2数值计算上课第二部分ch8-1euler法与改进euler

1、第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法 高等数学中介绍的微分方程主要有: (1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努力方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程常微分方程数值解法主要内容：一、 引 言二、 建立数值解法的常用方法三、 Euler方法四、 几何意义五、 Euler方法的误差估计六、 向后Euler方法主要内容 许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等. 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的

2、表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法 一、引 言本章重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解本章假定常微分方程数值解法初值问题数值解的提法常微分方程数值解法建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.一般采用以下几种方法:(1) 用差商近似导数 二、建立数值解法的常用方法(2) 用数值积分近似积分实际上是矩形法宽高常用方法(3) 用Taylor多项式近似并可估计误差常用方法用差商近似导数问题转化为Euler方法的迭代公式 三、Euler方法 例1解初值问题的迭代公式为:例 题 1用求根公式求解初值问题y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322

3、y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 - 1.48324精确解用Euler方法的迭代0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.277440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.508970.7 1.580340.8 1.64978迭代结果近似解近似解精确解0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.277440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.50897y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y

4、0.5 - 1.41421y0.6 - 1.48324结果比较例2解初值问题的迭代公式为:例 题 2用求根公式求解初值问题y0 - 1y0.1 - 1.00332y0.2 - 1.01316y0.3 - 1.02914y0.4 - 1.05072y0.5 - 1.07722y0.6 - 1.10793精确解迭代结果：0 1.0.1 1.0.2 1.006670.3 1.019820.4 1.039050.5 1.063750.6 1.09321近似解 四、几何意义Y=y(x)ab几何意义 五、Euler方法的误差估计 我们更关心整体截断误差，但其讨论要用到局部截断误差。Euler方法的误差估计

5、2、整体截断误差定义：截断误差 六、向后Euler方法 第 二 节改进的Euler方法改进的Euler方法利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:解决方法：有的可化为显格式，但有的不行梯形方法为隐式算法改进的Euler方法梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大 实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作改进的欧拉公式。改进的Euler方法改进的Euler方法例3解例 题 3用求根公式求解初值问题y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 - 1.48324精确解用改进Euler公式迭代的结果：0 1.0.1 1.097740.2 1.187570.3 1.271290.4 1.350130.5 1.424990.6 1.49657近似解Euler近似解精确解0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.277440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.50897y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 -