2022年三角形中考压轴题精选

1、中考专题三角形1（2022.贺州）如图, A、B、C 分别是线段A 1B,B 1C,C1A 的中点,如 的面积是 1,那么 A 1B 1C1 的面积三解答题（共 5 小题）2（2022.昭通）已知 为等边三角形, 点 D 为直线上的一动点 （点 D 不与 B、C 重合）,以为边作菱形 （A 、D、 E、F 按逆时针排列） ,使 60,连接（1）如图 1,当点 D 在边上时,求证： ； ；（2）如图 2,当点 D 在边的延长线上且其他条件不变时,结论是否成立？如不成立,请写出、之间存在的数量关系,并说明理由；（3）如图 3,当点 D 在边的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出、 、之间

2、存在的数量关系3（2022.于洪区一模）如图1,在 中, 为锐角,点D 为射线上一点,连接,以为一边且在的右侧作正方形（1）假如, 90, 当点 D 在线段上时（与点B 不重合）,如图 2,线段、所在直线的位置关系为,线段、的数量关系为； 当点 D 在线段的延长线上时,如图3, 中的结论是否仍旧成立,并说明理由；（2）假如 , 是锐角,点 D 在线段上,当 满意什么条件时,（点 C、F 不重合）,并说明理由4（2022.河南）如图 1,将两个完全相同的三角形纸片和重合放置,其中90, 30（1）操作发觉如图 2,固定 ,使 绕点 C 旋转,当点 线段与的位置关系是；D 恰好落在边上时,填空：

3、设 的面积为 S1, 的面积为 S2,就 S1 与 S2 的数量关系是（2）猜想论证当 绕点 C 旋转到如图3 所示的位置时,小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍旧成立,并尝试分别作出了 和 中、边上的高,请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知 60,点 D 是角平分线上一点,4, 交于点 E（如图 4）如在射线上存在点F,使 S ,请直接写出相应的的长5（2022.常德）已知两个共一个顶点的等腰 , , 90,连接, M 是的中点,连接、 （1）如图 1,当与在同始终线上时,求证： ；（2）如图 1,如, 2a,求,的长；（3）如图 2,当 45时,求证：2022 年 07 月 04

4、 日菜的中学数学组卷参考答案与试题解析一挑选题（共3 小题）且 2,直角三角形的两直角边、分别交、 于点 M 、N如1（2022.山西） 如图, 点 E 在正方形的对角线上,正方形的边长为a,就重叠部分四边形的面积为（）D2 aA 2 aB2 aC2 a考点 ： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题 ： 几何图形问题；压轴题分析： 过 E 作于点 P, 于点 Q, ,利用四边形的面积等于正方形的面积求解解答： 解：过 E 作于点 P,于点 Q,四边形是正方形, 90,又 90, 90, 90,三角形是直角三角形, 90, ,是 的角平分线, 90,四边形是正方形,在 和 中, （）S ,四

5、边形的面积等于正方形的面积,正方形的边长为 a,2,2,正方形的面积四边形的面积2,应选： D点评： 此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是作出帮助线,证出 2（2022.武汉模拟）如图 45,E、F 分别是、的中点,就以下结论, , , ,其中正确选项（）A B C D 考点 ： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析： 依据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边” 同时利用三角形的全等性质求解解答： 解：如下图所示：连接,延长交于点 M ,延长交于 Q,延长交于 P 45 45点 D 为两条高的交点,所以为边上的高,即：由中位线定理可

6、得 ,故 正确 45, 45, , , 90,依据以上条件得 ,故 正确 45 180 （ C） =45 180 （ ） =135=180 故 成立；无法证明,故 错误应选 B点评： 此题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判定及应用3（2022.河北模拟）四边形中,和交于点E,如平分 ,且,有以下四个命题： ； ； ； 其中命题肯定成立的是（）C D A B 考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质专题 ： 压轴题分析： 依据等腰三角形的性质,等边三角形的判定,圆内接四边形的性质,全等三角形的性质判定各选项 是否正确即可解答： 解： ,一个三角形的直角边和斜边肯定不相等,不垂直于,

7、 错误；利用边角边定理可证得 ,那么, 正确；由 可得 ,那么 A ,B,C,D 四点共圆, , 正确； 不肯定是等边三角形,那么 不肯定正确； 正确,应选 B点评： 此题主要考查了全等三角形的性质,以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边 三角形的三边相等二填空题（共 6 小题）4（2022.泰安一模）如图,将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形,再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形,如此连续下去,结果如下表,就31（用含 n 的代数式表示） 所剪次数1 23 4 n正三角形个数 4710 13 考点 ： 等边三角形的性质专题 ： 压轴题；规律型分析： 依据图跟

8、表我们可以看出n 代表所剪次数, 代表小正三角形的个数,也可以依据图形找出规律加以求解解答： 解：由图可知没剪的时候,有一个三角形,以后每剪一次就多出三个,所以总的个数 31故答案为： 31点评： 此题主要考查同学的规律思维才能以及应变才能5（2022.宜兴市一模）如图,在 中,点 P 为 所在平面内一点,且点 P 与 的任意两个顶点构成 , , 均是等腰三角形,就满意上述条件的全部点 P 的个数为 6 个考点 ： 等腰三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析： 依据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,作出的垂直平分线,第一 的外心满意,再依据圆的半径相等,以点 C 为圆心,以长为半径画

9、圆,的垂直平分线相交于两点,分别以点 A、B为圆心,以长为半径画圆,与的垂直平分线相交于一点,再分别以点 A、B 为圆心,以长为半径画圆,与 C 相交于两点,即可得解解答： 解：如下列图,作的垂直平分线, 的外心 P1 为满意条件的一个点, 以点 C 为圆心,以长为半径画圆,P2、 P3为满意条件的点, 分别以点 A 、B 为圆心,以长为半径画圆, 分别以点 A 、B 为圆心,以长为半径画圆,P4 为满意条件的点,P5、P6为满意条件的点,综上所述,满意条件的全部点 P 的个数为 6故答案为： 6点评： 此题考查了等腰三角形的判定与性质,主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性

10、质,三角形的外心到三个顶点的距离相等,圆的半径相等的性质,作出图形更形象直观6（2022.齐齐哈尔模拟）如图, 是边长为 1 的等边三角形,取的中点 E,作 , ,得到四边形,它的面积记为 S1,取的中点 E1,作 E1D 1 ,E1F1 得到四边形 E1D 11,它的面积记作 S2,照此规律, 就 S2022=考点 ： 等边三角形的性质；三角形中位线定理专题 ： 压轴题；规律型分析：求出 的面积是,求出是三角形的中位线,依据相像三角形的性质得出 S4= ,求出 S,S,求出 S1=,同理 S2=S,S3=,推出 S2022= （2022 个）,即可得出答案解答： 解： 的中点 E, ,E 为

11、中点, , ,1（）2=, 的面积是=S,=推理=SS1=同理 S2=S,S3= S4= ,S2022= （2022 个）,故答案为：点评： 此题考查了相像三角形的性质和判定,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是总结出规律,题 目比较好,但是有肯定的难度7（2022.和平区模拟）如图,在正方形中,点E,F 分别在边,上,假如4, 3,5,那么正方形的面积等于考点 ： 勾股定理的逆定理；解分式方程；相像三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析： 依据 ,可将与之间的关系式表示出来,在 中,依据勾股定理222,可将正方形的边长求出,进而可将正方形的面积求出解答： 解：设正方形的边长为 x,的长为

12、a 90 C =,即=解得 4a 在 中,222x22=42将 代入 ,可得：正方形的面积为：x2=16a2=点评： 此题是一道依据三角形相像和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题隐含了整体的数学思想和正确运算的才能留意后面可以直接这样 x22=4 2 , x 2+（）2=4 2, x2 2=4 2,x2=16,x 2=无需算出算出 x8（2022.湖州模拟）已知 a,b, c 是直角三角形的三条边,且 abc,斜边上的高为 h,就以下说法中正确选项（只填序号）可以构成三角形； 直角三角形的面积的最大值 a2b24=（a22+1）h2； b42h22c2； 由是考点 ： 勾股定理的逆定理；

13、勾股定理专题 ： 运算题；压轴题分析： 依据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简,等式成立者即为正确答案解答： 解：依据直角三角形的面积的不同算法,有,解得 将 代入 a 2b 24=（a 22+1）h 2,得a 2b 2+（）4=（a 22+1）（）2,得a 2b 2+（）4=（c 2+1）（）2,得a 2b 2+（）42b 2+,得即（）4=,a 2b 22,不肯定成立,故本选项错误； 将 代入 b 42h 22c 2,得b 42（）22c 2,b 42a 22c 2,整理得 b42a2 b2c2=0,b 2（ b22 c2）=0,b22 c2=0,b2（b22 c2）=0 成立,故本

14、选项正确； b 222,（）2+（）2,（）2,不能说明（）2+（）2=（）2,故本选项错误； 直角三角形的面积为,随的变化而变化,所以无最大值,故本选项错误故答案为 点评： 此题不仅考查了勾股定理,仍考查了面积法求直角三角形的高,等式变形运算较复杂,要认真9（2022.贺州）如图, A、B、C 分别是线段的面积7考点 ： 三角形的面积专题 ： 压轴题A1B,B1C,C1A 的中点,如 的面积是 1,那么 A1B1C1分析： 连接 1,1,1,依据等底等高的三角形的面积相等求出 1, A 11的面积,从而求出 A 11 的面积,同理可求 B 11的面积, A11 的面积,然后相加即可得解解答：

15、 解：如图,连接 1, 1, 1,A、B 分别是线段 A 1B,B 1C 的中点,S 1 1,S A11 1=1,S A11 A11 1=1+1=2 ,同理： S B11=2,S A11=2, A1B 1C1 的面积 A11 B11 A11 2+2+2+1=7 故答案为： 7点评： 此题考查了三角形的面积,主要利用了等底等高的三角形的面积相等,作帮助线把三角形进行分割是解题的关键三解答题（共5 小题）D 为直线上的一动点（点D 不与 B、C 重合）,以为边作菱形10（ 2022.昭通）已知 为等边三角形,点（A 、D、E、 F 按逆时针排列） ,使 60,连接（1）如图 1,当点 D 在边上时

16、,求证： ； ；（2）如图 2,当点 D 在边的延长线上且其他条件不变时,结论是否成立？如不成立,请写出、之间存在的数量关系,并说明理由；（3）如图 3,当点 D 在边的延长线上且其他条件不变时,补全图形,考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质专题 ： 几何综合题；压轴题并直接写出、 、之间存在的数量关系分析： （1）依据已知得出, ,60,求出 ,证 ,推出即可；（2）求出 ,依据证 ,推出即可；（3）画出图形后,依据证 ,推出即可解答： （1）证明： 菱形, 是等边三角形, 60=, ,即 ,在 和 中, ,即 , （2）解：不成立, 、之间存在的数量关系是 ,理由

17、是：由（ 1）知：,60, ,即 ,在 和 中, , ,即 （3） 理由是： 60, ,在 和 中, （）, ,即 点评： 此题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质,菱形的性质的应用,主要考查同学的推 理才能,留意：证明过程类似,题目具有肯定的代表性,难度适中11（2022.青羊区一模）如图, 中, 6,点 P 从点 B 动身沿射线移动,同时,点Q 从点 C动身沿线段的延长线移动,已知点P、Q 移动的速度相同,与直线相交于点D（1）如图 ,当点 P 为的中点时,求的长；（2）如图 ,过点 P 作直线的垂线垂足为E,当点 P、Q 在移动的过程中,线段、中是否存在长度保持不变的线段？请说

18、明理由；考点 ： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题；分类争论分析： （1）过点 P 做平行与,由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等,再由,依据等边对等角得角 B 和角的相等,依据等量代换的角B 和角的相等,依据等角对等边得,又因点P 和点 Q 同时动身,且速度相同即,等量代换得,在加上对等角的相等,证得三角形和三角形的全等,依据全等三角形的对应边边相等得出,而又因 P 是的中点, 得出 F 是的中点,进而依据已知的的长,求出,即可得出的长（2）分两种情形争论,第一种情形点P 在线段上,依据等腰三角形的三线合一得,再又第一问的全等可知,所以,得出线段的长

19、为定值；其次种情形,P 在的延长线上,作平行于交的延长线于 M ,依据两直线平行,同位角相等推出角等于角,而角等于角,依据等量代换得到角等于角,依据等角对等边得到等于,依据三线合一,得到等于,同理可得 全等于 ,得到等于,依据等于减,把换为加的一半,化简后得到值为定值解答： 解：（1）如图,过 P 点作 交于 F,点 P 和点 Q 同时动身,且速度相同, , ,又 , , ,又 ,证得 ,又因 P 是的中点, ,F 是的中点,即 3,；（2）分两种情形争论,得为定值,是不变的线段如图,假如点 P在线段上,过点 P 作 交于 F, 为等腰三角形,为定值,同理,如图,如 P 在的延长线上,作 的延

20、长线于 M , ,又 , , ,依据三线合一得,同理可得 ,所以,综上所述,线段的长度保持不变点评： 此题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,考查了分类争论的数学思想,是一道综 合题12（ 2022.于洪区一模）如图1,在 中, 为锐角,点D 为射线上一点,连接,以为一边且在的右侧作正方形（1）假如, 90, 当点 D 在线段上时（与点B 不重合）,如图 2,线段、所在直线的位置关系为垂直,线段、的数量关系为相等； 当点 D 在线段的延长线上时,如图3, 中的结论是否仍旧成立,并说明理由；（2）假如 , 是锐角,点D 在线段上,当 满意什么条件时,（点 C、F 不重合）,并说明理由

21、考点 ： 全等三角形的判定与性质专题 ： 压轴题；开放型分析： （1）当点 D 在的延长线上时 的结论仍成立由正方形的性质可推出 ,所以, 结合90,得到 90即 （2）当 45时,过点 A 作交的延长线于点G,就 90,可推出 ,所以,由（ 1） 可知解答： 证明：（1） 正方形中, 90, ,又 , , , 90,即 当点 D 在的延长线上时 的结论仍成立由正方形得, 90 度 90, , ,又 , , 90, 45, 45, 90 度即 （2）当 45时, （如图）理由：过点A 作 交的延长线于点G,就 90, 45,90 , 90 45=45, 45, （同角的余角相等） , , 45

22、, 45+45=90,即 点评： 此题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有：、判定 两个三角形全等,先依据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再依据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件13（ 2022.河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片和重合放置,其中90,30（1）操作发觉如图 2,固定 ,使 绕点 C 旋转,当点 线段与的位置关系是；D 恰好落在边上时,填空： 设 的面积为 S1, 的面积为 S2,就 S1与 S2的数量关系是S12（2）猜想论证当 绕点 C 旋转到如图3 所示的位置时,小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍旧成

23、立,并尝试分别作出了 和 中、边上的高,请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知 60,点 D 是角平分线上一点,4, 交于点 E（如图 4）如在射线上存在点F,使 S ,请直接写出相应的的长考点 ： 全等三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析： （1） 依据旋转的性质可得,然后求出 是等边三角形, 依据等边三角形的性质可得60,然后依据内错角相等,两直线平行解答； 依据等边三角形的性质可得,再依据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出,然后求出,再依据等边三角形的性质求出点 C 到的距离等于点 D 到的距离,然后依据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）依据旋转的性质可得,

24、 ,再求出 ,然后利用 “角角边 ”证明 和 全等,依据全等三角形对应边相等可得,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点 D 作 1 ,求出四边形 1 是菱形,依据菱形的对边相等可得 1,然后依据等底等高的三角形的面积相等可知点 F1 为所求的点, 过点 D 作 2 ,求出 F12=60,从而得到 1F2 是等边三角形,然后求出 12,再求出 1= 2,利用 “边角边 ”证明 1 和 2 全等,依据全等三角形的面积相等可得点 F2 也是所求的点,然后在等腰 中求出的长,即可得解解答： 解：（1） 绕点 C 旋转点 D 恰好落在边上, 90 90 30=60, 是等边三角形, 60,

25、又 60, , ； 30,90,依据等边三角形的性质, 的边、上的高相等, 的面积和 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）,即 S12；故答案为： ；S12；（2）如图, 是由 绕点 C 旋转得到, 90, 180 90=90, ,在 和 中, （）, 的面积和 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）,即 S12；（3）如图,过点D 作 1 ,易求四边形1 是菱形,所以 1,且、 1 上的高相等,此时 S 1 ；过点 D 作 2, 60,F1D , F2F160, 11, F130, F290, F12=60, 1F2 是等边三角形, 12, 60,点 D 是角平分线上一点, 60=30

26、, 1=180 180 30=150, 2=360 150 60=150, 1= 2,在 1 和 2 中, 1 2（）,点 F2 也是所求的点, 60,点 D 是角平分线上一点, , 60=30,又 4,430=2=, 1=, 211F2,故的长为 或点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积,等边三角形的判定与性质,直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,娴熟把握等底等高的三角形的面积相等,以及全等三角形的面积相等是解题的关键,（3）要留意符合条件的点 F 有两个14（ 2022.常德）已知两个共一个顶点的等腰 , ,90,连接, M 是的中点,连接、 （1）如图 1

27、,当与在同始终线上时,求证： ；（2）如图 1,如, 2a,求,的长；（3）如图 2,当 45时,求证：考点 ： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ： 压轴题分析： （1）证法一：如答图1a 所示,延长交于点D,证明为 的中位线即可；证法二：如答图 1b 所示,延长交于 D,依据在同一平面内,垂直于同始终线的两直线相互平行可得 ,再依据两直线平行,内错角相等可得,依据中点定义可得,然后利用“ 角边角 ” 证明 和 全等,再依据全等三角形对应边相等可得,然后求出,从而得到 是等腰直角三角形,依据等腰直角三角形的性质求出45,从而得到 ,再依据同位角相等,两直线平行证明 即可,（2）解法一：如答图 2a 所示,作帮助线,