2 2 2 18k11， 221 pEI 2EIEI 233EIml33244FI 0IEI 2EI 3EImEI 1层间刚度设为 k， k 24EI 1 12 8F2 p 2F 2 2 ，代入惯性力幅值方程：3lEI 233EI 48ml3 8Fk k 2k, k k k k 0IIE

31、I 3EImEI112212212332123EI2 n2 240 8F=30KNl=5m6060I1I2解得： I 18 KN, I KN ， A 0.941mm, A 0.261mm5121m 22m 2最大动力弯矩图：1717动位移幅值方程为：将以上求得最大惯性力 I1 、 I2 和动力荷载，同时作用于结构，48EI24EIA 2m2A 0312l336KN m17 24 I 48EIA 1.5mA 21 2l3l3 24EI 24EIA 0m23l3将具体数值代入，解得：A1 0.1353mm, A2 0.0926m2EIl12 KN m17底柱柱端弯矩幅值： 1 A1 2l3M 图1

32、0-32 图示刚架各横梁为无限刚性，试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知 m100t，中柱柱端弯矩幅值FBFrlll A 12EI l k1 k 96EI EI 103EI A 0.1353 0.0926Mk112217l3l37l3l32k22 的求解过程：610512EIl顶柱柱端弯矩幅值： M3 A3 2 0.271010 3 32.52KNl3510-33 试求图示结构两质量处的最大竖向动位移，并绘制最大动力弯矩图。设 m1m2m，m1 EI ml3 2。k= EIEI=常数l3m2Fsin t2ll 1l311 2 1左构件 2 l 2l l EI 22 3 26EI解：该结构有

33、两个度，使用刚度法。1 6EIk 2 kk1112 2l3k k 2 k 6EI EI 7EI22l3l3l3EIml3将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计 2 103EI A EIEl3A 0 1212227l3EI3l3 7EI 4EI A 103 EI , k k EI , kI3 F k 7k 211122122ll3337 lllk11 的求解过程：Fl3Fl3解得： A1 0.032 EI , A2 0.344 EI最大动力弯矩图3 l 80.165FlA50.137FlC 16 l 1 5 l 2 5 l 2 6 l 3 l 2 3 l 1 1 EI 112 1

34、63 161.032Fl1183 81 96EIk1 17l3求解过程：对于 AB 杆件，相当于在中点作用一集中力F A k1 0.032 96 F 0.439F0.5774 T 0 AB17FP t AF 0F sint 02T Pt 2对于 CD 杆件，相当于在中点作用一集中力0.5774 0 F A k 2 0.344 6F 2.064FCD20.2639 T 0 试说明用振型分解法求解多系的何种特性？试用振型分解法计算题 10-32。解：度体系动力响应的基本，这一方法是利用了振动体 0.6230 F sint 18.695sint KN A3T FFP3 t Pt 0.52780 则

35、y1t 应满足方程2kk 2kk02m01.5m00 刚度矩阵 k -k- k 质量矩阵 M 00F00m P1 t my y2k11 11其中 k 24EI其稳态响应为： 96106 N m1, m 1105 Kgl315.83103sint 0.3264sin t mmy1105 12.112 8 2 由刚度矩阵和质量矩阵：1t -0.31150.57740- 0.57740.2639- 0.62300.5278A -0.5278同理： y 0-0.62302t 18.69103sint 0.1279sint mmy3t 2 12.11s1, 30.98s1, 45.75s1110 45.

36、75 852123 y1t y1t 0.3115T 2MA m 0.5278 00.6230 00.13540 0.3115-0.31150.057740.2639 0.326401.50 1 1T sin t 0.0926 sin t mmm1 A0 0.5278 m 110 kg y2t A y2t -0.527850- 0.623 0yy-0.6230.057740.5278 0.12790.27081 0.62303t 3t 显然最大位移y1max 0.1354mm y2 max 0.0926mm y3 max 0.2708mm10-36 试用振型分解法计算题 10-31 结构作有阻尼

37、强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比120.10。解：m A2T MA2 m 1105 kg2m A3T MA3 m 1105 kg30.3115T 0 FP t AF 0.5278 F sint 15.83sint KN1T Pt 10.6230 0 FBFr132刚度矩阵 k EI 1103148 3 A 0.1092mm 30.2143- 0.321401221.1716m2 EI 质量矩阵 M m 2 221 42-0.32140.85711042222 2得： A 1- 0.4142 20.414212 tan1 2 tan1 0.0813 0.08112 2EIm EIm1 0.2848212 于是y1t 0.8133sin t 0