金融创新的经济效应与最优衍生品设计

1、.金融创新的经济效应与最优衍生品设计：.；PAGE 32金融创新的经济效应与最优衍生品设计王艺明厦门大学1738信箱，361005； HYPERLINK mailto:mikewangpublic.xm.fj mikewangpublic.xm.fj；: 60453354内容摘要：本研讨的目的是建立在低风险与不完备市场的假设下，讨论金融创新对于市场和社会福利的影响，而后从社会规划者的角度，设计一个最优衍生性资产。研讨所得到的结论为：在低风险及无买卖本钱存在的假设下，最优的衍生性资产是其标的资产的报酬中风险项的二次式，如最简单的期权。然而，假设在模型中参与资产的买卖本钱后，上述关于创新的社会福利

2、效应及最优衍生品的结论能否依然成立，那么有待后续的研讨。关键词：金融创新；社会福利；最优衍生品设计JEL Codes: C63, D52, G12作者简介：王艺明，1976，男，汉族，福建厦门人，厦门大学经济学院博士、讲师。论文发表在、和等期刊上。该论文研讨领域为数理经济与计量经济学目录一、绪论二、文献讨论一资产市场平衡分析近似方法二金融创新的经济效应1、Detmeple and Selden19912、Elul19953、Cass and Citanna19984、Schemedders20015、小结三最优衍生品设计三、研讨方法一非奇点时采用的部分近似方法1、泰勒级数近似2、解析函数的隐函

3、数定理二分岔方法三Judd and Guu模型1、低风险small risks假定2、低风险条件下的资产组合需求3、存在单一风险资产条件下的资产市场平衡4、存在单一衍生资产条件下的资产市场平衡四、模型I：存在有限类买卖者一风险容忍度1、传统风险容忍度2、偏态容忍度Skew tolerance3、峰态容忍度Kurtosis tolerance二存在三类买卖者1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计三存在M类买卖者1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计五、模型II：存在有限类风险资产一存在两类风险资产1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计二存在N类风险

4、资产1、创新的金融市场效应2、社会福利效应与最优衍生品设计六、模型III：存在买卖本钱的情况1、创新的金融市场效应2、社会福利效应3、一个数值例七、结论参考文献一、绪论 普通而言，金融创新包含两种含义，一种是买卖系统的革新，另一种是将新的资产引进市场。而本文所研讨的金融创新是指第二种解释，我们假设新引进的资产的报酬可以分解为两部分，一部分在已有资产的跨度空间spanning之内，另一部分那么包含描画创新的随机项，由此我们可以运用定价公式如CAPM或CPFLuenberger, 2002来为其定价。现有文献的研讨结论通常以为，金融创新的社会福利效应是不确定的uncertain。Hart1975对

5、该问题的讨论指出，“假设一个经济体中包含超越一种产品，或继续超越两个阶段，那么其平衡通常不是帕累托最优的，普通的延续性和凸性假设下的平衡能够不存在。不存在的缘由是，当市场不完备incomplete时，消费者预算函数通常不是上半延续的upper semi-continuous更进一步，该不延续导致消费者需求函数的不延续。他研讨得到的结论是，“假设我们从市场不完备开场，开放新市场能够使情况恶化而不是好转。只需当一切的不完美imperfection消除后即一切的市场均开放，我们才干确信可获得任何整体成效的提升。 Elul1995在其文献述评中指出，当市场不完备时，分析金融创新遇到的困难在于，“引进新

6、资产通常对经济产生一个不延续的，而不是平滑smooth和可微infinitesimal的变化。这是由于，不能够仅参与少量该资产，一旦引进某资产，经济主体即可恣意买入或卖空该资产。他提出一个可行方法以处理该问题，经过该方法，我们仅需求调查这么一些资产，当它们被引入平衡的经济体时，没有经济主体情愿买入或卖出该资产。Cass and Citanna1998提出分析不完备市场中金融创新的社会福利效应的另一种方法，所得到的结论是，新资产的引进可以使个体的福利添加或减少，而且给出了在普通平衡模型中，对金融构造的某些创新可以提高福利程度的条件。上述研讨的结论似乎有悖于经济常理。由于不完备市场平衡通常是次优的

7、suboptimal，而金融创新使金融资产的跨度空间spanning扩展了，使经济主体agent可获得更多的工具运用于风险管理，理应可以提高经济体中每个人的成效。该观念为一些证券监管部门所接受，如美国证券买卖委员会S.E.C.允许任何公司发行股票，但前提是必需完全公开其财务情况。相反的，美国商品买卖管理委员会CFTC那么会思索更多问题，除了信息披露的透明度外，还要思索引进新的期货合约对现货价钱的影响等。该问题的复杂性就在于，过去用于金融创新建模的单商品世界one-commodity world模型无法捕捉新资产与旧资产及其他商品间存在的间接效应。而且金融资产市场的准确平衡分析是学界没有完全处理

8、的问题，只需在少数情况下，我们才干求解出资产的平衡价钱和买卖量，这添加了该问题研讨的难度。近期该领域研讨的一个进展是Schemedders2001，他给出了具有三种证券和买卖本钱的两阶段模型的计算方法，对于金融创新的福利效应，在一些数值的例子中得到与传统观念相悖的结论，即个体能够获利或损失，但整体福利效应为正向。然而，Schemedders2001模型有一定局限性，仅适用于特定问题。近期关于金融市场平衡分析的一个重要进展是Judd and Guu2001的研讨。他们运用分岔bifurcation方法计算资产需求和资产市场平衡的泰勒级数近似Taylor series approximation，

9、也即，得到低风险条件下完备和不完备资产市场平衡的近似解。Judd and Guu2001的方法较传统的或有形状方法contingent state approach更为实践和直观，特别是对不完备市场平衡的求解与完备市场一样，较为简单、迅速。关于金融创新的社会福利效应，Judd and Guu研讨以为，在低风险假定下，假设金融系统中有两类经济主体和两种资产债券和股票，引入新衍生品后个体能够获利或损失，但整体福利效应为正向。Judd and Guu的结论与Schemedders类似，都与传统观念相悖。本研讨旨在对Jadd and Guu模型作更进一步的讨论与扩展，在模型中引入更多金融资产和买卖者，

10、并将买卖本钱引入他们的模型中，研讨金融创新对市场和社会福利的影响，而后从社会规划者social planner的角度，设计一个最优衍生性金融资产。 在本文的第二部分，我们讨论资产市场的平衡分析、金融创新的社会福利效应和最优衍生品设计的相关文献。在第三部分，引见所采用的主要数学工具泰勒定理、隐函数定理和分岔方法，及Judd and Guu模型的根本数学思绪。在第四、五部分，我们将Judd and Guu基准模型普通化，引入更多买卖者和更多风险资产，得到普通化的公式，分析金融创新的市场效应和福利效应，并进展最优证券设计。在第六部分，我们调查包含资产买卖本钱的模型，分析其如何影响买卖者的投资决策。最

11、后是结论。二、文献讨论 本文主要讨论与本研讨相关的资产市场平衡分析、金融创新的经济效应和最优衍生品设计等三方面的文献。一资产市场平衡分析近似方法 金融资产市场的准确平衡分析是学界没有完全处理的问题，只需在少数情况下，我们才干求解出资产的平衡价钱和买卖量。许多研讨假设市场是完备的complete，也即平衡是有效率的，符合某些社会规划者social planner的规划。该方法的局限性在于，忽略了资产市场中存在的买卖本钱、税收和不完备性incompleteness。Judd and Guu2001的研讨成果部分地处理了该问题，他们运用分岔bifurcation方法计算金融资产平衡的近似值，且不需求

12、假定资产市场是完备的。其模型运用泰勒Taylor级数近似地表达金融资产的平衡价钱和持有量，自变量为买卖者的偏好参数，如绝对风险厌恶系数等，和资产收益的统计量，如均值、方差和偏度等。运用这些变量可描画低风险条件下平衡的特征。经过高强度代数运算，分岔方法可以通知我们平衡的数量性质，以及得到某些问题的平衡解的数值近似。 所得到的结果实践上是均值方差偏度框架下的资产需求与平衡定价实际，类似于Samuelson1970的资产需求实际。与目前流行的或有形状方法contingent state approach相比，该方法更为直观。目前关于资产市场不完备性的研讨框架偏重于或有形状的数量和资产数量之差。如Ha

13、rt1975、Cass and Citanna1998和Elul1995关于金融创新福利效应的结论就取决于资产缺失的数量和经济主体agent的数量。但要运用这种方式来阐明现实金融市场的不完备程度很困难，由于我们无法确定或有形状的数量，以及存在多少类经济主体。而且，现实上，资产市场不完备对经济行为的影响更多取决于风险的统计特征和投资者偏好的分散化程度，而非形状和经济主体的数量。不同经济主体的数量并不能很好地阐明其分散化的程度。如一经济体中存在100类投资者，但其风险厌恶系数均接近于平均程度；而另一经济体中存在10类投资者，但其风险厌恶系数均显著不同，显然后者的分散化程度高于前者。同样，或有形状的

14、数量也不能很好地描画风险的大小和特征。而Judd and Guu2001的框架及本文的进一步扩展，仅运用资产收益的矩moment和买卖者的成效参数来描写平衡的近似特性。由于资产收益的矩较或有形状的数量更易在现实市场中察看到，因此采用该方法更为实践和直观。 该方法类似于数理经济学中的规范线性化和比较静态方法standard linearization and comparative static method。基于隐函数定理Implicit Function Theorem, IFT的线性化方法是计算非线性关系的线性近似的重要工具。在Judd and Guu2001的框架中，当风险消逝时，一切资

15、产均可完全替代，个体投资者的组合不能确定，即零风险情况下的平衡组合不能确定，因此不能运用IFT。而需求运用分岔实际，该方法是罗必塔LHospital法那么的扩展。而且由于在零风险时偏导数矩阵退化singularity，所以运用该方法需求计算高阶近似，而不仅仅包括常见的一阶项。 分岔方法的特点在于对完备和不完备资产市场均采用一样的处置方式。而采用传统方法时，不完备市场的情况要比完备市场复杂得多参见Magill and Quinzii1996的详细讨论。分岔方法偏重于思索低风险small risk的情况，由于没有对资产的跨度span作假设，因此可运用于求解具有不完备资产市场的经济体的平衡。而这对于

16、传统方法是很困难的，由于此时超额需求函数excess demand function不延续。Brown et al.1996和Schmedders1998给出了资产市场不完备时求解平衡的算法，和他们的方法相比，分岔方法更为简单、直接和迅速。 Judd and Guu2001的研讨给出了该方法的根本数学思绪。本研讨旨在对Jadd and Guu模型作更进一步的扩展与运用，在模型中引入更多金融资产和买卖者，并将买卖本钱引入他们的模型中，研讨金融创新对市场和社会福利的影响，而后从社会规划者social planner的角度，设计一个最优衍生性金融资产。二金融创新的经济效应前文的分析曾经指出，传统观念

17、通常以为，衍生资产的引入对其标的资产的价钱会有影响，而金融创新的社会福利效应是不确定的。现将该领域近年来的重要文献引见如下。1、Detmeple and Selden1991Detmeple and Selden调查了一个不完备金融市场的普通平衡模型，模型中存在一种股票和以该股票为标的资产的看涨期权，由分散的投资者买卖，他们指出，“股票与期权市场存在互动关系，因此，对新资产定价时不能把股票价值视为外生变量。在一个传统的均值方差分析框架中，他们研讨指出，“期权的引进提高了股票的平衡价钱，进而降低了股票收益的动摇。传统的衍生资产评价方式采用套利方法。在完备市场假定下，衍生资产的报答payoff可用

18、已有资产的组合复制。根据无套利假定，衍生资产的价值应该等于其复制组合的价值。也即，标的资产的价钱是外生给定的，与其衍生资产合约无关。而Detmeple and Selden那么证明，在不完备市场中，股票的价钱会遭到其期权的契约特征执行价钱的影响。当新期权以看涨期权为例引入，具有高风险评价high risk assessment的投资者会卖出股票而买入期权，希望从股价的大幅变动中获利，也即，将期权视为股票的替代substitute。相反地，具有低风险评价low risk assessment的投资者那么将期权视为股票的补充complementary，会买入更多股票而卖出期权。而正由于其低风险评价

19、，第二类投资者对市场构造变动的反响更为剧烈。因此从整体上看，股票需求会添加，股票价钱会上涨，股票收益的动摇会降低。本研讨运用资产市场平衡的近似方法，从投资者风险偏好的角度重新调查新衍生品的市场效应，得到不同的结论。2、Elul1995 Elul的研讨以为，在一个有超越一种消费商品consumption good，且有足够多的未保险的自然形状uninsured states of nature的经济体中，经过引入适当的新资产，可以实现对任何普通平衡点的成效程度的恣意影响，甚至可以使得一切经济主体的成效均恶化。运用该模型可以解释Hart1975所举的关于渣滓债券junk bonds的例子。其结论与

20、关于创新的经济直觉相悖，即创新使经济主体获得更多的财务时机，理应提高其成效程度。 已有研讨发现，衍生资产会影响其标的资产的价钱，这是美国制止洋葱onions期货合约买卖的缘由。而Elul更进一步指出，在普通平衡模型中，金融创新的效应会溢至看似与新资产无关的市场，一个典型的例子就是渣滓债券。从一些经济景象中可以发现，这种债券的引入在某些方面对经济似乎是有害的，它使就业和劳动力价钱的动摇增大，甚至是与发行者不直接相关的行业。对于无法分散化的经济主体，其人力资本human capital相关风险会增大。然而渣滓债券并非全无经济功能。Elul那么证明，几乎对于任何经济，只需其满足资产、经济主体agen

21、ts、消费商品和形状states数量的一定条件，就可以找到一种证券，引入后会使的新平衡帕累托劣于Pareto-inferior旧平衡；也可以找到一种证券，引入后会使一切经济主体的成效均提高。 将Elul模型与Judd and Guu模型相比较，我们可以发现，在分析创新的福利效应时，前者必需思索或有形状数量与资产、经济主体、消费商品数量间的关系，而正如前文所指出的，要用这些变量来阐明现实金融市场的不完备程度很困难。由于我们无法确定或有形状的数量，以及存在多少类经济主体。而后者仅运用资产收益的矩和买卖者的成效参数来描写平衡的近似特性，因此更为实践和直观。另一方面，Elul证明，创新的福利效应与资产

22、、经济主体数量相关，特别是金融创新效应会从资产市场外溢至其他市场，而Judd and Guu模型仅思索资产市场的平衡，因此对Judd and Guu模型作进一步扩展，思索多类买卖者、风险资产的情况，特别是资产市场和其他市场的同时平衡很有必要。3、Cass and Citanna1998 Cass and Citanna提出分析不完备市场中，金融创新的社会福利效应的另一种方法。其模型建立了以下金融市场环境，用表示形状的数量，表示资产的数量，表示家庭households的数量，而市场不完备的程度显著大于家庭部门的异质heterogeneity化程度，即。他们证明，存在一个资产的集合，将其引入后会使

23、每个家庭的福利程度均提高；同时存在另一个资产集合，将其引入后会使每个家庭的福利程度均降低。 他们的模型需求对市场不完备的程度做假设，由于独立政策工具independent policy instruments的数量应该至少等于规划者要实现的目的的数量。同时，假设要改动资产市场的配置configuration，所需求的独立工具的数量至少应该等于形状数和现存资产数之差。由于新资产的选择对资产市场配置的改动，满足套利定价和市场出清条件，同时扩展了由现有资产所构成的跨度空间。而该空间的维度dimension由形状数和现存资产数之差决议。Cass and Citanna模型限定市场不完备的程度主要基于技

24、术方面的思索，使问题更易于处置。他们的研讨结论是，任何可以实现帕累托改良的创新的先决条件是市场不完备程度与经济的内在异质化程度degree of inherent heterogeneity间的关系，而后者用存在的多少类家庭types of households来表示。 Cass and Citanna指出，衡量经济的异质化程度应该是经济体中存在多少类types家庭，而不是家庭的数量。能够存在大量的家庭，但是属于同一类或接近同一类的。Cass and Citanna模型和其他或有形状模型的缺陷就在于，其金融创新福利效应的结论取决于资产缺失的数量和经济主体agent的数量。但要运用这种方式来阐明

25、现实金融市场的不完备程度很困难。现实上，资产市场不完备对经济行为的影响更多取决于风险的统计特征和投资者偏好的分散化程度，而这正是本文所采用方法的优势。4、Schemedders2001 Schemedders的研讨运用存在买卖费用的不完备证券市场普通平衡模型，分析买卖所entrepreneurial exchange owner的内生资产创新行为。假设一个垄断性的造市商可以在市场中引入新期权，并向买卖该期权的投资者按比例收取买卖费用。造市商的目的是选择该证券及其买卖费用，以使其收入最大化。运用Duffie and Rahi1995证券创新的两阶段模型，Schemedders的研讨分为两步，第一

26、步，计算具有三种证券和买卖本钱的两阶段模型的平衡；第二步，引入垄断性的造市商。造市商选择期权的执行价和买卖费用，以使其收入最大化。经过求解模型，可以得到做市商的期权报答payoffs，由其执行价决议和买卖费用收入的最优组合。Schemedders调查了经济主体的两种买卖动机，一是经济主体间有一样的判别homogeneous belief和不同的风险偏好heterogeneous levels of risk aversion而产生的风险分担risk sharing动机，即较为厌恶风险的投资者会同时卖出股票和看涨期权，而买入债券；二是主体间有一样的风险偏好identical levels of

27、risk aversion和不同的判别heterogeneous belief而产生的投资组合再调整re-balancing动机，即高风险评价high risk assessment的投资者会卖出股票，而同时买入债券和期权。研讨发现，收入最大化的期权总是会使标的证券的价钱下跌；与风险偏好的差别想比，投资者不同的判别会显著增大期权的买卖量。 Schemedders模型只给出数值例，而无法得到解析解。其出发点与传统的或有形状模型和Judd and Guu模型均显著不同，是从期权买卖所或做市商的角度分析确定收入最大化期权及其买卖费用，进而分析期权引入的价钱和福利效应。其方法的缺陷是难以得到模型的解析

28、解，而只能运用于分析数值例。5、小结关于金融创新的经济效应，我们重点讨论了四篇文献。其中Elul1995和Cass and Citanna1998主要运用或有形状方法讨论金融创新的社会福利效应。他们研讨以为，金融创新的社会福利效应与或有形状数量、资产数量和经济主体数量相关，特别是会从资产市场外溢至其他市场，能够使每个主体的成效均提高，也能够使每个主体的成效均降低。因此设计适宜的衍生证券是监管机构应着重关注的问题。Detmeple and Selden1991研讨了金融创新的市场效应，发如今不完备市场中，股票的价钱会遭到其期权的契约特征执行价钱的影响。Schemedders2001是从期权买卖所

29、或做市商的角度分析确定收入最大化期权及其买卖费用，进而分析期权引入的价钱和福利效应，其结论与前面的文献有较大分歧。经过与上述研讨的比较，我们可以发现Judd and Guu2001模型的优优势，及进一步扩展的方向。三最优衍生品设计关于最优证券设计偏重于处理以下问题，如何在不同的自然形状states of nature间配置证券的报答payoff，以使发行者的收入最大化。传统研讨较少涉及该问题，资本构造和普通平衡实际的文献通常将公司证券发行视为外生的。只需少数从不对称信息角度出发的文献，如Duffie and Jackson1980和Silber1981关于期货合约设计的研讨，及Williams

30、1986关于公司证券最优合约的研讨。而Allen and Gale1988和上文引见的Schemedders2001的研讨那么采用新的方法，经过引入证券发行的买卖费用，建立不完备市场模型，证券发行者经过证券设计和选择买卖费用使其收入最大化。在该模型中，市场构造是内生的。Allen and Gale1988提出关于最优证券设计的实际，目的是使发行者的利润最大化。他们引入证券发行的买卖本钱，开展了一个证券发行由外生决议的模型。最终结论为：证明了平衡的存在性和相对有效性constrained efficiency；假设平衡时证券数量超越形状states的数量，即市场是不完备的，无法实现完美风险分担f

31、irst-best risk sharing，平衡时证券数量的上界是，其中是不同类公司的数量，是不同类消费者的数量；得到与Modigliani and Miller1958不同的结论，存在买卖费用情况下，公司的价值与其财务构造相关；“在相对普通的条件下，债券和股票不是最优证券；“买卖动机来源于赋禀和风险偏好的差别；假设卖空无本钱，那么不存在平衡；假设卖空的本钱较低，那么平衡存在与否取决于证券的发行本钱。Schemedders2001的研讨在上一部分已有论述，这里不再赘述。Judd and Guu2001及本文的扩展从另一角度研讨最优证券设计的问题。假设金融创新的社会福利效应为正，那么从社会规划

32、者的角度，就可以找到一种新衍生品，引入该证券后，将使社会福利的提高最大化。与Allen and Gale1988和Schemedders2001的假设相比，Judd and Guu2001及本文所做的假设，更符合证券监管部门所面对的情况，即是以社会福利程度的提升为目的，而不是以买卖所的收入最大化为目的。三、研讨方法一非奇点时采用的部分近似方法部分近似方法local approximation method的根底是微积分中的一些根本定理，通常包括泰勒定理和隐函数定理。1、泰勒级数近似最根本的部分近似方法就是运用泰勒定理Taylors theorem。多元函数的泰勒定理Taylors Theore

33、m for 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。：且是的内点，假设在的某开领域内延续，且有直至阶的延续偏导数。那么对于一切的 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。基于点的泰勒级数近似，是运用点导数构造的多项式。该近似在点附近表现良好。当偏离时，近似的准确性衰减。在点的较大领域内，我们可运用有限阶泰勒级数得到很好的近似。当时，“是的阶近似可表示为：该式阐明，逼近的误差的上界是，其中是恣意大于0的常数。因此对于任何接近的，近似函数很接近。上述的泰勒级数即为原函数在点非奇特的阶近似，由于其误差项为。2、解析函数的隐函数定理我们分析所采用的另一个工具是解析函数a

34、nalytic function的隐函数定理Implicit Function Theorem, IFT。隐函数定理IFT 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。：假设在有无穷阶偏导，且。假设非奇特nonsingular，那么存在独一的函数，在有无穷阶偏导，且对于某开领域中的，有。在的偏导可以经过的隐微分implicit differentiation计算得到。 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。IFT阐明，假设非奇特，我们可以经过计算在的偏导数。如在的梯度gradient为结合泰勒定理和隐函数定理IFT，我们可以得到由隐函数定义的在附近的部分多项式近似

35、。二分岔方法运用上文的隐函数定理，前提条件是非奇特，而Judd and Guu2001的资产市场分析方法需求计算的隐函数近似，并不满足该条件。处理的方法是运用分岔方法。我们首先给出普通定理，然后再运用于处理一些资产市场问题。假设有二阶偏导，且由隐函数定义。显然，对于不同的，我们可以经过求解得到对应的值。接着我们定义分岔点bifurcation point。分岔点bifurcation point 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。：是的分岔点当且仅当，经过时，的解的数量会发生变化，并存在两条不同的参数途径，有且，。 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。

36、分岔点的一个简单例子是，函数上的点。假设，那么有独一解；假设，那么恣意均为的解。因此当经过时，“的解的数量会发生变化，是一个分岔点，的两个解是和。在点上，不能对直接运用隐函数定理，由于此时的雅可比行列式Jacobian是奇特的。假设我们偏重调查的情况，而不是、取恣意值的情况，由于我们希望了解如何随变动而变动。此时可运用分岔方法，一元函数的情况如下：一元函数的分岔定理Bifurcation Theorem for 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。：假设函数在的某领域内有无穷阶偏导，且对于一切的有。假设 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。, 那么是一个

37、分岔点，且存在的某个开领域和函数，有无穷阶偏导，时，当时。根据Zeidler1986的方法，假设假设那么和可以定义为运用上述定理就可以处理的问题。对一切的有，而。经过上述公式可以计算得到，而更高阶导数为0。虽然该例看似简单，但实践上Judd and Guu2001和本文所要处理的问题与此类似。该框架还可以扩展到多元函数的情况。多元函数的分岔定理Bifurcation Theorem for 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。：假设在附近有无穷阶偏导，且对于一切的有。假设 引自Judd and Guu2001，参见文末数学附录。 那么存在的某个开领域和函数，有无穷阶偏导，时

38、，当时。分岔定理阐明函数有无穷阶偏导，可以运用多元泰勒级数逼近。其一阶导数定义为上文给出的分岔定理假设为0矩阵，实践上有的扩展定理假设是奇特的。在本文的研讨中，仅需求运用上文给出的根本定理，而不用思索更复杂的情况。三Judd and Guu模型为便于后文的进一步分析，我们首先简要引见Judd and Guu模型的根本框架和结论，包括模型的低风险假定、低风险条件下的资产组合需求、存在单一风险资产条件下的资产市场平衡、存在单一衍生资产条件下的资产市场平衡等几个部分。1、低风险small risks假定Judd and Guu模型的最关键假定就是低风险假定，这并不是指资产市场中的实践风险很小，而是基

39、于以下三方面的理由：首先，Judd and Guu两阶段模型中的时间段是指两次买卖之间的时间段。由于目前的资产市场通常流动性好而且买卖本钱低，因此可以合理地假定买卖之间所产生的风险较小。其次，低风险假定下的结论能够具有普通意义。例如，近似结果可以为某些实际假说提供反例；模型的普通结论在低风险条件下成立。最后，采用低风险假设可以防止对投资者偏好和证券收益作假设。Judd and Guu研讨中所得到的关于资产配置和福利效应的普通化公式，仅依赖于资产收益的矩moments和投资者的成效函数。该假定也给出了进一步研讨的方向，如开展动态模型，以检验低风险条件下静态分析所得到的结论的可靠性；调查高风险假定

40、下的情况，以检验所得到的结论的稳健性robust。2、低风险条件下的资产组合需求假设投资者的总财富为。而市场上存在两种金融资产，无风险资产债券和风险资产股票。1单位货币的债券投资的报答是1单位货币，即假定无风险收益为市场的基准收益。1单位货币的股票投资的报答是。假设投资者持有的股票份额为，那么其期终财富为。假设投资者选择以使其成效最大化，其中为凹成效函数。Judd and Guu证明，时为风险容忍度risk tolerance和单位方差的风险溢酬risk premium的乘积。关于风险容忍度、偏态容忍度Skew tolerance和峰态容忍度Kurtosis tolerance的详细定义在后文

41、给出。还可以进一步计算低风险条件下，即接近0时值的泰勒序列近似其中是时的值。经过计算、和更高阶的导数，可以得到的近似值。假设市场中存在多种风险资产，求解风险资产需求的近似值时需求运用多元函数的分岔定理。3、存在单一风险资产条件下的资产市场平衡接着Judd and Guu将低风险条件下资产组合需求的结论运用于平衡分析。其模型为两阶段的纯交换模型，经济主体在0期买卖资产，而在1期消费资产。市场中存在两种金融资产，无风险资产债券和风险资产股票。Judd and Guu称该经济系统为经济系统。与前一部分不同的是，还需参与买卖者的预算约束条件和市场出清market clearing条件。根据买卖者目的函

42、数成效函数最优化的一阶条件，可以得到一组方程，对其运用多元函数的分岔定理，可以求解平衡时的股票投资份额和股票买卖价钱的近似值。实践要得到的是风险的价钱而不是股票的价钱，因此模型将股票价钱定义为，其中为经济系统中的风险溢酬。运用分岔方法得到和，进而可以计算和的一阶近似，即和当足够小时，上式可以通知我们和的根本特征。4、存在单一衍生资产条件下的资产市场平衡在上述模型中进一步引入新衍生性资产，扩展资产市场的跨度空间。假设经济系统中衍生品的报答为，价钱为。可分解为两部分，一部分在股票和债券的跨度空间内，另一部分与股票和债券正交，即，其中是的均值，是与的协方差，是股票报答中的风险项，而非零随机变量代表中

43、的创新部分。用表示买卖后衍生品的持有量。对股票价钱的假设与上一部分一样，而衍生品的价钱假设为。与上一部分类似，运用多元函数的分岔定理，可以求解平衡时的、和值及更高阶的导数，进而得到、和的泰勒级数近似。Judd and Guu2001的研讨给出了低风险假定下求解资产市场平衡的近似方法。本研讨将其模型普通化，调查市场中存在有限类风险资产和买卖者，和存在买卖费用时的情况，并进一步讨论金融创新的市场和社会福利效应，及最优衍生品设计。四、模型I：存在有限类买卖者 Elul1995和Cass and Citanna1998的研讨以为，金融创新的福利效应受市场中买卖者家庭的数量的影响。因此我们首先调查买卖者

44、数量对金融创新的经济效应的影响，经过在Judd and Guu模型中引入更多的有限类，或M类买卖者，而不仅是两类买卖者，进展金融创新的市场效应和社会福利效应的分析，并进展最优证券设计。为便于分析，先引见由Judd and Guu所定义的一些代表买卖者偏好的成效参数。一风险容忍度Risk tolerance1、传统风险容忍度 1 传统风险容忍度通常被经济学家运用于描画买卖者的风险厌恶程度。2、偏态容忍度Skew tolerance 2偏态容忍度包含传统风险容忍度和谨慎度prudence以衡量预防性储蓄动机precautionary saving motive的强度。在Judd and Guu及本

45、文的研讨中，偏态容忍度被运用于描画一些重要结论。由于传统经济实际中没有对的正负性做假设，所以偏态容忍度的符号也不确定。但在本研讨中我们假设参考经济研讨中常用的CRRA类成效函数的定义，因此偏态容忍度也为正 对谨慎度prudence的详细讨论，可参考Kimball 对谨慎度prudence的详细讨论，可参考Kimball1990。3、峰态容忍度Kurtosis tolerance 3峰态容忍度用于描画买卖者面对高阶衍生品时，其成效函数的行为。二存在三类买卖者我们首先讨论市场存在三类买卖者的情况，到下一部分再扩展至M类买卖者的情况。整个模型可以描画为：思索一个两阶段和低风险small-risk的模

46、型，模型中包含三类买卖者和一个金融市场，在时 模型中两阶段之间的时间是指两次买卖之间的时间。，市场中有债券和一种风险资产。用和分别表示类投资者在时所持有的债券和风险资产份额，。假设将一衍生资产引入模型，并假设已获得投资者的认可，我们用表示类买卖者在买卖后所持有的衍生资产的份额，那么在时，其总资产为： 模型中两阶段之间的时间是指两次买卖之间的时间。 4上式中各变量的定义为：是债券在时的报酬payoff 这里的报酬不是单指债券的利息，而是包括本金和利息。，用于描画整个金融构造的风险 当时，整个金融环境是确定性的。；和是具有限阶矩的随机变量，分别用于描画风险资产和衍生资产报酬的不确定性，风险资产和衍

47、生资产的报酬分别为和。不失普通性，我们假设，并且。 这里的报酬不是单指债券的利息，而是包括本金和利息。 当时，整个金融环境是确定性的。我们将分解为两部分，一部分可以由债券和风险资产的跨度得到，另一部分和现有资产正交，即： 5其中是和之间的协方差，是表达金融创新的随机变量。同样的，不失普通性，我们假设。因此，类买卖者面临的预算约束为： 6其中和分别表示风险资产和衍生资产的价钱，买卖者试图使其在时的期望成效最大化，其中是凹的concave 这里我们假定买卖者均为风险厌恶，防止选择角点解corner solutions。 这里我们假定买卖者均为风险厌恶，防止选择角点解corner solutions

48、。值得留意的是，上述设定阐明，当时债券与股票的报酬一样，也就是说，当面临无风险的金融环境时，买卖者的两种资产组合可以相互交换。从而我们不能直接运用隐函数定理implicit function theorem，由于隐函数的偏导矩阵是退化的singularity。这就是为什么我们需求运用分岔方法bifurcation method而不是隐函数定理 在附录I中我们简要引见隐函数定理和分岔定理。如前文所述， 在附录I中我们简要引见隐函数定理和分岔定理。分别对和取偏微分，我们就得到平衡的六个必要条件： 7 8我们需求在的某邻域内求解类买卖者的投资组合问题，而无套利条件为和。由于在上述必要条件中，我们分别

49、对和取偏微分时，所得到的矩阵能够是退化的，因此不能运用隐函数定理，除非和满足在的某邻域内可微，即： 9 10其中是的邻域。基于前文的分析，我们可以合理地假定： 11 12其中和分别代表风险资产和衍生资产的价钱溢酬。上两式与Judd and Guu2001的设定类似。平衡的充分条件为 即 即“市场出清条件market-clearing conditions。 13 14是由买卖者所持有的股票总额。在求解时我们假设，即以债券收益为模型的基准收益，或以债券为计价单位。附录I 由于附录较长，在所提交的文档中并未给出，有兴趣的读者可以向本文作者索取。给出了分岔点的求解过程，由于代数运算强度大，因此必需采

50、用符号运算软件Mathematica辅助运算。运用分岔方法，我们可以计算得到平衡值，： 由于附录较长，在所提交的文档中并未给出，有兴趣的读者可以向本文作者索取。 15上述结果阐明，在分岔点上，股票的风险溢酬等于社会风险容忍度的倒数乘以总的股票禀赋；第1类买卖者所持有的股票份额，等于其风险容忍度占社会风险容忍度的份额；衍生性资产的风险溢酬等于股票的风险溢酬乘以股票与衍生资产间的协方差。值得留意的结果是，衍生资产持有份额的近似值为0。这并不是指对衍生资产的需求为0，而是指该需求低于0阶。要计算更高阶的近似才干得到对衍生资产的需求。根据附录I的进一步演算，可以得到运用于计算一阶近似的平衡值为；运用于

51、计算二阶近似的平衡值为；运用于计算其他高阶近似的平衡值也可以按照类似方法计算出来。1、创新的金融市场效应我们进一步调查金融创新如何影响投资者的投资决策和总福利程度。首先我们思索谁是衍生性资产的需求者，显然一些避险者会购买衍生品，作为风险资产的补充，而衍生品的出卖者那么将其作为风险资产的替代品。对上述实际的详细分析在下文给出：运用上述关于偏导数的计算结果，给出关于的泰勒级数展开，我们可以得到 16由于,对上述结果的一个解释是，假设 例如，期权的价钱与其标的资产的动摇率相关。，当第类买卖者的偏态容忍度大于其他买卖者时，会将衍生性资产视为其标的资产的补充；当其偏态容忍度小于其他买卖者时，会将衍生性资

52、产视为其标的资产的替代品。 例如，期权的价钱与其标的资产的动摇率相关。假设，那么需求计算二阶偏导以决议哪类买卖者会购买衍生资产。普通情况下，金融机构不会引入无一阶买卖量的衍生资产，因此本文只研讨的情况。与上述分析类似，我们也可以区分谁会是风险资产的购买者和出卖者。 17给定和，当第类买卖者的偏态容忍度大于其他买卖者时，其风险资产持有的调整是正向的，反之亦然。从上式还可以发现，当且仅当和负相关时，买卖者会同时购买风险资产和衍生性资产。例如，买卖者会同时购买股票和看跌期权以躲避风险。我们还可得到期权的定价公式。 18由上式，衍生性资产的价值不仅包括其预期报酬的均值，还包括风险溢酬项。最后，我们调查

53、创新对其标的资产价钱的影响效应，即引入衍生性资产对股票价钱和成交量的影响。风险资产的价钱变化可表示为： 19由上式，当时，金融创新会使其标的资产的价钱上涨。假设衍生品和股票的尾部tail的相关程度越高，投资者偏态容忍度的分散化程度越高，那么股票价钱上涨越多。2、社会福利效应与最优衍生品设计经济学者经常讨论的一个问题是金融创新发生时社会福利效应的变化。用和分别表示第类投资者在创新前后的最优成效程度，那么其福利的变化可表示为，即衡量福利效应的相对变化。社会福利通常可表示为每个买卖者福利的相对变化之和，即 20一些学者，如Hart and Elul，以为当金融市场的构造不完备时，开放新市场能够会使每

54、个买卖者的福利恶化。然而，上述结果却显示，引进衍生性资产时社会福利的变化为非负，对该问题还可作进一步讨论。在上述研讨根底上，我们还可进一步讨论如何设计最优衍生性资产。最优衍生品设计旨在使社会福利的变动最大化。也即我们要寻觅一个值使最大化，同时满足、和。运用Lagrange方法将问题转换为：其中为Lagrange乘子。其一阶条件为：或由于我们希望引入的衍生品与已有资产正交 以提高经济环境和金融市场的完备性。，这可经过将其设为随机变量的二次式而得到。因此可以以为最优衍生性资产是其标的资产的报酬中风险项的二次式，即： 以提高经济环境和金融市场的完备性。 21其中、和是常数，且。三存在M类买卖者与三类

55、买卖者的模型相类似，上述结果可以推行至有限类买卖者的情形。存在M类买卖者的普通化公式可以表示如下。平衡值为 22从而可以得到运用于计算一阶衍生品的平衡值；以及运用于计算二阶衍生品的平衡值等。1、创新的金融市场效应首先，对衍生性资产需求的普通公式为 23普通而言，假设，且对于一切的有，那么第类买卖者将衍生性资产视为其标的资产的补充；反之，假设对一切的有，那么第类投资者将衍生性资产视为其标的资产的替代品。其次，第类买卖者所持有的风险资产份额的变动为 24给定，假设对于一切的，有成立，那么第类买卖者将买入风险资产；假设对于一切的，有成立，那么第类买卖者将卖出风险资产。一个买卖者将同时买入风险资产和衍

56、生性资产，当且仅当和负相关，并且该结论与模型中的买卖者数量无关。第三，模型中存在M类买卖者时，衍生性资产的价钱为 25该结果阐明衍生性资产的价钱会低于其期望报酬，除非金融环境是确定性的。在模型中参与更多类买卖者会使衍生性资产的风险溢酬减少。最后，标的资产的价钱变动为 26从上式中可知，给定，当创新出现时，标的风险资产的价钱将上升。而模型中引入更多买卖者将使风险资产的价钱上升更多。2、社会福利效应与最优衍生品设计衍生性资产引入后社会福利的变化可表示为 27由上式，衍生性资产的引入会使总福利程度上升，无论模型中有多少类买卖者。在此根底上我们可以进一步设计最优衍生品。上一部分关于最优衍生品设计的推导

57、在这里依然成立，即最优衍生性资产为其风险项的二次式，而该风险项是其标的资产的报酬 28其中、和是常数，且。五、模型II：存在有限类风险资产Elul1995和Cass and Citanna1998的研讨以为，金融创新的福利效应受资产市场中证券数量的影响。因此我们在本部分调查市场中证券的数量对金融创新的经济效应的影响，经过在Judd and Guu模型中引入更多的有限类，或M类风险资产，而不仅是单一风险资产，重新求解模型，进展金融创新的市场效应和社会福利效应的分析，并进展最优证券设计。一存在两类风险资产我们调查市场中存在两类风险资产的情况。思索一个两阶段和低风险small-risk的模型，模型中

58、包含两类买卖者和一个金融市场，0时辰市场中存在债券和两类风险资产。用和分别表示时辰类买卖者所持有的债券和风险资产，。当引入衍生性资产并进展买卖后，用表示类投资者所持有的衍生品份额，那么其期终财富为 291时辰债券的报酬为。持有类风险资产在1时辰的报酬为，。持有衍生性证券在1时辰的报酬为。同样地，不失普通性，我们假设。可以表示为三部分，由债券、风险资产跨度得到的部分，以及与现有资产正交的部分，即 30其中是和之间的协方差，是表达金融创新的随机变量。同样地，不失普通性，我们假设。类买卖者所面临的预算约束为 31其中，和分别表示风险资产和衍生性资产的价钱。该买卖者试图最大化其期望成效，其中是凹的co

59、ncave。根据前文的分析，我们可以把价钱设定为 32 33 34其中和分别表示类风险资产与衍生性资产的价钱溢酬。上述设定与Judd and Guu的设定根本类似。市场出清条件为 35我们可以得到以下平衡值 36进而可以得到计算更高阶近似的偏导数表达式，详细求解过程可参见附录II 由于附录较长，在所提交的文档中并未给出，有兴趣的读者可以向本文作者索取。 由于附录较长，在所提交的文档中并未给出，有兴趣的读者可以向本文作者索取。1、创新的金融市场效应由于衍生性证券的买卖量的表达式过于复杂，因此我们仅给出普通化0情况下的结果。类买卖者所持有的衍生性资产为 37由上式，假设与、和正相关，当一个买卖者的

60、偏态容忍度大于其他买卖者时，将会买入衍生性资产。第1类买卖者所持有的第1类风险资产的变动为 38由上式，假设与负相关，和正相关，当第1类投资者的偏态容忍度大于其他买卖者时，将会买入第1类风险资产。也即当衍生资产和其标的资产负相关时，该买卖者将同时买入风险资产和衍生性资产。本文的前一部分曾经证明，该结论与模型中的买卖者数量无关。第三，衍生性资产的价钱为 39上式阐明衍生性资产的价钱不仅取决于其报酬的均值，而且与衍生性资产及其标的资产间的相关性有关，满足均方差实际。最后，假设我们令0以简化运算，标的资产的价钱变动可以表示为 40假设，当金融创新产生时，风险资产的价钱会上升。2、社会福利效应与最优衍