2022年三角函数及解三角形专题训练

1、- . 三角求值与解三角形专项训练1 三角公式运用【通俗原理】1三角函数的定义：设P x y ,记xOPR ,r|OP|. x2y2,那么 siny,cosx, tany x x0rr2根本公式：sin22 cos1,tansin. cos3诱导公式：4两角和差公式：sinsincoscossin,coscoscossinsin,tan1tantan. tantan2,5二倍角公式：sin 22sincos,cos22 cossin22cos2112sin2costan212tan2. tan6帮助角公式：asinbcosa22 bsin,其中由 tanb及点 , a b 所在象限确定 . a

2、asinbcosacosbsina2b其中由 tanb及点 a b所在象限确定 . a【典型例题】1R ,证明： sin2cos. -.可修编 - . - 2假设0,- , tan2 ,求 sincos的值 . . 23 sin1,sin1,求tan tan的值 . 24求 cos15 tan15 的值 . 5证明：cos34cos33cos. - -.可修编 - . - . 【跟踪练习】1sin33,求 cos6的值 . 52假设sin 21,求 tan的值 . 2三角求值与解三角形专项训练2.解三角形1三角形边角关系：在ABC中,A ,B,C 的对边分别为a b c , ABC. ；假设

3、abc ,那么 abc ；等边对等角,大边对大角. 2正弦定理：abB 2 Rc2R R 是ABC外接圆的半径 . sin sinA A ,sin bsin Csin B c变形：a2R2RsinC . 3余弦定理：a22 bc22 bccosA.变形：cosAb2c2a2,其他同理可得2 ba2c22 accosB2bcc2a2b22 abcos C4三角形面积公式：SABC1absinC1bc sin2sin 2 BA1ac sin B2B 或 2 A. 2B ；25与三角形有关的三角方程：sin 2AA cos2Acos2BAB . 6与三角形有关的不等式：absinAsinBcosAc

4、osB . 7解三角形的三种题型：知三个条件知三个角除外 ,求其他 角、边、面积、周长等知两个条件,求某个特定元素或围；- -.可修编 - . - . . 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的围或最值【典型例题】1在ABC中,假设acosAbcosB ,试判定ABC的外形 . cosB . 2在中,证明：abABsinAcosAABCsinB3在ABC中,a1,A6,b3,求角 C 的大小 . 4在ABC中,C2A ,c2 a ,求角 A 的大小 . 5在ABC中,aAcC,求角 A 的大小 . 3 cossin- -.可修编 - . 6在ABC- c3,C3. . 中,I求ABC 面积的最

5、大值；II 求ABC 周长的取值围 . 【跟踪练习】1在ABC中,asinAsinBcbsinCsinB ,求角 C . -.可修编 - . - 2在ABC- a2c2b2ac . 中,I求B 的大小；的最大值B2,b2 3. II 求cosAcosC2 ca23 bc ,3在ABC中,b23I求 BC 边上的中线AD 的长；- II 求BAC 的角平分线AE 的长 . -.可修编 - . - . 参考答案5.1 三角公式,y Px,y 【典型例题】1证明：如图,在单位圆中,记xOP,xOQ=2,有P x y,Q y ,x ,O 2x 那么 sin2x ,而 cosx,Qy,x sin2cos

6、. 2解法一：0,2, tan2 ,有 sin2cos代入sin22 cos1 得2 cos1,那么cos5,sin2 5 5,559 5,sincos3 5. 5解法二：0,2, tan2 ,sincos 212sincos12sincos12 tan1sin22 costan2-.可修编 - . 又 sincos0 ,有sincos3 5. 53解：由 sin1,sin1,2- - 3,cossin1,. sincoscossin1得sincoscossin1,那么sincos442tan tansinsincos3. cos sincossinsin45 sin30cos4解： cos1

7、5cos4530 cos45 cos302321246,2222323,tan15tan4530 tan 45tan3031tan 45 tan3033 cos15tan1524623. sin 25证明： cos3cos2 coscos2sincos 2cos212cos2 sin3 2coscos2cos12 cos4cos33cos. 【跟踪练习】1解： 632,且sin33,221,-.可修编 - . 5cos6cos23sin33. 52解：由sin 21得2sincos1,即sincos22sin2cos4tan11,即2 tan4tan3 . 10,解得 tantan24- -

8、5. 25 5,即sin5sincos5. ,由cos5得cos2k. 555由sin2 5得sin2k22 5 5,即cos2 52 55552sincos455.3 解三角形【典型例题】1解：由 a cos A b cos B 及正弦定理得 sin A cos A sin B cos B ,即 sin 2 A sin2 B ,又 A B 0, ,有 2 A 2 B 或 2 A 2 B ,即 A B 或 A B,2ABC 是等腰三角形或直角三角形 . 2证明： a b A B ,由 a b 及正弦定理得 2 R sin A 2 R sin B sin A sin B ,而函数 f x cos

9、 x在 0, 上单调递减,有 0 B A f B f A ,A B cos A cos,a b A B sin A sin B cos A cos B . 3解：由正弦定理得 a b,得 sin B b sin A 3 1 3sin A sin B a 2 2由于 b 3 a 1,所以 B A ,故 B 或3 3当 B 时,C A B 3 6 3 22 2当 B 时,C A B 3 6 3 6角 C 为 或 . 2 64解：c 2 a, 由正弦定理有 sinC= 2 sinA又 C=2 A,即 sin2A= 2 sinA,于是 2sinAcosA= 2 sinA,- -.可修编 - . - .

10、 b 时等号成立 . 在 ABC 中, sinA 0,于是 cosA=2 , A= 245解：由条件结合正弦定理得,aAcCaA,3cossinsin从而 sinA3 cosA, tanA3, 0A,A3. 6解： Ic3,C3,由余弦定理得32a2b22abcos3,3a22 bab2ababab,仅当 ab 时等号成立,ABC的面积S1absinC1absin3333 3,2244当ab3时,ABC面积的最大值为3 3；4II 由I得3a22 bab,即3ab2 3 ab,ab1 3ab21a2b2,那么ab 212,即ab2 3,仅当 aABC的周长abc2 333 3,仅当ab3时等号

11、成立,而abc3,故abc2 3,ABC周长的取值围是2 3,3 3 . 【跟踪练习】1解：由以及正弦定理,得1a ab0cbcb ,即a2b2c2；ab . ,cosCa2b2c2C. ,又C,所以2 ab23c2b21,0B,B2-.可修编 - . 2解： I由得 :cosBa22ac23- - 3sinC. II 由I知:AC3,故A3C, 0C3,3,所以cosAcos Ccos3CcosC3sinC3cosC223. 2. 0C3,3sinC31,3cosAcosC22a23,3解： I由b2c2a23 bc 及余弦定理得cosAb2c22bc2又A0, ,A6,那么CAB6,即 a

12、c ,即ac而b2 3,由aAbBcC得a62 3c6sinsinsinsinsin3sinAD 是 BC 边上的中线,那么AD1 2ABAC ,AD21 4c2b22 bccos67,有 |AD|7,bcsin6,即 BC 边上的中线长为7 ；II 由I得c2,b2 3,A6,又 AE 是BAC 的平分线,由SABESCAESABC得1 2c AEsin121b AEsin12122 231sin12AE2 3,即 31sin12AE3,又sin12sin343212642,2222-.可修编 - . AE6,即BAC 的角平分线AE6. - - . 5.2 三角函数的图象与性质【通俗原理】

13、1三个根本三角函数的图象与性质ysinxycosx1奇偶性：奇函数,图象关于原点对称；1奇偶性：偶函数,图象关于y 轴对称；- 2对称性：关于k,0中心对称,关于2对称性：关于k2,0中心对称,. xk2轴对称； kZ ,下同 关于 xk轴对称； kZ ,下同 3周期性：周期为T2；3周期性：周期为T2；4单调性：在 2k,2k上递减,4 单 调 性 ：在 2k2,2k2上 递在 2k,2k2 上递增；增,在 2k2,2k2上递减；5最值性：当x2 k时,ymax1,5最值性：当x2k2时,ymax1,当x2 k时,y max1；当x2k2时,y max1；6有界性：当xR 时, sin-.可

14、修编 - . x 1,16有界性：当xR 时, sinx 1,1. - ytanxytan xy x. sinxy1奇偶性：奇函数,图象关于原点对称；1切线：曲线ysinx 在x0处的切线为 yx ,曲线ytanx 在x0处的切2对称性：关于k,0中心对称,不是线也为 yx ；xtanx ,22不等式：当x0,2时,sinx轴对称图形； kZ ,下同 3周期性：周期为T；4单调性：在 k2,k2上递增 . 当x2,0时, tanxxsinx ,当x0时, sinxxtanx . 2函数图象平移与伸缩变换1左右平移：yf x 向右平移 个单位yf xa；同理有如下结果：2上下平移：y f x 向

15、上平移 b 个单位 y b f x ,即 y f x b ；说明：当 a 0 时,y f x 向右平移 a 个单位得 y f x a ,当 a 0 时,y f x 向左平移 | a 个单位得 y f x a ；当 b 0 时,y f x 向上平移 b 个单位得 y b f x ,即 y f x b ,当 b 0 时,y f x 向下平移 | b 个单位得 y b f x ,即 y f x b . 13横向伸缩：y f x 横向 伸长到原先的 A 倍 y f x ；A14纵向伸缩：y f x 纵向 伸长到原先的 B 倍 y f x ,即 y Bf x . B说明：当 A 1 时,表示伸长,当 0

16、 A 1 时,表示缩短；当 B 1 时,表示伸长,当 0 B 1时,表示缩短 . 【典型例题】- -.可修编 - . - g x . 1x1的图1函数f x sin2x3. 2cos1求f x 的对称轴及对称中心；2求f x 的单调递增区间及在0, 上的单调递增区间；3求f x 在 2,0上的最大值与最小值,并求出相应的x 的值 . 3把函数f x sinx 的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数3象？【跟踪练习】1函数y| tan2x 的对称轴是 . x,把yf x 的图象向右平移a 个单位得到一个偶2a0,0 ,函数f x sin函数yg x 的图象,把yf x 的图象向左平移a个单位得

17、到一个奇函数yh x 的图象,- -.可修编 - . - 2 xy2f x 在 0,2 上的单调递减区间. . 倍纵坐标当 |取得最小值时,求3假设把函数f x x的图象向左平移1 个单位,再把横坐标缩短为原先的12不变 得到函数yg x 的图象,求函数yg x 的解析式 . 5.2 三角函数的图象与性质【典型例题】1解： 1由 2x3k2得xk12,即f x 的对称轴为xk12,22由 2x3k得xk6,即f x 的对称轴为 k6,0, kZ ；22-.可修编 - . 2由 2k22x32k2得k12xk12,f x 的单调递增区间为k12,k12,kZ ,当x0,时, 2x33,3,由32

18、x32或22x33得 0 x12或12x,f x 在 0, 上的单调递增区间是0,1212,；3由x2,0得 2x33,3,当 2x33,即x0时,f x maxf0sin33,2当 2x32,即x12时,f x minf12sin21. 2证明：锐角ABC中,有2AB,即 02AB2,又函数f x sinx 在 0,2上单调递增,有f2A fB ,- - . sin A sin B cos A sin B ,2同理 cos B sin C , cos C sin A , sin A sin B sin C cos A cos B cos C . 3解：方法一 先平移再伸缩 ：f x sin x cos x cos x ,2 2把 x a代换x得,y cos x a ,把1 x 代换 x 得 y cos 1x a ,与 y cos 1x2 A A 2 3a 0比照得 2,a2,即把 f x sin x 的图象向左平移 个单位,再将横坐标1 1 A 3 2A 3伸长到原先的 3 倍得 y cos 1x 的图象,再将纵坐标伸长到原先的 2 倍得 y 2cos 1x 的图象,3 31后向上平移 1 个单位