第884课时复数的概念及运算

1、 83数系的扩张与复数的四则运算【考点及要求】了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充 要条件。理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则 运算。【基础知识】1 数的扩展：数系扩展的脉络是： T T，用集合符号表示为 ，实际上前者是后者的真子集 .2.复数的概念及分类：概念：形如a bi(a,b R)的数叫做，其中a与b分别为 TOC o 1-5 h z 它的和分类：若a bi(a,b R)为实数，则，若a bi(a,b R)为虚数,则，若a bi(a,b R)为纯虚数，则；复数相等：若复数 a bi c di(a,b,c,d R) ；共轭复数：a bi与

2、c di(a,b,c,dR)共轭 ；3.复数的加、减、乘、除去处法则：设| z z1 | | z z2| | 2a(a为正常数,2a|z 1-z 2| )则加法：ZlZ2(abi)(cdi)=；减法：ziZ2(abi)(cdi)=；乘法：zi?Z2(abi)?(cdi)=；乘方：zm?znm、n；(z )；(Zi?Z2)除法：ziabi互abiz2cdiZ2cdi4复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实轴，叫做虚轴；实轴上的点表示 ,除原点外，虚轴上的点都表示 uuu5复数的模：向量 OZ的模叫做复数z a bi(a,b R)的 (或),记作 (或),即 |z| |a b

3、i | =；复数模的性质： | 乙 | z2| z1z2 | z11| z2 | : | z |2 |Z |2| Z2 | Z2 |z? z ；6.常见的结论:i的运算律：i4n1,i 4n 14n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,i n+i n+1+in+2+i n+3=0 ；(1 i)21 i；Ti3_【基本训练】1若(a2i)b i，其中a,b R,i是虚数单位，则2b等于2 设复数Z1i, z2x 2i(x R)，若 Z1Z2为实数,则X等于3若zcosi sin (i是虚数单位)，则使z2值可能是1 i4 (1 i)2(1ii?等于5 已知复数Z03 2i，复数z满足2i

4、 ?z。5z，则复数z6. i是虚数单位,i 2i2 3i3 4i48i8【典型例题】例1 已知：复数z (a2 7a 6)5a6)i(a R)，试求实数a分别取什么值时，复数z分别为：z在复平面上对应的点在 x轴上方;实数；虚数；纯虚数；复数1010练习：复数z的实部和虚部都为整数，且满足 z + 10是实数，1 z + 10 6,求复数 乙ZZ例2计算下列各题:(2 2i)4(1 312阳(丄)1 i2007(23i)(2 3i)(1i)(5 12i)(F)62 3i1 i3. 2i【课堂检测】1.下列命题中：两个复数一定不能比较大小;z m ni，当且仅当m 0,n0时,2 2z为虚数；

5、如果乙Z20，则乙Z20 ；如果Z! ,Z2, Z3 C ，则2 2(乙 Z2)(Z2 Z3)0，其中正确的的命题的个数是 1 2i1 i 2005叱.1.4 TOC o 1-5 h z 3 =；()=；复数(1-) =；3 i31 ii1复数z 的共轭复数是；1 i 已知复数 z 13 i,贝U1 z z2 z3 L Lz20082 24若复数(1 bi )(2i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数)，则b5.设 f(n)1 i()n(n Z)，则集合中的元素个数为 1 i6.已知复数Z 1i，如果z2 az b1 i，求实数a、b的值. 84数系的扩张与复数的四则运算【基础训练】1 若复数z

6、 m(m 1) (m21)i是纯虚数，则实数 m的值为2 .复数Z1在复平面内所对应的点在 TOC o 1-5 h z 3133 .若ui, vi,给出下列命题uv 1 ;u v2 ;2 2 21 1 21;v u其中正确的命题是.u vZ2I 1，则 I ZZ2 I4 .如果乙、Z2C且满足I Z1 | | Z2 | | Z1【典型例题】1例3 设z为虚数，Z 是实数，且 12 ,Z求I Z |的值及Z的实部的取值范围；1 z设u ，求证：u为纯虚数；求u2的最小值.1 Z练习：设xxy是实数，且1 iy1 2i，求x1 3iy的值.例4.若关于x的方程x2(t23t tx)i0有纯虚数根，

7、求实数t的值和该方程的根练习：关于x的方程X2(2 i)x 1 mi 0,( m R)有一实根为n ,设复数z (2mi)(1 2ni),求m、n的值及复数z的值.例5设关于x的方程x2 (tan i)x (2 i) 0.(1 )若方程有实数根，求锐角和方程的实根；(2)证明：对任意k尹Z)，方程无纯虚数根练习：已知关于t的方程t2(2i)t 2xy (x y)i 0,( x, y R).(1)当方程有实根时，求点(x, y)的轨迹方程;(2)若方程有实根，求此实根的取值范围【课堂小结】【课堂检测】1 i 复数 在复平面上对应的点位于第 象限i复数(m2 -3m -4) + (m2 -5m -

8、6)i表示的点在虚轴上，则实数 m一 10 若复数 z满足|z| - z =，贝V z =1 2i4若复数z满足方程Z2 2 0,则Z3；25 .若关于X的一元二次实系数方程x px q 0有一根为1q .6.设 z28 6i，求 z316z 100 的值z的值是i(i为虚数单位)，则【课堂作业】1 .已知复数 Z1、Z2 满足 0 | = |Z2| = 1，且 Z1 + Z2 = i，求 Z1、Z2 . 已知复数Z满足|z -(4 -5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值 已知复数z、w满足w =, (1+3i)z为纯虚数，|w| = 5 2 ,2 i求w.已知 f (z) 2z z 3i, f(z i