组合投资选择模型概述

1、岸组合投资选择模半型挨 扮金融微观分析面肮临着许多的不确傲定性，对于不确颁定性通常有三种搬研究方法：拌效用分析法；半2胺、均值分析法；扮3稗、无套利分析法癌。癌第一节瓣 昂组合投资选择模俺型爱一岸 矮、摆 熬证券组合的收益颁与风险伴组合投资理论基八本假设：隘已知投资收益率伴的概率分布邦风险用方差或标暗准差度量罢影响投资结果的半因素仅有均值、坝方差八投资者为不满足隘和风险厌恶型跋二、组合的收益笆和风险唉 (把多斑(半N) 百种资产袄)般投资组合：将全熬部投入资金按某拜种比例分散投资耙于两种或两种以办上证券而构成的矮一个组合。记：矮p=(x斑1柏,x翱N扒)肮T坝，啊设第班I稗种证券的收益为笆r佰

2、i伴，澳其中邦X巴i颁为投资于挨I伴证券的资金比例把，则俺。板r耙i巴的标准差为埃，八r鞍i肮与按r肮j邦的协方差为把，相关系数为投资组合:胺 耙收益率唉：期望收益率：方差：鞍标准差：百为笆的协方差矩阵袄第二节佰 傲二次效用函数与矮投资证券收益率安关于二次效用函案数与投资证券收坝益率服从正态分唉布的讨论。敖设投资者的期初摆财富为扒w胺，个体通过投资案各种金融资产来罢最大化它的期末皑财富、芭 佰带来的期望效用敖。败设个体的傲N靶叭M哀效用函数为昂u把,白对哀u邦在暗E拔（安w叭）作靶Taylor芭展开，哀=U(E(w)澳)+ 半(阿 阿凹E(w) +疤(澳 耙凹E(w)扒+R其中R=伴在假设拌U

3、拔有很光滑的条件跋之下，可得盎E(拌)=U(E(瓣)捌（光滑的含义：般存在伴N柏阶导、展开的级蔼数收敛、积分与哎求导可交换）岸E(颁)=U(E(半)+班U伴(E(白)颁（按）胺+E(R拌)白半（邦1傲）隘其中挨E(R隘)= 蔼)岸扒跋（癌2搬）案 八其中跋m爱表示佰的埃n凹阶中心矩蔼定理盎袄：巴1埃，如果碍是二次函数则，叭=a+b巴+c哎，笆2办，对任意皑N耙摆M坝效用函数笆U邦，如果期末的财按富服从正态分布俺，则期望效用仅氨是财富的期望与霸方差的函数。E()熬 案 百 霸 安 霸证明癌：如果碍1霸成立跋,班则期望效用伴E(把)= a + 敖b E(暗) + c E柏(暗)=a + b按 E(

4、柏) + c懊（按）板+ E翱(肮)袄如果扳2鞍成立，则当期末班财富服从正态分办布时，则 跋 扒 疤 阿 疤E(办 爸班E(w)败= 霸颁 0 斑 伴 般 j拜为奇数岸 按 般 翱埃 氨胺（蔼（颁）伴 j疤为偶数可见定理成立拜期望效用最大化靶在定理拔1凹的假设下，归结班为选择均值与标埃准差的最优组合颁来实现。百下面来证明在均碍值、标准差平面巴上，无差异曲线艾是凸的单调递增按的。扮 叭为此，由收益率跋的定义般r霸= 昂 (1埃期收益率把)半知：埃N(敖) 唉 r傲N(拔)碍因此，资产（财背富）的收益率服鞍从均值为疤，标准差为哀的正态分布。懊定理挨碍：当资产收益率哀rN(吧)背时，则无差异曲扮线是

5、向下凸的，邦风险厌恶者的期叭望收益与风险之凹间的边际替代率霸是正的。证明：略按第三节鞍 袄关于组合投资的邦有效边界的讨论班及性质白定义：如果一个凹证券组合在所有盎的均值收益率的斑证券组合中是具隘有最小的方差值疤，那幺这个组合办就是有效的证券皑组合。肮Markowi澳tz办模型：澳 Min s.t 哎 安 笆 耙 熬构造叭Lagrang袄e碍函数：解得： 艾令颁 A=凹，叭B=盎，罢C=懊，挨D=癌。邦 柏继而得到：扳 绊（皑靶）坝 跋 熬最小方差集合性班质耙性质一澳 f, f+h鞍 疤是瓣0八，搬1啊均值的两个投资昂组合。瓣在扒捌式中，取板E般（疤R扒）邦=0 胺般X扮=f ,笆取哎E矮（扳R

6、扮）拔=1 坝熬X扳=f+h案性质二敖 隘前沿面上的所有埃证券都是凹f 奥和坝f+h 八的组合。百证明：做哎f艾和蔼f+h叭的组合叭q绊E(r佰)哎）瓣*f+ E(r拔)*啊（唉f+h笆）办=f + h*拜 E(r埃)=X性质三 白证明：讨论证券岸x吧与盎q哀的协方差办Cov(r隘,r哀)=E(r笆- E(r百)( r唉-E(r唉)疤 =扳( E(r芭)-柏)( E(r八)-胺) + 敖特别的当捌x=q,傲有：盎扮= 稗 + 芭( E(rx)岸-俺)白 稗 埃（抛物线）埃 颁 般 办 翱白 =1 拔 把（双曲线）挨E(r懊)班 般 耙 八 懊佰当八E(r熬)=邦时，则有一全局罢最小方差的投资搬

7、组合岸性质四办 阿有效证券组合是翱一个凸集。靶证明：假设证券颁组合拔X拌1岸, X把2捌,碍俺, X霸N 摆 班 叭是挨n唉个有效的证券组颁合坝 柏于是对任意实数暗a摆 靶0, 佰=1斑 敖由性质安2 , 办 耙是一个证券组合且， = 瓣因此它是有效的埃。 氨性质五翱 柏对于除啊mvp 八外，任一个有效班证券组合稗X癌，必有唯一一个蔼最小方差集合上摆的证券组合巴ZC(X)俺，使得把。疤推论一俺 ZC(ZC(碍X)=X熬。奥推论二霸 半对所有的证券组瓣合吧X袄，拜。疤推论三案，如果耙X熬是有效组合，则跋E(r ZC(八x) 奥, 懊否则艾ZC(X)阿是无效的证券组安合。哎E(r)按 哀 捌 斑

8、八佰证明：考察两个暗有效的证券组合斑的协方差捌Cov(r盎,r ZC(p哎)=X盎V X ZC(扮p)罢 啊=笆( E(r办)-芭)( E(r 袄ZC(p)-袄) + 盎令傲Cov(r背,r ZC(p翱)=0 凹解得：办E(r ZC(癌p)= 吧 矮拔 阿性质六办 搬任意证券办Y版的收益率均值，八均可表示为任一伴个最小方差集合白上证券组合矮X(懊除瓣mvp邦外阿)隘，与其对应的伴ZC(X)搬的收益率均值的拌组合：拜。奥投资组合降低风矮险特例说明艾：罢平均值为扮，案平均值为皑，取埃单个证券的风险伴（方差）傲 摆称为不可化解风吧险或市场风险或爸系统风险。巴称为可化解风险昂或特有风险或非岸系统风险。

9、证明性质六。皑设阿q捌是任意证券组合翱，安p巴是有效的证券组吧合（艾p+mvp拔）胺则般Cov(rq,敖rp) = X袄q艾VXp =Xq艾V(耙V靶e + 罢V邦1板)暗=瓣Xq把e +爸 Xq拌1背=暗E rp + 柏将傲、案带入，整理得到跋E rq = 傲 + Cov(摆rq,rp) 班= 袄 *案 + 搬肮 + 绊*背=E r ZC拌(p) +懊pq(Erp 啊袄 霸 + 拜)挨= E r Z盎C(p) +熬pq(Erp 八袄 E r ZC昂(p)翱=办（案1跋笆pq扮）霸E r ZC(埃p) + 奥pq Erp靶第四节、组合投隘资理论巴存在背n般个风险资产，构昂造投资组合昂Xp=(x

10、耙1哀,x巴N矮),翱使得满足：Min 叭s.t 坝X哀e = Erp岸 阿 隘 罢 挨此时，对任意一拜个证券组合靶q半，有皑Erq =百（案1傲肮qp巴）邦*Erp + 白qp* E r熬 zc(p)班下面讨论当存在捌无风险资产时的熬证券组合的有效颁集合。肮设有吧n+1拔个证券，懊n阿个风险资产，一巴个无风险资产，奥且无风险资产的斑收益率记为阿r埃，设巴P凹是由俺n+1艾个证券组成的证袄券组合，且是有凹效的，它在有效捌集合上。盎Xp笆就是由安n唉个风险证券构成白的证券组合的权伴重，则盎Xp肮是下述问题的解耙。百由柏largang拌e蔼乘数法，可知埃Xp伴满足关系式凹由（白1版）挨Xp =柏 碍=由此可解出氨Xp埃 吧= 八 笆V按 = V 哎其中拔H=扳 哎=B碍半2Ar爱+碍C碍 r坝0板考虑组合把P按的方差傲 = 隘（碍rp熬）袄= 拜= 拜 懊 -鞍情形1澳：rf矮 , 有版效集合L啊E(r)懊 rf 板 办 瓣 卖空点啊 懊 跋L癌 敖 熬哎情形3熬：胺rf =捌 ，有效邦集合为L、L百 (渐近线伴，不相切)爱E(r)肮 搬 霸 耙 鞍 L rf 傲 安 埃 蔼 叭 扮L跋 澳 癌半考虑证券组合，芭使其满足Max拜 邦 拌s.t: X摆 1 = 1稗 袄半 吧 扮Max 罢可以求出其一阶靶条件：败=懊VXp 懊 瓣(