高中数学 数学归纳法教学设计 课件

1、情境一问 题某人看到树上有几只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑”。你认为这样的说法可靠吗？为什么？归纳法归纳法分为 不完全归纳法 和 完全归纳法考察部分对象，得到一般结论的推理方法结论不一定可靠由一系列特殊情况得出一般结论的推理方法考察全体对象，得到一般结论的推理方法结论一定可靠已知数列满足 ， ，情境二计算 ，猜想其通项公式并证明。猜想如何验证这个猜想呢？问 题通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立。你相信一指之力就能推倒一座摩天大厦吗?探 究能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌全部倒下的条件是：第一块骨牌必须倒下； 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。结

2、论实验一实验二小结：第一块骨牌倒下是所有骨牌倒下的基础和前提。实验三思 考你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述？思 考你认为前面的猜想“数列的通项公式是与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？回顾：一般结构：递推关系：是否只要有了上述的递推关系，就能保证 ？ 问题：保证“对于每一个正整数n, ”的条件是： 递推关系：结论骨牌原理证明猜想的证明步骤第一块骨牌倒下 成立证明当n=1时， 猜想正确。证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”。证明“如果，那么 ”。证明“如果n=k时猜想正确，那么n=k+1时，猜想也正确”。根据，所有的骨牌都能倒下。根据， 。根据，猜想对于一切正整数n都成立。【探

3、究】已知数列 满足 ，证明： 证：（1）当n=1时，由已知， ， 式成立。 （2）假设当 时， 式成立，即 根据递推公式 ，有 即当 时， 式也成立。 由（1）（2）可知， 式对任何 都成立。 由此，我们发现了一个证明与正整数n有关的命题方法，它可按如下两个步骤进行：（1）证明当n取第一个值时命题成立； （2）假设时命题成立，证明当时命题也成立。根据（1）和（2），可知命题对都成立。4.4 数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按如下步骤进行：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）“以 时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”。根据（1）和（2），可知命题对从 开始的所有正整

4、数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。归纳递推归纳奠基思 考数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？相互依存，缺一不可证：（1）当n=1时，左边= ，右边= ，式成立。 （2）假设当 时， 式成立，即 根据等差数列的定义，有 即当 时， 式也成立。 由（1）（2）可知， 式对任何 都成立。 于是， 【练习1】 试判断 与 的大小。解：当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，猜测：【练习1】 证明猜想 证明：（1）当n=2时， 猜想成立。（2）假设当n=k时，猜想成立，即那么 即当 时， 猜想也成立。 由（1）（2）可知， 猜想对任何 都成立。 【注】数学归纳法中的起始值不一定是1.证明一个与正整数 有关的命题（1）证明当 时命题成立对所有正整数 命题都成立。数学归纳法的结构(2)假设当 时命题成立,证明当 时命题也成立。 两个步骤 缺一不可反思总结 纳入体系勇攀高峰数学思想: 归纳思想，递推思想，类比思想 数学方法：数学归纳法：两步骤 一结论数学知识:无限递推转化为有限步验证实现由量变到质变的飞跃 探究题“秃子悖论”情境：一个女孩有茂密的长发。（1）当n=1,即拔掉第1根头发时，不秃。（2）若n=k时命题成立，即当拔掉第k根头发时不