高一数学-指数函数-函数的值域与最值-(教案)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业授课类型T-指数函数C-函数的值域与最值T-指数函数教学目的1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。3、掌握函数值域与最值的解法教学内容你知道么？一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折次所得层数为，则与的函数表达式是：.一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米，再从中间剪一次剩下米，若这条绳子剪次剩下米，则与的函数表达式是：. 问题

2、：这两个函数有何特点?一、指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.注意：为何规定，且?当时，有些会没有意义，如；当时，有些会没有意义，如；当时，恒等于1，没有研究的必要.例（）判断下列函数哪些是指数函数？； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）不是.二、指数扩充及其运算性质1、给定正实数，对于任意给定的整数（互质），存在唯一的正实数，使得，我们把叫做的次幂，记作，它就是分数指数幂，我们可以将其写成根式形式，即2、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。3、指数从有理数

3、推广到实数后，可以证明指数的运算法则仍成立.即 三、指数函数的图像和性质图象特征函数性质a10a1a10a1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0,1）a0=1自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x0,ax1x0,ax1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x0,ax1x0,ax1一般地,指数函数y=ax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a10a1图象性质定义域：R值域：（0

4、,+）过点（0,1）,即x=0时y=1在R上是增函数,当x0时,0y1;当x0时,y1在R上是减函数,当x0时,y1;当x0时,0y1利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.（1）和； （2）和.【分析与解答】（1）因为指数函数在上是增函数，又，所以.（2）因为指数函数在上是减函数，又，所以.求下列函数的定义域与值域。（1） （2） （3）【分析与解答】根据指数函数的定义域为R，逐个分析。【解】（1）由 所以定义域为 所以值域为（2）定义域为R。 故值域为（3）定义域为R，令，则所以值域为函数的图像如图，试确定的大小；若，求的解析式。【分析与解答】由图像知， 由题意： 所以，所以函数的

5、解析式分别为：已知函数在区间1,1上的最大值是14，求a的值【分析与解答】解： ， 换元为，对称轴为.当，即x=1时取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)银行一年定期储蓄年利率为1.89%，如果存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%利息缴纳利息税）自动转存一年期定期储蓄.（1）某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，问5年后，这笔钱扣除利息税后的本利和为多少，精确到1元.（2）设本金为元，年利率为，扣除利息税20%后的本金和为，写出随年变化的函数式.【分析与解答】（1）1年后的本利和为；2年后的本利和为 ； 5年后的本利和为 .由计算器计算得 . 所以，5年后的本利

6、和为元.根据上面计算，得 .1.将指数函数，表示成一个奇函数和一个偶函数的和。答案；2、若函数有两个零点，则实数的取值范围是_答案：3、求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） （4）解：（1） 原函数的定义域是， 令 则 得，所以，原函数的值域是（2） 原函数的定义域是， 令 则， 在是增函数 ， 所以，原函数的值域是（3）原函数的定义域是，令 则， 在是增函数， ，所以，原函数的值域是（4）原函数的定义域是，由得， ， ，所以，原函数的值域是说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。4、（1）阅读不等式的解法； 设，因为函数在R上单调递减，若任意取， 则即有，再此在内

7、单调递增。的解为，故不等式的解为试用上面的方法解不等式（2）证明：有且仅有一个实数解【解】（1）设函数，因为函数在R上都是单调递减，若任意取，则 所以所以在R上都是单调递减又因为所以不等式的解为（2）方程等价于，由（1）知，有且只有一个实数根2.所以，有且仅有一个实数解5、讨论的值域。【解】令 显然没有最大值。（1）当时，即（2）当时，即是增函数，综合，当时， 当时，6、求函数的单调递增区间。【解】是减函数， 的单调递增区间就是的单调递减区间。 又 的单调递减区间是的单调区间是7、判断下列函数的奇偶性。（1） （2）【解】（1）的定义域为，任取所以，是奇函数。 （2）的定义域为任取所以是奇函数

8、。8、解不等式【解】 所以指数函数在R上是减函数。 又解得 所以原不等式的解集为教师：你还有哪些收获和感悟？-函数的值域和最值 一、相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二、基本函数的值域一次函数的值域为R； 二次函数； 反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为R。函数y=sinx、y=cosx的值域是 三、求函数值域的方法（注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定

9、义域）观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1. 的值域；解：所以此函数的值域为.例2. 求 的值域；解：3、换元法： 形如（a、b、c、d为常数且）的函数，常用换元法求值域。；例3. 求函数的值域解：设, .4、判别式法：形如；例4 求函数的值域；解： 要上面的方程有实数根，求出,所以函数的值域为5、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如的函数用反函数法求值域；例 求函数y=值域。6、分离常数法：形如的函数可变形为函数后求值域；例5求函数的值域；7、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的

10、较多的一个内容)（未学）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例6 求函数y=，的值域 8、数形结合法。例7求函数 （方法一可用到图象法）方法二：（单调性） 所以此函数的值域为 题型求一元二次函数为背景的函数的值域求函数在0, 2上的最值【分析与解答】： (1)当eq f(a,2)0，即a0时，f(x)在上递增 f(x)maxf(2)a210a18.f(x)minf(0)a22a2.(2)当eq f(a,2)2，即a4时，f(x)在上递减 f(x)maxf(0)a22a2.f(x)minf(2)a210a18.(3

11、)当0eq f(a,2)2时，即0a4时，f(x)minfeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)2a2.当0eq f(a,2)1时，即0a2时，f(x)maxf(2)a210a18；当1eq f(a,2)2时，即2a4时，f(x)maxa22a2.题型求以分式为背景的函数的值域求函数 的值域？若是求 的值域呢？【分析与解答】（1）方法一： 转化成分子为一次，分母为二次的函数的值域，得 ；方法二：由题意得 ，此式可看成是关于 的方程在 上有解，故得 ，整理可得在上有解 （1） 时， ； （2） 时，得 ；综上所述：当 有范围时只能考虑方法一了，解题步骤如方法一， ，转化为分子为一

12、次分母为二次的函数的值域为 1.若为实数，则函数的值域是 （ ）A. R B. C. D. 2已知则有 （ ）A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值3函数在上的值域是则的取值所成的集合为（ ）A. B. C. D. 4.函数=的值域为 （ ）A. B. C. D. 5.函数=的最大值是 （ ）A. B. C. D.6函数的最大值与最小值的差为 7函数的值域是 8（1）函数的值域是 （2） 函数的值域是 ；函数的值域是 9.已知函数，求的值域?10. 已知的值域是，=+ 的值域。11. 已知=用函数表示函数在区间上的最小值，求的表达式。（2012四川文）函数的图象可能是（ ） 【

13、解析】采用特殊值验证法. 函数恒过(1,0),只有C选项符合. 【点评】函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. （2012北京文）已知,.若或,则的取值范围是_ .【解析】首先看没有参数,从入手,显然时,时,而对或成立即可,故只要时,(*)恒成立即可.当时,不符合(*),所以舍去;当时,由得,并不对成立,舍去;当时,由,注意,故,所以,即,又,故,所以,又,故,综上,的取值范围是. 【点评】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对进行讨论. 一、选择题：1下列

14、各式中成立的一项（ ）A BC D 2化简的结果（ ）A BCD3设指数函数，则下列等式中不正确的是（ ）Af(x+y)=f(x)f(y) BC D4函数（ ）A BC D5若指数函数在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（ ）AB CD 6当时，函数和的图象只可能是（ ）7函数的值域是（ ）ABCDR8函数，满足的的取值范围（ ）AB C D9函数得单调递增区间是（ ）ABCD10已知，则下列正确的是（ ）A奇函数，在R上为增函数 B偶函数，在R上为增函数C奇函数，在R上为减函数 D偶函数，在R上为减函数二、填空题： 11已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是 .12当a0且a1时，函数f (x)=ax23必过定点 .13计算= .14已知1a0，则三个数由小到大的顺序是