2022年专转本数学模拟试题与解析

1、江苏省 20XX 年一般高校“ 专转本 析”统一考试模拟试卷（三）解高等数学留意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清晰；2.考生必需要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上,写在草稿纸上无效；3.本试卷五大题 24 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟；一、挑选题 （本大题共6 小题,每道题4 分,满分 24 分. 在每道题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在题后的括号内）1、设函数fx二阶可导,且f 0,f 0,就0 x 为fx的 A、极大值点B、微小值点C、微小值D、拐点横坐标2、设ysin2x,就y 100 x0等于 A、1 B、 1 C、0 D、123

2、、连续曲线yf x 和直线xa,xbab与 x 轴所围成的图形的面积是A、bfxdxB、bfx dxaaC、bfx dxD、afx dxab4、与三坐标夹角均相等的一个单位向量为 A、（1,1,1）B、（1 ,31 ,31 ）3C、（1 ,31 ,31 ）3D、（1,1,1）333 5、设区域D:1x22 y4,就dxdyDA、B、 2 C、 3D、 46、以下级数收敛的是 A、n11B、n11cos1；nnnC、n111D、n111n nn2n二、填空题 （本大题共6 小题,每道题4 分,满分 24 分）7、极限lim x3x42x2x8、函数fxsin 2 x,tan xx 2 a ,x0

3、如fx在x0处连续,就 ax09、积分bf x3dxa10 、设向量a1,b2,ab3,就ab11、微分方程y3y0的通解是12 、幂级数n111xn的收敛域为n三、解答题 （本大题共8 小题,每道题8 分,满分 64 分）13 、求极限x lim4x2x12x ；14 、已知 yy x 由方程 yx 1 exy xex 2 e 确定,求y015、求不定积分x3dx 4；1fx1dx；x216 、设fx2 x,1x1,求x ,x1217、设区域 D 为圆周x2y22ax与 x 轴在第一象限所围部分,求xydxdy；D18 、已知函数zfxxy,xy,其中fu,v具有二阶连续偏导数,求z,2z；

4、xxy19 、将函数f2 xx3绽开为 x 的幂级数,并指出收敛区间；21x20 、求经过点A,123, ,且垂直于直线L:xyz,又与平面:7x8y9z100456平行的直线方程；四、综合题 （每道题 10 分,共 20 分）21、设曲线ylnx, （1）求该曲线过原点的切线；（2）求由上述切线与曲线及（3）求（ 2）中平面图形绕x 轴所围平面图形的面积；x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；22、设函数fx可导,且满意方程f x xxxt f t dt,求fx；0五、证明题 （每道题 9 分,共 18 分）23、设fx 在a ,b上连续,求证：bfxdxbfafbaxdx,并利用上述结果运算积

5、aa分I11xln 1e 6 dx；fx0,fb0；在a,b 上二阶可导,且24、设函数fx证明：（1）任意xa,b,fx0；（2）存在a,b,使得ff；江苏省 20XX 年一般高校“ 专转本 ”统一考试模拟试卷解析 （三）高等数学一、挑选题 （本大题共6 小题,每道题4 分,满分 24 分. 在每道题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在题后的括号内）1、设函数fx二阶可导,且f 0,f 0,就0 x 为fx的 0 x 为fxA、极大值点B、微小值点f ,就C、微小值D、拐点横坐标解析： 该题考察函数f x 极值点、 拐点的充分条件,f 0,的微小值点,故此题答案选B

6、（极值判别其次充分条件）D、1 22、设ysin2x,就y 100 x0等于 A、1 B、 1 C、0 解析：该题考察常用函数高阶导数公式（1）归纳与递推法, n 阶导数的求法主要有以下几种：（2）高阶导数运算法就：莱布尼兹公式（3）利用函数在一点幂级数绽开式的唯独性,2f x n1a xn,就anf x0,由此n.解出f x 0； sinx2n,由于sinxnsinxn,所以sinx22将x0,n100代入即可,故此题答案选A b与 x 轴所围成的图形的面积是 3、连续曲线yf x 和直线xa,xbaA、bfxdxB、bfx dxaaC、bfx dxD、afx dxab解析：此题考察定积分的

7、几何意义：曲边梯形面积的代数和；故此题答案选A ,4、与三坐标夹角均相等的一个单位向量为 A、（1,1,1）B、（1 ,31 ,31 ）3C、（1 ,31 ,31 ）3D、（1,1,1）333cos ,cos ,cos解析：此题考察单位向量与方向余弦的性质；记夹角为,就单位向量由3cos21 得cos1,故此题答案选C 35、设区域D:1x22 y4,就dxdy DA、B、 2 C、 3 D、 4解析：此题考察二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积；当被积函数为 1时即为区域 D 的面积；此题区域 D 是介于半径分别为 1和 2 的圆之间的圆环；其面积为大圆与小圆面积之差,故此题答案选 C 6、以

8、下级数收敛的是 1 1 1A、B、 cos n 1 n n 1 n n1 1 1C、D、 2 n 1 n n 1 n 1 n n解析：该题考察级数的收敛性质、级数收敛的必要条件,P 级数等； 故此题答案选 C 记住 1 : p 当 p 1 时收敛,p 1 时发散；n 1 n交叉n1n 1 : p n当p1时肯定收敛,0p1时条件收敛,p0时发散；二、填空题 （本大题共6 小题,每道题4 分,满分 24 分）7、极限lim x3x42x2x0解析：求极限时,先判定极限类型,如是 或 型可以直接使用罗比达法就,其余类型可0以转化为0 或 型；罗比达法就求极限的好处主要有两方面,一是通过求导降阶,二

9、是通0过求导将难求极限的极限形式转变为简单求极限的形式；不过,在求极限时应敏捷使用多种方法,特殊是无穷小量或是无穷大量阶的比较,使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将e ；函数转换为幂的形式,便利判别阶数； 此题为“ 1 ” 型,利用其次重要极限lim11lim x3x4 2xlim1 x21x2x4 2x2 e；2x2x8、函数fxsin 2 x,tan xx 2 a ,x0如fx在x0处连续,就 ax0解析： 分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性,如分段点的左右两侧的表达式互不相同,就必需使用定义左右分别争论；此题只需依据连续性定义争论即可；f x 在x0连续,等价于lim x 0f

10、x f0,也即lim x 0f x lim x 0 x2 2a ,lim x 0f x lim x 0sin 2xlim x 02x2tanxxa1；左右极限均等于函数值,即2a2,解得9、积分bf x3dxa解析：此题考查不定积分的定义,凑微分法以及定积分的运算；bfxdx3bfx 3dx3 xb3fbafa；aaa3333310 、设向量a1,b2,ab3,就b解析： 该题考察向量的基本运算数量积运算；两向量数量积为对应重量乘积之和,结果是一个数量；由于ab2ab ab a22a bb2,代入数据得a b1；11、微分方程y3y0的通解是r 10,r 2c e 23；解析：特点方程为r23

11、 r0,解得原方程的通解为yc e 1 0 xc e 23xc 13x12 、幂级数n111xn的收敛域为n解析：对于幂级数n0a xn,假如lim na n1（或lim nnan）,就如幂级数n0a xna n收敛半径R1,收敛区间为R R ；再将 xR 代入级数具体考查；缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷）项级数处理；,就此时将 x 当作常量转化为常数此题 lim n aa nn 1lim n n n 12 1,所以 R 11,nx 1 时,级数 1 发散,x 1 时,级数 1 收敛,故收敛域为 1,1；n 1 n 1 n 1 n 1对于幂级数 a n x x 0 n 只需作

12、变量代换 x x 0 t 即可；n 1三、解答题 （本大题共 8 小题,每道题 8 分,满分 64 分）213 、求极限 lim 4 x x 1 2 x ；x解析：求极限时,先判定极限类型,“” 型可以通分转化为 0 型,对无理式问题的处0理,一般先将其有理化；原式 =x lim4 x24x12 x2=1；x1 =lim x11x141xx214 、已知 y y x 由方程 y 1 e x xe xy 2 e 确定,求 xy 0；解析： 隐函数的导数是常考的一个内容,它的本质实际上是复合函数的导数问题；一般隐函数很难甚至不行能显化；其求导方法是方程 （等式） 两边对 x 求导数, 将 y 看成

13、 x 的函数（中间变量）；将x0代入 y1 e xxy xe2 e ,得到 xy3；yxy；2 e ,xxy xe方程两端对 x 求导,得exy1x y exy ey2x eye1 exexyxyexy,y02211x2 x exy115、求不定积分x3dx 4；x2解析：该题使用其次类换元法,作三角代换令x2sect ,tC原式3 8sect2tan sec tdt4 8 sectdt2 tant=8 1tan2t dtant8 tant8tan33=4x241x243C；316 、设fx2 x,1x11,求1fx1dxx ,x2解析：该题考查定积分的换元法与分段函数的积分；原式1f x1

14、dxux12f u du1f u du2f u duxydxdy；222 12 u1111 1udu1 du02 uu2624117、设区域 D 为圆周xy22ax与 x 轴在第一象限所围部分,求D解析：二重积分问题是许多“ 专转本” 同学的难点；第一要懂得二重积分的几何意义,特殊是对称型简化积分运算；第一要画出积分区域, 然后依据被积函数的特点与区域的外形挑选适当的坐标以及适当的积分次序；一般当被积函数形如f x2y2,区域外形为圆形、圆环、扇形（环）等,往往使用极坐标运算；将圆周x2y22ax化为极坐标方程r2acos,y22 ax22acosy原式drcosrsinrdr002r4cos

15、 sin 2 cosd0402 x2 4 25 cossind40oaz x,x4 a416 cos2 02 a 4；632z；18 、已知函数zfxy,xy,其中fu,v具有二阶连续偏导数,求xy解析：该题型是几乎每年必考；需要仔细把握,理清函数的复合关系；解析：该题型是几乎每年必考；需要仔细把握；第一步：变量x ,y,z的关系网络图 xyf 22z1xy2xy其中 1,2 分别表示xy xy其次步：查找与x 对应的路径,运算的过程可以总结为“ 路中用乘,路间用加”zfyf21x2zyzyfyf2f xf 12yfxffxy fx11121221112yx19 、将函数fx2x2 xx3绽开

16、为 x 的幂级数,并指出收敛区间；1解析：具体方法前面已经具体论述,这里不再赘述；fx2 x2x12x32 x3n22 x2,:7xx81；1002 x1x377x7 2 x11x22x21xn22n0n 2xn1211x 37 12x21n0n 37220 、求经过点A,123, ,且垂直于直线L:xyz,又与平面y9z456平行的直线方程；解析：求直线方程,基本方法是使用对称式；求出直线上的一个定点和方向向量；解：设所求直线的方向向量为s ,就s4 5, ,6 ,s17 ,89 ,所以取s45,6,7 8, ,9z3xy2,3,63 1 ,21, ；故所求直线方程为L:；121四、综合题

17、（每道题 10 分,共 20 分）21、设曲线ylnx, （1）求该曲线过原点的切线；（2）求由上述切线与曲线及（3）求（ 2）中平面图形绕x 轴所围平面图形的面积；x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；解析：此题考查导数的几何意义,定积分的几何应用,应重点把握；1 设切点为x 0,lnx 0,由题意及导数几何意义,应有x1lnx 0,x 0 x 0即lnx 01,于是切点为e 1, ,切线的方程为y1；e（2）于是所求面积为S1eyeydye1；02（3）所求旋转体体积为V112eeln2xdx22e；x；31322、设函数fx可导,且满意方程f x xxxt f t dt,求f0解析： 积分变

18、上限函数的求导问题常常考查,留意弄清对那个变量求导,特殊是被积函数中既含有 t 又含有 x 的情形；这种问题一般总是先求导再说；f x xxxf t dttfx 0tf t dt,f 1xf xf xf x,00f 1f f0. 1,故fx ex1；又f00,即f 五、证明题 （每道题 9 分,共 18 分）23、设fx 在a ,b上连续,求证：bfxdxbfabxdx,并利用上述结果运算积aa分I11xln 1e 6 dx；一般采纳换元法,难点是如何做出代换,优先考虑解析： 有关定积分的抽象恒等式的证明,函数结构形式的对应,兼顾积分的上下限；bfxdxxabtafabtdabtbfabtdtbfabx dxabaaI11xln 16 ex dx11x l