2022年两角差的余弦公式教案示范课

1、两角差的余弦公式教案 玉林高中数学科 授课人：饶蔼 教学目标 1. 学问与技能：通过让同学探究,猜想,发觉并推导“两角差的余弦公式” ,通过 公式的简洁应用,使同学初步懂得公式的结构及其功能,并为建立其他和差公 式打好基础 . 2. 过程与方法：在探究公式的过程中,逐步培养同学学会分析问题,解决问题, 合作沟通的才能；通过两角差的余弦公式的简洁运用 ,把握不同方法求值 . 3. 情感态度：通过课题背景的设计,增强同学的探究,应用意识,熟识到数学来 源于生活,激发同学的学习积极性 . 教学重,难点 1. 重点：两角差余弦公式的探究,证明过程和公式的初步应用 . 2. 难点：探究过程的组织和适当引

2、导 . 学情分析 同学已经把握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数,也学习了同 角三角函数式的变换；懂得了平面对量及其运算的意义,并能用数量积表示两个 向量的夹角,经受了用向量方法解决某些简洁的平面几何问题,力学问题与其他 一些实际问题的过程,具有确定的推理才能,运算才能和解决实际问题的才能, 但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时,同学简洁犯思维不严谨,不 严密的错误,教学时需要引导同学搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区分 . 教法,学法 1. 教法：问题驱动,引导发觉,合作探究相结合的教学方法开放教学 . 2. 学法：课前预习,小组探究,反思小结等 . 教学过程 （一）创设情

3、境,引入课题 金城超市电梯长度约为 8 米,坡度（与地面夹角）约为 30 度,请问当我们上完电 梯后,在水平方向上前进了多少米？ 设前进量为 x 米,就 x 8 cos30 4 3 米 8 m 30 x 提问： 当电梯坡度为 45 度时,其他不变, x 等于多少？ 第 1 页,共 4 页答： x 8 cos45 4 2 米 提问： 当电梯坡度为 15 度时,此时 x 又等于多少？ 答： x 8cos15 米 问题 1： cos15 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？ 【设计意图 】从同学的实际生活动身,自然地引出问题,培养同学把实际问题抽象为 数学模型来解决的才能,让同学感知数学来源于生

4、活,并应用于生活,激发同学的学 习爱好； （二）探究归纳,提出猜想 问题 2： 对任意的 , , cos cos cos 是否成立？ 1. 摸索： 15 能否用特殊角表示？ 预案 1： cos15 cos45 30 问： cos15 cos45 cos30 是否成立？为什么？ 【设计意图 】让同学经受提出假设 证明假设的过程,知道要证明一个假设不成立, 只需举出反例即可,即明白特殊与一般的辩证关系； 2. 探究： cos15 能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？ 提示：利用单位圆,向量学问 在右图中, y Bcos 45 , sin 45 OA OB cos 45 , sin 45 cos

5、30 , sin 30 cos45 cos30 sin 45 sin 30 O 45 A cos 30 ,sin 30 30 又 OA OB OA OB cos x cos cos45 30 cos45 30 cos 45 cos30 sin 45 sin 30 sin sin . 得出结论： cos45 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 提出猜想： 对任意的 , ,都有 cos cos cos 【 设计意图 】通过求 cos15 的值,让小组呈现成果,不仅培养同学合作探究才能,表 达才能,仍培养了观看才能,归纳才能,并由此提出猜想,使同学懂得如何探究问题, 从特殊

6、情形迁移到一般情形下的争辩,为下个环节能突出重点起到铺垫作用； （三）小组合作,证明猜想 问题 3：以上探究 cos15 值时,都是用到特殊角来求值,对一般情形下的角是否 成立？ 探究： 证明对任意的 , 都有 cos cos cos sin sin . 第 2 页,共 4 页方案 1： 利用单位圆,向量学问； OA cos , sin OB cos ,sin y x OA OB cos , sin cos , sin cos cos sin sin O 又 OA OB OA OB cos AOB cos cos cos sin sin 问题 4： 如何探讨 , 的任意性？ 如 y x 就 c

7、os cos cos sin sin 而 2k cos cos2k cos cos cos sin sin 方案 2： 利用三角函数线 xOP 此时,过 P 点作垂线 PA OP1 于点 A, O PM Ox 于点 M. cos 过 A 点作垂线 AB OM 于点 B, 过 P 点作垂线 PC AB 于点 C. OM 就 PAC OM OB BM OB CP OAcos APsin cos cos sin sin cos cos cos sin sin 定义： , ,都有 cos cos cos sin sin ,称为差角余弦公式； 记为： C cc ss,特点：任意角,同名积,符号反 【 设

8、计意图 】本环节由小组呈现探究过程,让同学依据已有的体会（探究 cos15 ）去 证明一般情形下的结论,符合同学的思维进展规律；通过各种方法的证明和老师适当 的点评,指导,起到突出本节课重点的作用；在探究角的任意性过程中,也培养了学 生严谨的规律思维才能； 第 3 页,共 4 页（四） . 课堂巩固练习 例 1： 利用差角余弦公式求 cos15 的值？ 法 1： cos15 cos45 30 cos 45 cos30 sin 45 sin 30 2 3 2 1 6 22 2 2 2 4法 2： cos15 cos60 45 cos60 cos45 sin 60 sin 45 1 2 3 2 2

9、 62 2 2 2 4变式 1： 利用差角余弦公式求 cos75 的值？ 法 1： cos75 cos120 45 cos120 cos45 sin 120 sin 45 1 2 3 2 6 22 2 2 2 4法 2： cos75 cos45 30 cos45 cos 30 sin 45 sin 30 cos45 cos30 sin 45 sin 30 2 3 2 1 6 22 2 2 2 4【设计意图 】通过公式的简洁应用,使同学初步懂得公式的结构及其功能,并为建立 其他和差公式打好基础；通过变式的应用,培养同学用多种方法解决问题的才能； （五）课堂小结,回忆反思 1.这堂课你学到了什么内容？如何学习的？ 学习了差角余弦公式； 假设猜想 反证否定 用向量,三角函数线探究公式 证明结论 公式应用 2.学习与应用