【高三数学知识点总结】31：双曲线

1、双曲线1双曲线的概念（1）第一定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数2a(02a0，b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线 离心率 e ，e(1，)，其中ceq r(a2b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚

2、半轴长准线 a、b、c的关系c2a2b2注1：标准方程中谁的系数为正，焦点在谁的轴上.注2：求双曲线的标准方程应该先“定型”后“定量”，不能确定类型就分类讨论或设一般方程.注3：方程表示的曲线 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 焦点在轴上的椭圆； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 焦点在轴上的椭圆； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 以原点为圆心的圆； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 焦点在轴上的双曲线； = 5 * GB3 * MERGEFORMAT 焦点在轴上的双曲线.注4：实轴长和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为离心

3、率为双曲线中的焦点三角形的性质令；（2）；要会结合（1）（2）解决一些诸如面积的问题.焦半径公式： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 在右支，此时；左支，此时； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 在左支，此时；在右支，此时注：焦半径公式不需要记忆，需要用时会用第二定义推导就行，焦半径的范围要明确，无论点在左支还是右支，到焦点的距离不小于.4.关于渐近线的重要结论（重点记忆）（1）将双曲线等式右边的“1”改成“0”，然后因式分解可得渐近线方程.（2）若已知渐近线方程为，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)（3）与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1

4、有共同渐近线的双曲线方程可设为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(0)5.一个特征三角形结论：焦点到渐近线的距离为假设垂足为则构成一个特征三角形，其中，.（此时垂直的坐标为）6.两个重要的结论（解答题用“点差法”求解这类问题）（1）已知是双曲线上两个不同的点，是的中点，则.归纳小结：即.（2）双曲线是关于中心对称的两点，是双曲线上任意一点，则归纳小结：即.7.直线和双曲线的位置关系（1）弦长公式：直线l：ykxb与圆锥曲线C：F(x，y)0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|eq r(1k2)|x1x2|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)或|AB| eq r(1f(1,k2)|y1y2| eq r(1f(1,k2)eq r(y1y224y1y2).（2）将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bxc0.若a0，当0