专题1-2解三角形重难点、易错点突破含答案

1、-. z.专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟)三角形定形记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角下面例析这两个通道的应用1通过角之间的关系定形例1在ABC中，2sin Acos Bsin C，则ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形2通过边之间的关系定形例2在ABC中，假设eq f(sin Asin C,sin B)eq f(bc,a)，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角

2、三角形细说三角形中解的个数解三角形时，处理两边及其一边的对角，求第三边和其他两角问题需判断解的个数，这是一个比拟棘手的问题下面对这一问题进展深入探讨1出现问题的根源我们作图来直观地观察一下不妨设ABC的两边a，b和角A，作图步骤如下：先做出角A，把未知边c画为水平的，角A的另一条边为边b；以边b的不是A点的另外一个端点为圆心，边a为半径作圆C；观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数显然，当A为锐角时，有如下图的四种情况：当A为钝角或直角时，有如下图的两种情况：根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解假设A为锐角，只有当a不小于bsin A时才有解，随着a

3、的增大得到的解的个数也是不一样的当A为钝角时，只有当a大于b时才有解2解决问题的策略(1)正弦定理法ABC的两边a，b和角A，求B.根据正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，可得sin Beq f(bsin A,a).假设sin B1，三角形无解；假设sin B1，三角形有且只有一解；假设0sin B1，B有两解，再根据a，b的大小关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B的两个解的取舍(2)余弦定理法ABC的两边a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，整理得c22bccos Aa2b20.适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角

4、形的解(3)公式法当ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：A90A90ababababsin Aabsin Aabsin A一解二解一解无解一解无解3实例分析例在ABC中，A45，a2，beq r(2)(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的ABC有多少个？挖掘三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要容，也是高考的一个热点由于我们对三角公式比拟熟悉，做题时比拟容易入手但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘隐含条件1.

5、两边之和大于第三边例1钝角三角形的三边ak，bk2，ck4，求k的取值围隐含条件2.三角形的角围例2ABC中，B30，AB2eq r(3)，AC2，则ABC的面积是_例3在ABC中，eq f(tan A,tan B)eq f(a2,b2)，试判断三角形的形状例4在ABC中，B3A，求eq f(b,a)的取值围正弦、余弦定理三应用有些题目，外表上看不能利用正弦、余弦定理解决，但假设能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例1平面几何中的长度问题例1如图，在梯形ABCD中，CD2，ACeq r(19)，BAD60，求梯形的高2求围例2如图，等腰ABC中，底边BC1，ABC的

6、平分线BD交AC于点D，求BD的取值围(注：0*1时，f(*)*eq f(1,*)为增函数)3判断三角形的形状例3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()k，(kR)(1)判断ABC的形状；(2)假设ceq r(2)，求k的值专题1-2 解三角形重难点、易错点突破参考答案三角形定形记例1分析通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状解析方法一利用正弦定理和余弦定理2sin Acos Bsin C可化为2aeq f

7、(a2c2b2,2ac)c，即a2c2b2c2，即a2b20，即a2b2，故ab.所以ABC是等腰三角形应选B.方法二因为在ABC中，ABC，即C(AB)，所以sin Csin(AB)由2sin Acos Bsin C，得2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0.又因为AB，所以AB0，即AB.所以ABC是等腰三角形，应选B.答案B点评根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系例2分析先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状解析在ABC中，

8、由正弦定理，可得eq f(sin Asin C,sin B)eq f(ac,b)eq f(bc,a)，整理得a(ac)b(bc)，即a2b2acbc0，(ab)(abc)0.因为abc0，所以ab0，即ab，所以ABC是等腰三角形应选C.答案C点评此题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现细说三角形中解的个数例分析此题为两边和其中一边的对角解三角形的问题，可以利用上述方法来判断ABC解的情况解方法一由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，可得sin Beq f(r(2),2)sin 45eq f(1,2)b，所以AB，故B30，符合条件的ABC只有一个方法二

9、由余弦定理得22c2(eq r(2)22eq r(2)ccos 45，即c22c20，解得c1eq r(3).而1eq r(3)b，故符合条件的ABC只有一个挖掘三角形中的隐含条件例1错解cba且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(k2k22k42,2kk2)eq f(k24k12,2kk2)0.k24k120，解得2k0.综上所述，0kk4.即k2而不是k0.正解cba，且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(k24k12,2kk2)0.k24k120，解得2kk4，k2，综上所述，

10、k的取值围为2k0，0eq f(b,a)3.点拨忽略了三角形角和为180，及角A、B的取值围，从而导致eq f(b,a)取值围求错正解由正弦定理得eq f(b,a)eq f(sin B,sin A)eq f(sin 3A,sin A)eq f(sinA2A,sin A)eq f(sin Acos 2Acos Asin 2A,sin A)cos 2A2cos2A4cos2A1.ABC180，B3A.AB4A180，0A45.eq f(r(2),2)cos A1，14cos2A13，1eq f(b,a)3.温馨点评解三角形问题，角的取值围至关重要一些问题，角的取值围隐含在题目的条件中，假设不仔细审

11、题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.正弦、余弦定理三应用例1分析如图，过点D作DEAB于点E，则DE为所求的高由BAD60，知ADC120，又边CD与AC的长，故ACD为两边和其中一边的对角，可解三角形解RtADE，需先求AD的长，这只需在ACD中应用余弦定理解由BAD60，得ADC120，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC，即19AD242AD2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，解得AD3或AD5(舍去)在ADE中，DEADsin 60eq f(3r(3),2).点评依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中

12、的表达2求围例2分析把BD的长表示为ABC的函数，转化为求函数的值域解设ABC.因为ABCC，所以A1802，BDCAABD1802eq f(,2)180eq f(3,2)，因为BC1，在BCD中，由正弦定理得BDeq f(sin ,sin f(3,2)eq f(2sin f(,2)cos f(,2),sin cos f(,2)cos sin f(,2)eq f(2cos f(,2),4cos2f(,2)1)eq f(2,4cos f(,2)f(1,cos f(,2)，因为0eq f(,2)45，所以eq f(r(2),2)cos eq f(,2)1，而当cos eq f(,2)增大时，BD减

13、小，且当cos eq f(,2)eq f(r(2),2)时，BDeq r(2)；当cos eq f(,2)1时，BDeq f(2,3)，故BD的取值围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，r(2).点评此题考察：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想例3解(1)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()cbcos A，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()cacos B.又eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，bccos Aaccos B，bcos Aacos B.方法一sin Bcos Asin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B