焦半径公式的证明

1、时间：2021.02.07命题人：欧阳物焦半径公式的证明【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的立义：到两定点凡Fz (|=2e)距 离之和为左值2a (2a2c)的动点轨迹(图形).这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a.第一个参数c,就确泄了椭圆的位置：再加上另一个参数a,就确左了椭圆的形状 和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”.遗憾的是，在椭圆的方程护里，却看不到C的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌.为了 “正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找6并寻找关于C的“题根”用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教

2、学的 根基是椭圆的左义但是在具体数学解题时，不一泄每次都是从定义出发，而是从由数 学泄义引出来的某些已知结论(立理或公式)出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的 方程出发.【例1】已知点P(AS兰+疋=1 是椭圆护上任意一点，片(-&0)和cc_ x XE(gO)是椭圆的两个焦点求证：PFj“a : PF：F - a .【分析】可用距离公式先将PF：和处I分别表示出来然后利用椭圆的方程“消yn即可.【解答】由两点间距离公式.可知兰十疋=1从椭圆方程/护 解岀代（2）于（1）并化简，得a十aPF、二 a (Wa)a- 7L同理有PF：二 攵（-aWxWa）【说明】通过例1，得岀了椭圆的焦半径公式n

3、=a-exraex）从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点尸（為刃横坐标的一次函数.星是x 的增函数，匕是X的减函数，它们都有最大值a*c,最小值a-c.从焦半径公式，还 可得椭圆的对称性质（关于再y轴，关于原点）.二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的 成立是以椭圆方程为其依赖的为了看淸焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆左义直 接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物，按椭圆左义，对焦半径直接用距 离公式即可.【例2 P （a; y）是平而上的一点，尸到两泄点F： （-c, 0） , F： （c, 0）的距离的 和

4、为2a （acQ）.试用x, y的解析式来表示耳二朋和rp PF：.【分析】问题是求匕二f（.V）和匕它（0 .先可视-V为参数列岀关于芯和匕的方程 组，然后从中得出和孔.【解答】依题意，有方程组 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document q十勺=2(z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document PF |= ePD |=)=(7 +即同理有 rFapx.X= +对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性” 准线 卍缺乏足义的“客观性因此，把椭圆的第二泄义视作椭圆的一条性质左理更符合

5、逻辑性.【例3】P5 y）是以兀（-6 0），匹（c, 0）为焦点，以距离之和为2&的椭圆a2上任意一点.直线1为X=- C , PD_1交1 Di.求证：I阳11【解答】由椭圆的焦半径公式PF：二Mr:对I冋用距离公式PD 二乂- c2十 r X+【例4】设点PZ兰十疋=1y）适合方程/讣 求证:点Pg y）到两泄点片1111故有【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到泄点A（-C.0）（尺（G0）与泄a2a1直线厶:w- c （厶：“C ）的距离之比为左值e （0el）用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了 从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完 成了任务的一半而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被 许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单，特別是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.（p0）和尺（6 0）的距离之和为2a【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程利用例2导岀的焦 点半径公式，很快可推出结果.【解答】PJ y）到疋（-o,0）的距离设作旷二朋|由椭圆的焦点半径公式可知同理还有+得rt+r2a即PF, + PF：二2乩即Pg y0到两立点尺（-6 0）和乙（gO）的距离之