北京工业大学线性代数第四章第四节子空间 第五节 向量的内积 第六节正交矩阵1

1、第四节 子空间引例：集合是3维向量空间R3 的一个子集，有k 是数)W 对向量加法及数量乘法封闭称W 是R3 的一个线性子空间1 定义:设W是n维向量空间Pn的一个非空子集，若W 对向量加法及数量乘法封闭，则称W 是n维向量空间Pn 的一个线性子空间。简称子空间，或称向量空间 (1) 0是Pn的线性子空间,叫零子空间. 说明: (2) Pn是Pn的线性子空间 以上两个子空间称为Pn的平凡子空间.2集合是3维几何空间R3 的一个子集，有例： V 对向量加法不封闭，则V 不是R3的线性子空间例：为R3的一个子空间。32. 由向量组生成的向量空间 W =k11+k22+kss|k1,k2, ,ksP

2、 称为由向量组1, 2 , , s生成的向量空间.记作L(1, 2 , s).定义: 例: n维实向量空间定理:设向量组1,2,s1,2,t则L(1,2 ,s)=L(1,2 ,t).43. 向量空间的基及维数设 V 是向量空间，若V 中向量组满足： 线性无关， V 中任意一个向量都可以由线性表出则称为向量空间V 的一个基，s 称为V 的维数，记作 dimV=s. V 也称为s维向量空间定义：5说明：一个极大线性无关组,(1) V 可看作一个向量组，V 的基是向量组的(4) 零子空间0没有基,0的维数为0.(2)若向量组1, 2, , s是向量空间V的一个基,V 的维数是向量组的秩.则V L(1

3、, 2 ,s).(3) 设V = L(1,2,s) 而i1,i2,ir是向量组1,2,s的一个极大线性无关组 ,则V =L(i1,i2,ir)，向量组i1,i2,ir 就是V 的一个基,dim(V)=r.=6例求向量空间的基和维数解：是一个W 的一个极大线性无关组，个基，(5)向量空间的维数并不是空间中向量的维数。7第五节 向量的内积一内积二向量的正交化8一内积 定义:设称为 与 的内积点积, 或记作说明：（1）两向量内积即为它们对应分量乘积之和；（2）定义中 也可为行向量；9（3）行向量即行矩阵，列向量即列矩阵，内 积可有如下两种表示：若 均为列向量，则若 均为行向量，则（5）n维向量空间有

4、了内积后，就称为一个欧几里得空间。（4） 维空间内积定义是3维空间中内积定义 推广，但当 时已无直观的几何意义.10 性质 为实数； 向量的长度（范数）设称为向量 的长度或范数.11向量长度的性质 非负性 齐次性为数单位向量：若 ，则称 为单位向量为单位向量，称将向量 单位化。单位化： 三角不等式显然，向量 是单位向量12 R4 中的向量 是否是单位向量, 若不是将 化为单位向量解：不是单位向量，为单位向量例113二向量的正交化 向量的夹角 非零向量 的夹角 的余弦为，夹角为14 正交:若则称 与 正交或垂直， 零向量与任何向量都正交 正交向量组如果非零向量组两两正交，则称为正交向量组记作注：

5、仅由一个非零向量组成的向量组也是正交向量组。显然15 正交单位向量组若正交向量组中的每个向量量组都是单位向量，则是正交单位向正交单位向量组特别地, n 维基本向量组是Rn中的定理1是正交向量组线性无关16 设是正交向量组，线性无关证：17如：线性无关,显然所以 不正交 正交基、标准正交基向量空间中，由正交向量组构成的基称为正交基向量空间中，由正交单位向量组构成的基称为标准正交基（或称规范正交基）注：线性无关的向量组不一定正交。正交基：标准正交基：18如： n 维基本向量组是向量空间Rn 的一组标准正交基问题：向量空间的标准正交基是否一定存在？前面介绍了正交向量组一定是线性无关的向量组，但线性无

6、关向量组未必是正交向量组，下面方法可将线性无关向量组化为正交向量组说明：只要向量空间有基，就一定存在标准正交基。19观察：设 是几何空间中线性无关的向向量组令其中 是 在 上的投影从而向量，即20令其中 分别是 在 上的投影，则从而21 施密特(Schimidt)正交化方法设 为线性无关向量组， 正交化组令22为正交向量组 单位化 令为正交单位向量组则如此类推，23定理2设 为线性无关向量组，令向量组，单位化后得等价的正交单位向量组等价的正交则24利用施密特(Schimidt)正交化方法，设向量组求与它等价的正交单位向量组.（书P141-例4.5.2）解：令例125则为正交向量组26则 为与

7、等价的正交单位向量组说明： 除了用施密特正交化方法构造标准正交基我们还可以采用如下扩充的方法。27定理3 n 维向量空间Rn 中 任意一个正交向量组都能扩充成一个正交基例2 设解：先求设组。28则为正交向量组设29第六节 正交矩阵引例：设实 n 阶方阵A 的列向量组是正交单位位向量组，求解：将方阵A 按列分块，设30即A 的列向量组是正交单位向量组易知，31为此，我们引入下述概念： 定义：如果实 n 阶方阵A 满足则称 A 为正交矩阵说明： 实 n 阶方阵A 是正交矩阵A 是正交矩阵 A 的列 (行) 向量组是正交单位向量组（正交矩阵的特征）32n 阶实方阵A 是正交矩阵 A 的列 (行)向量组是Rn 的一组标准正交基 构造正交矩阵等价于求标准正交基许多实际问题需要构造正交矩阵正交矩阵的例子：33是正交矩阵。又如 显然，单位矩阵是正交矩阵。 因为 34 性质：如果A 是正交矩阵, 则A-1(AT)也是正交矩阵A-1 是正交矩阵 则3