(播放版)第7章一阶电路和二阶电路的时域分析(总)解析课件

1、第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析1.换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的概念和物理意义； 5.会分析简单的二阶电路；6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；7.会用系统法列写简单的状态方程。内容提要与基本要求8/14/20221第1页，共122页。 重点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算 ；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；(5)暂态分量(自由分量)和(稳

2、态分量)强制分量概念；(6)一阶电路的阶跃响应、冲激响应； (7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠 阻尼及临界阻尼的概念及分析；8/14/20222第2页，共122页。难点(1)电路初始条件的概念，除 uC 和 iL 之外各电压、电流初始值的确定；(2)激励源为交流电源；(3)一阶电路和二阶电路的区分，二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。与其它章节的联系 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。8/14/20223第3页，共122

3、页。7-1 动态电路的方程及其初始条件 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状态转换到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定的时间，或者说需要一个过程，在工程上称为过渡过程。如：冰融化成水、汽车的加速与减速等。 引 言 电路中也有过渡过程，电路的过渡过程有时虽然短暂，但在实践中却很重要。8/14/20224第4页，共122页。例：电阻电路SUS+-(t=0)iR1R2R2US过渡期为零0tiR1+R2US含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1. 动态电路 当动态电路状态发生改变时（称之为换路）需要经历一个变化过程才能

4、达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。8/14/20225第5页，共122页。例：电容电路uCiUS+-+-RS(t=0)CuCiUS+-+-RSC(t) S 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态： S未动作前，电路处于稳定状态：i = 0 , uC = US。i = 0 , uC = 0。?有一个过渡期0tuCRUS前一个稳定状态US新的稳定状态t1i新稳定状态等效电路8/14/20226第6页，共122页。例：电感电路uLiUS+-+-RSL(t) S 接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路： S未动作前，电路处于稳定状态：uL = 0 , i

5、 = 0 , uL = 0。有一个过渡期0tiRUS前一个稳定状态US新的稳定状态t1uLuLiUS+-+-RS(t=0)LUSR新稳定状态等效电路i =8/14/20227第7页，共122页。换路的概念电路结构、状态发生变化 电路内部含有储能元件 ( L、C )，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。支路接入或断开电路参数改变产生过渡过程的原因+-1W1W1W10VC+-uC1A+-uS+-10VS1(t=0)S2(t=0.2s)3W2WiL8/14/20228第8页，共122页。2. 动态电路的方程若以电流为变量：+-uS(t0)RiC+-uC以电压为变量，应

6、用KVL和电容元件的VCR得：Ri + uC = uSi = CduCdtRCduCdt+ uC = uSRi + uC = uSuC =1Cidt Rdidt+iC=duSdt例如 RC串联电路。8/14/20229第9页，共122页。再如 RL串联电路。若以电压为变量：以电流为变量，应用KVL和电感元件的VCR得：Ri + uL = uSuL = LdidtLdidt+ Ri = uSRi + uL = uSi =1LuLdt R+-uS(t0)RiL+-uLLuL +duLdt=duSdt 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。有源电阻电路含一

7、个动态元件小结8/14/202210第10页，共122页。再看 RLC串联电路 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。（在75中讨论）+-uS(t0)RiL+-uLC-+uC描述动态电路的电路方程是微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。 电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。 LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = uS应用KVL和元件的VCR得 结论8/14/202211第11页，共122页。 动态电路的分析方法(1) 首先是根据KVL、KCL和VCR建立微分方程，然后是求解微分方程。(2) 分析的方法有：时域分析

8、法，包括经典法、状态变量法、卷积积分、数值法。复频域分析法，包括拉普拉斯变换法、状态变量法、付氏变换。工程中的高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。8/14/202212第12页，共122页。3. 电路的初始条件(1) t = 0+与t = 0- 的概念 0+ ：换路后一瞬间。认为换路在t=0时刻进行。0- ：换路前一瞬间。f(0-) = lim f(t) t0t0f(0+) = lim f(t) t0t00-0tf(t)0+f(0-) = f(0+)f(0-) f(0+) 明确：i(t)及其各阶导数的值。 在动态电路分析中，初始条件为 t=0+时, u(t)、初始条件是得到确定解答的必需条件。

9、8/14/202213第13页，共122页。(2)电容的初始条件当 i()为有限值，此项为0。 结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压(电荷)换路前后保持不变。q(t) =t-i(x) dx=0-i(x) dx+t0-i(x) dx= q(0-) +t0-i(x) dx当 t = 0+ 时q(0+ ) = q(0-) +0+0-i(x) dx所以，在换路瞬间有：q(0+ ) = q(0-)q = C u ，C不变时有：uC(0+ ) = uC(0-)电荷守恒Ci+-uC体现8/14/202214第14页，共122页。(3)电感的初始条件用同样的方法可得：Li+-uL 结论：换路瞬

10、间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。在换路瞬间有：Y (0+ ) = Y (0-)Y =Li ，L不变时有：iL(0+ ) = iL(0-)磁链守恒(4)换路定律！q(0+ ) = q(0-)uC(0+ ) = uC(0-)Y (0+ ) = Y (0-)iL(0+ ) = iL(0-)注意：体现换路定律反映了能量不能跃变。电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。8/14/202215第15页，共122页。(5) 初始值的计算解t=0-时刻等效的电路求电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 由t=0-时刻的电路计算uC(0-)和iL(0-) 。iC(0-

11、)=0，C视为开路。iL(0-)=12A，uC(0-) = 24ViL(0+)= iL(0-)=12AuC(0+) = uC(0-) = 24V由等效电路算出R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViuL(0-)=0，L视为短路。由换路定律8/14/202216第16页，共122页。iC(0+) =48-243= 8AuL(0+) =48-212= 24Vi(0+) = iL(0+) + iC(0+) = 12 + 8 = 20At=0+时刻的等效电路R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uC

12、R33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0+)= iL(0-)=12AuC(0+) = uC(0-) = 24V由 t=0+时刻的等效电路求各电压电流。电感用电流源替代，电容用电压源替代，画出t=0+的等效电路。8/14/202217第17页，共122页。 注意t=0-时刻的等效电路t=0+时刻的等效电路R1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0+) = iL(0-) = 12AuC(0+) = uC(0-) = 24ViC(0+) = 8A iC(0-) uL(0+) = 24V

13、uL(0-) i(0+) = 20A i(0-) R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48Vi8/14/202218第18页，共122页。小结：求初始值的步骤由换路前电路(稳定状态)求uC(0-)和iL(0-)；由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+) ；画0+等效电路；由0+电路求所需各变量的 0+ 值。b. 电容用电压源替代，电感用电流源替代。a. 指换路后的电路。c. 取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同。8/14/202219第19页，共122页。解题指导1：求 iC(

14、0+) , uL(0+)iSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiCiSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiC解：画0-等效电路。iL(0+) = iL(0-) = iSuC(0+) = uC(0-) = RiSuL(0+) = - RiSiC(0+) = iS -RiSRiSiL(0+)=iSS(t=0)+-uLRC+-iCLRiS= 0由0+电路得：画0+等效电路。由换路定律得：8/14/202220第20页，共122页。L+-10W10WiLC+-uC10W20Vt =0-时刻解题指导2：求S闭合瞬间流过它的电流值。解：由0-等效电路得：给出0+等效电路(t=0)+-10W10Wi

15、LLC+-uC10W20VS iL(0-) =2020=1AuC(0-) +-10W10WiL+-10W20V1A+-uL10ViSiCt =0+时刻iS(0+) = 2010- (-1010-1=2AuL(0+) = iL(0+)10 = 10ViC(0+) = -10uC(0+)= -1A= 101= iL(0+) = uC(0+)= 10V)8/14/202221第21页，共122页。 一阶电路的分析方法经典法 列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中进行的分析方法。套用典型电路分析法 记住一些典型电路(RC串联、RL串联、 RC并联、 RL并联等) 的分析结果，在分析非典型

16、电路时可以设法套用。7-2 一阶电路的零输入响应三要素法 只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。含源电阻NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型电路8/14/202222第22页，共122页。零输入响应 换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1. RC 电路的零输入响应SR+-uC(t=0)i+-uRU0i = -CduCdt所以duCdtRC+ uC = 0由VCR得：uR = Ri，SR+-uC(t0+)i+-uRU0由KVL得：-uR + uC = 0uC(0+) = U0p = -RC1特

17、征根特征方程： RCp + 1 = 0通解为 8/14/202223第23页，共122页。uC = A e pt = Ae1RC-t得：uC = U0 et0代入初始值：uC(0+) = uC(0-) =U0SR+-uC(t=0)i+-uRU01RC-ti =RuC=RU0e1RC-t= I0e1RC-t或者由：i = - CduCdt求出。(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明：t0uC , i t2t3t4tI0U0连续函数跃变8/14/202224第24页，共122页。令 = RC，称 为一阶电路的时间常数。(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关； =RC=

18、 欧法 = 欧库伏=欧安秒伏=秒反映电路过渡过程时间的长短。即： 大过渡过程时间长， 的物理含义 大 小电压初值一定：R大(C一定) i=u/R 放电电流小放电时间长。C大(R一定) W=Cu2/2 储能大U0t0uC 小过渡过程时间短。8/14/202225第25页，共122页。注意：t0t2t3t5tU0U0e-1U0e-2U0e-3U0e-5U00.368U00.135U00.05U00.007U0uC =U0et-t ： 是电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。工程上认为，经过 3 5 时间，过渡过程结束。 的几何意义U0t0uC 0.20.40.60.81.02345次切距的

19、长度等于时间常数 以该点的斜率为固定变化率衰减，经过 时间为零值。8/14/202226第26页，共122页。次切距的长度等于时间常数：M at1 Q t2 uC(t1) MQ = PM tan a=uC(t1) - duCdtt=t1 =U0t0uC(t)=U0 et-tU0 et-t1U0 et-t1t1= tt = t2 - t1 任取一点P，通过P点作切线PQ。P 8/14/202227第27页，共122页。(3)能量关系设 uC(0+) = U0则电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：SR+-uC(t0+)i+-uRU021CU02WR =0 Ri2 dt=0 R (U0Re1RC-

20、t )2dt=U0R2(-RC2e2tRC- )0=21CU02电容不断地释放能量，并被电阻吸收，直到全部消耗完毕。8/14/202228第28页，共122页。例1：电路如图，电容原充有24V电压，求S闭合后， 电容电压和各支路电流随时间变化的规律。+-2Wi1S5FuCi2i33W6W+-i15FuC4W解: 这是求一阶RC电路的零输入响应问题。t0有：uC = U0 et01RC-tU0 = 24V，所以：uC = 24 e20-tV t0i1 =4uC= 6 e20-tA分流：i2 =32i1= 4 eAi3 =3i1= 2 eA20-t20-tRC = 45 = 20s回到原电路8/1

21、4/202229第29页，共122页。例2 求：(1)图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i-+-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2解：(1)仍是一阶 RC零输入响应问题C1+C2C1C2C =5+20=520= 4mFt0+-uC+-i4mFuC250kW20V+-u uC(0+) = uC(0-)= -u1(0-) + u2(0-) = 20Vt = RC = 250103410-6 = 1s所以： u= uC = 20 e-t V t0i =250103u=

22、80 e-t mA8/14/202230第30页，共122页。例2 求：(1)图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。u1(t) = u1(0) +t0i(x) dxC11u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i = 80 e-t mAi-+-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2+-uC= 4 +t080 e-tdt51= (20 -16e-t ) Vu2(t) = u2(0) -t0i(x) dxC21= 24 -t080 e-tdt201= (20 + 4e-t ) Vu=20 e-t V t0u1()=

23、20VuC()=u2()-u1()=0，u2()=20V。8/14/202231第31页，共122页。例2 求：(1)图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i = 80 e-t mAi-+-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2+-uCu=20 e-t V t0(2)初始储能W1=21510-642 = 40 mJWc=21Cu2(t) W2=212010-6242 = 5760 mJ最终储能W1 + W2= 5800 mJ=21(5+20)10-6202 = 5000

24、mJW1+W2电阻耗能WR=0 Ri2 dt= 800 mJ8/14/202232第32页，共122页。2. RL电路的零输入响应解之得：i = I0 eL-RSR+-(t=0)R0L12uL+-iU0i(0+) = i(0-) =U0R0didtL+ Ri = 0 (t0)= I0t(t0)uL = - I0 R eL-Rt电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0表明：t0i， uL I0连续函数跃变-I0R8/14/202233第33页，共122页。令 = L/R，称为一阶RL电路时间常数。响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关； 的

25、大小反映了电路过渡过程时间的长短：L大所以 = L/R大，放电慢。 大过渡过程时间长， 小过渡过程时间短。物理含义电流初值iL(0)一定：=亨欧=韦安欧=伏秒安欧= 秒R小 P= Ri2小W=21LiL2 起始能量大 放电过程消耗能量小8/14/202234第34页，共122页。(3)能量关系设 i(0+) = I0则电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：21LI02WR =0 Ri2 dt=0 R (I0 eRL-t )2dt= I0L2Re2RtL- )0=21LI02RLuL+-i2R (-电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。8/14/202235第35页，共122页。例题分析

26、 P144 例7-2试求：t ；i(0+)和i(0-) ；i(t)和uV (t) ；uV (0+)。造成电压表损坏。t =R+RVL=0.189+51030.398=79.6 (ms)i(0-)RU=0.18935=185.2 Ai(t) = 185.2 e-12560t AuV(t) = -RV i(t)uV(0+) = 926 kV ! 实践中，要切断 L 的电流，必须考虑磁场能量的释放问题。解：i(0+) = i(0-) =185.2 AS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V某300kW汽轮发电机励磁回路的电路模型Vt0+= -926 e-12560t kV8/1

27、4/202236第36页，共122页。小结一阶电路的零输入响应由储能元件的初值引起, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数；f(t) = f(0+)et-tRC电路： uC(0+) = uC(0-)RL电路： iL(0+) = iL(0-)衰减快慢取决于时间常数 ；RC电路： = RC，RL电路： = RL一阶电路的零输入响应与初始值成正比，称为零输入线性。同一电路中所有响应具有相同的时间常数；R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。8/14/202237第37页，共122页。回顾数学知识： 非齐次微分方程特解的计算以dydt+ Ay = f(t)为例输入f(t)的形式常数PP0 + P1t

28、(P0可以为0)P0 + P1t + P2t2 Q0 + Q1t + Q2t2 Pe-mt (mA) Qe-mtPe-mt (m=A) Q t e-mtPsinwt (或Pcoswt )特解y*的形式常数QQ0 + Q1t Q1sinwt + Q2 coswt或 Q cos(wt +q )8/14/202238第38页，共122页。7-3 一阶电路的零状态响应零状态响应：在动态元件初值为 0 的状态下，t0 时由电路中外施激励引起的响应。1. RC电路的零状态响应SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi常系数非齐次线性方程解答形式：uC = uC + uC uC(0-) = 0方程：duCd

29、tRC+ uC = US uC 为非齐次方程特解：uC = Q故又称强制分量。这是电路的稳态解，称稳态分量。由于该分量与输入激励的变化规律有关，US8/14/202239第39页，共122页。 uC 为齐次方程通解：US+-(t0+)+-uCRC+-uRi解答形式：uC = uC + uC 方程：特解：uC =USuC =A e1RC-t随着时间的推移，将消失，故称暂态分量。由于其变化规律只与电路结构和参数有关，故又称自由分量。零输入也是这一规律。全解：uC = US + A e1RC-t由初始条件 uC (0+) = 0得： A = - USuC = US - US e1RC-t = US

30、(1- e )1RC-t(t0)duCdtRC+ uC = USi = CduCdt =USRe1RC-t08/14/202240第40页，共122页。US+-(t0+)+-uCRC+-uRi表明uC = US (1- e )1RC-t(t0)i =USRe1RC-t电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量) 电容电压由两部分构成：uC 连续函数uC tuC 0USuC跃变t0iR-USRUS8/14/202241第41页，共122页。电源提供的能量：电阻吸收的能量：W = 0US i(t) dt=USq = CUS2WR = 0i2(t)R d

31、t=21CUS2t =RC结果表明：电源提供的能量一半转换为电场能量存储于C 中，另一半在充电过程中消耗在 R上。不论RC的值是多少，充电效率总是50%。US+-(t0+)+-uCRC+-uRi响应变化的快慢，由时间常数 = RC 决定； 大充电慢， 小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系电容存储的能量：WC =21CUS28/14/202242第42页，共122页。 = 0.2 e-200t A例：t=0时，开关S闭合，已知 uC(0-)=0，求(1)电容电压和电流；(2) uC=80V时的充电时间t。解：(1)这是一个RC电路零状S100V+-(t=0)+-uC50010Fi态响应

32、问题，有： = RC=50010-5 = 510-3 suC =US(1-e )1RC-t=100 (1-e-200t )V(t0)i = CduCdt =10-5100200e-200t(2)设经过t1秒，uC=80V80 = 100 (1-e-200t1 )Vt1 = 8.045ms 8/14/202243第43页，共122页。2. RL电路的零状态响应(1) 激励是恒定直流换路前：iL(0+) = iL(0-) = 0 换路后：iR + iL = ISSRL+-ISuL(t=0)iRiL(t0+)iR =uLR=LRdiLdtLRdiLdt+ iL = ISLRt =解得：iL = IS

33、 (1- e )t-t式中：uL = LdiLdt= RIS et-t(t0)tuL ,0iL ISRIS8/14/202244第44页，共122页。(2)激励是正弦电压设 us=Umcos(t+u)则 Ldidt+ Ri= Umcos(t+u)通解： i = A et-t特解的形式：i= Imcos(t + )把 i 代入微分方程：Im、 为待定系数。RImcos(t+q )-wLImsin(t+q )=Umcos(t+u)Im|Z|cos(t+q +)=Umcos(t+u)式中R2|Z| =+ (L)2tg =RLLRt =t0+us+-+-uLRLi+-uR比较得：Im=Um|Z|q =

34、yu- ，8/14/202245第45页，共122页。|Z|Um特解：i = Imcos(wt +q ) cos(wt + yu-j)|Z|Umi =cos(wt+yu-j)+ Ae-tt由i(0+) =i(0-) = 0定出：A = -|Z|Umcos(yu-j)|Z|Umi =cos(wt+yu-j)- cos(yu-j) e|Z|Um-tt全解：稳态分量 i 是与外施激励同频率的正弦量暂态分量 i 随时间的增长衰减为零。R上的电压 uR = RiL上的电压 uL= Ldidt=t0+us+-+-uLRLi+-uR8/14/202246第46页，共122页。讨论(1)若 S闭合时yu-j

35、= 90o， 则 i =0。说明电路不发生过渡过程而立即进入稳态。t0+us+-+-uLRLi+-uR|Z|Umi =cos(wt+yu-j)- cos(yu-j) e|Z|Um-ttt0i i = iuR = Ri|Z|RUmcos(wt+yu-j)- Umcos(yu-j) e|Z|R-ttuL= LdidtUm cos(wt+yu-j + 90o)|Z|wL=Umcos(yu-j ) e|Z|R-tt=8/14/202247第47页，共122页。i0i |Z|Um|Z|Um-当t很大时，i衰减缓慢。在 yu = j 时闭合 S，约过半个周期， iL的最大瞬时值(绝对值) 将接近稳态振幅的

36、两倍。稳态振幅过渡中的最大瞬时值可见，电路的过渡过程与 S动作的时刻有关。t0+us+-+-uLRLi+-uR|Z|Umi =cos(wt+yu-j)- cos(yu-j) e|Z|Um-ttti(2)若S闭合时yu=j|Z|Umi =coswt- e|Z|Um-tt8/14/202248第48页，共122页。例：t=0开关打开，求t 0后iL、uL及u。 这是RL电路零状态响应问题，先化简电路。+-uL20W2HiL1A5W+-u10W+-uL10W2HiLS2A(t0)LReqt =220= 0.1siL = Isc(1- e )t-t= (1- e-10t ) AuL = LdiLdt=

37、 Req Isc et-t= 20e-10t Vu = 5 2= (20+10e-10t ) ViL(0+)=iL(0-)=0 t diLdt+ iL = IscReq = 20W， Isc = 1A。解：由原电路得：解得：+10iL+ uL8/14/202249第49页，共122页。全响应稳态解暂态解7-4 一阶电路的全响应1. 全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC(0+) = uC(0-) = U0uC = US + (U0 - US) eduCdtRC+ uC = US(1)着眼于电路的两种工作状态

38、 看成是稳态分量(强制分量) 与暂态分量(自由分量) 之和。=+2. 全响应的两种分解方式强制分量自由分量t-t物理概念清晰。8/14/202250第50页，共122页。零状态响应零输入响应(2)着眼于因果关系全响应=+uC = US + (U0 - US) et-t uC = US (1 - e )t-t+ U0 et-t此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质。US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-) = U0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-) = 0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-) = U0=+8/14/202251第51

39、页，共122页。3. 三要素法分析一阶电路(1)在恒定激励下f(t) = f() + f(0+) - f()e由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。全响应 = 稳态分量 + 暂态分量说明一阶电路的响应uC = US + (U0 - US) et-tf(0+)是初始值，用t = 0+时刻的等效电路求解。f()是稳态值，用换路后的稳态(t)电路求解。t-tt 是时间常数，用换路后的电路求解。8/14/202252第52页，共122页。(2) 在正弦电源激励下f(t) = f(t) + f(0+) - f(0+) -ttef(t)：换路后的稳态响应(特解) ，f(0+)：是稳态响应 f(t) 的初

40、始值。求f(t)的方法是待定系数法是与激励同频率的正弦量；f(0+)：是初始值，用t = 0+时刻的等效电路求解。t ：是时间常数，用换路后的电路求解。或相量法(第8、9章)。关键是求f(t)，得到后可求出f(0+)。 f(0+)、 t 的求法与恒定激励下相同。8/14/202253第53页，共122页。4.解题指导 例1换路前：iL(0-)= -IS = -2A求换路后的戴维宁电路SUs=10V+-(t=0)iLRLiIsab4H2W2A?Uoc+-(t0+)iLReqLab=10-22=6 VUoc=Us-RIsReq = R = 2W求iL的三个要素：iL(0+) = iL(0-) =

41、-2AiL()= Uoc / Req= 6 / 2 = 3 At = L / Req= 4 / 2 = 2 sf(t) = f () + f(0+) - f () e-ttiL(t)3-232iL(t)=3-5e-0.5t Ai(t)= IS + iL(t) = 5 - 5 e-0.5t A8/14/202254第54页，共122页。例2：电路如图，求uL。SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1HUoc= 4i1+ 2i1Req=10Wui解：iL(0-)= - 4A = iL(0+)SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1H(t0)求换路后的戴维

42、宁电路=12Vui=(4+4)i1+ 2i1i1uL(0+) =Uoc- Req iL(0+)=12 -10(-4)=52ViLUoc+-(t0+)ReqL+-uL0.1HUoc8/14/202255第55页，共122页。也可以先求 iL：uL= LdtdiLuL() = 0t =ReqL= 0.01s100.1uL=52e-100t V代入三要素公式得t = 0.01siL(0-)= - 4A = iL(0+)iL()= UocReq= 1.2AiL =1.2-5.2e-100t A再由求出uL。例2：电路如图，求uL。Uoc= 4i1+ 2i1Req=10Wui解：iL(0-)= - 4A

43、 = iL(0+)求换路后的戴维宁电路=12V=(4+4)i1+ 2i1i1uL(0+) =Uoc- Req iL(0+)=12 -10(-4)=52ViLUoc+-(t0+)ReqL+-uL0.1H8/14/202256第56页，共122页。例3：图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关S闭合，求换路后的电流i(t) 。iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25FS闭合前C开路L短路iL(0-) = 0，uC(0-) = 10V换路后变为两个独立的单回路iL+-uCiU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25F+-uCiLiC解：电容电路的三要素为 iC(0+)

44、 = uC(0+)R1 = 5At1 = R1C = 0.5s ,iC() = 0电感电路的三要素为 iL(0+) = iL(0-) = 0t2 = LR2 = 0.2s ,iL() = UR2 = 105 = 2Ai(t) = iL(t) + iC(t) 求出iC(t)、iL(t) 后 (t0)8/14/202257第57页，共122页。例4：电路如图。t=0时S1从位置1拨向位置2，经0.12s后S2打开，求uC(t)并绘波形图。解：先求初始值uC(0-) = -10V再分阶段用三要素法求解。(1) 0t0.12suC(0+) = uC(0-) = -10VuC() = 30+203050

45、=30Vt1 = (20/30)1031010-6= 0.12suC(t) = 30-40e-8.33t V(0t0.12s)U1+-R210mFS250VR1=20kWCS121U2-+30kW10V+-uCU1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230kW+-uC18/14/202258第58页，共122页。(2) t0.12suC(0.12-) = 30-40e-8.330.12 = 15.28VuC(t) = 30-40e-8.33t V(0t0.12s)uC(0.12+) = uC(0.12-) = 15.28Vt2 = R2 C = 301031010-6 = 0.3s,

46、uC() = 0uC(t) = 15.28e-3.33(t-0.12) V(t0.12s)00.10.20.30.40.5t /suC(t) / V-1010200.12s15.28U1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230kW+-uC1奔向30V8/14/202259第59页，共122页。75 二阶电路的零输入响应 用二阶微分方程描述响应与激励关系的电路称为二阶电路。在电路结构上表现为含有两个独立的动态元件。二阶电路的动态分析，原则上与一阶电路相似，那就是列方程、解方程。 由于二阶线性微分方程有两个特征根，对于不同的二阶电路，它们可能是实数、虚数或共轭复数，因此动态过程将呈现不

47、同的变化规律。 分析时由特征方程的根，判断电路是处于衰减放电，还是振荡放电，还是临界放电状态。8/14/202260第60页，共122页。C+-uC+-S (t=0)+-uLRL+-uRiU0I0RLC串联电路为例分析1.列写方程i =duCdt- CRi = -RCuL = Ldidt= - LCd2uCdt2-uC + Ri + uL = 0 LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = 0代入上式得二阶齐次微分方程duCdt若以电容电压为变量则有 uC(0+)=U0 ，i(0+) = 0初始条件为即duCdt= -Ct=0+i(0+)= 0(t0+)由KVL：8/14/202261第

48、61页，共122页。2.解方程特征方程的根特征方程LCp2 + RCp + 1 = 0 p1=2LR-+2LR2-LC1C+-uC+-(t0+)+-uLRL+-uRiU0I0uC(0+)=U0， LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = 0duCdt= 0t=0+p2=2LR-2LR2-LC1特征根只与电路参数和结构有关，与激励和初始值无关。当R、L、C的参数不同时，特征根有不同的形式。8/14/202262第62页，共122页。uC = A1e p1t+ A2e p2t解的形式为(1) R23. 分析三种情况p1、p2 是两个不相等的负实根。A1=p2 -p1p2U0A2= -p2-

49、p1p1U0代入初始条件求得uC =p2 -p1U0(p2e p1t-p1e p2t )所以LC LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = 0uC(0+)=U0，duCdt= 0t=0+p1=2LR-+2LR2-LC1p2=2LR-2LR2-LC18/14/202263第63页，共122页。duCdti = - CuL= Ldidt= -(p2 -p1)U0 (p1e p1t-p2e p2t )p1 p2 =LC1考虑到 = -L(p2 -p1)U0 (e p1t-e p2t )tm2tmuCuLiotuC ,uL, U0i| p2 | | p1|uC =p2 -p1U0(p2e p1

50、t-p1e p2t )分析总有uC0、i0 ，说明C一直在释放电能。称非振荡放电或过阻尼放电。8/14/202264第64页，共122页。C+-uC+-+-uLRL+-uRiU0tm=p1- p2ln(p2p1) i从 0开始，到 0结束，有极值。能量释放完毕，过渡过程结束。0tm：C 的电场能转化为 L 的磁场能和 R 的热能。tm ：uL变负，C 的电场能和 L 的磁场能都转化为 R 的热能。 令(di/dt) = 0 得 i 达到 imax的时刻为tm2tmuCuLiotuC ,uL, U0i| p2 | | p1|8/14/202265第65页，共122页。(2)令2LRd =R临界电

51、阻,为过阻尼电路。R 临界电阻,为欠阻尼电路。R=2LCp1,2 =2LR-2LR2-LC1特征方程具有重根。微分方程解的形式为：uC = (A1+ A2t ) e-d t根据初始条件duCdt= 0t=0+求得A1 = U0A2 = d U0放电过程具有非振荡性质，是振荡和非振荡过程的分界线，这种情况下的R称为临界电阻。8/14/202271第71页，共122页。综上：二阶电路的零输入响应小结(1) R2LC过阻尼，非振荡放电。uC = A1e p1t+ A2e p2t(2)R0+电路的微分方程；求特解(强制分量)；求通解(自由分量)；全响应=强制分量+自由分量；由 f(0+)，dfdt(0

52、+) 定常数。既有初始储能, 又有外施激励。全响应 = 零输入响应 + 零状态响应。根据具体电路列方程直接求解的步骤如下：方程形式同零状态。注意有初始储能。8/14/202274第74页，共122页。7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应1. 单位阶跃函数 (2) 延迟的单位阶跃函数e (t) =0 t01 t0(1) 定义toe (t)1e (t-t0) =0 tt01 tt0S(t=0)+-u(t)RC211V+-e (t)to1t0奇异函数，在 t=0 时不连续；开关的数学模型，也称为开关函数。8/14/202275第75页，共122页。2. 阶跃函数的性质(1) 用来起始任意一个函数(2

53、) 合成矩形脉冲f (t) e(t-t0) =0 tt0f (t) tt0t0f(t)tot0to-e(t-t0)f (t)= e(t) - e(t-t0)f (t)tot0，f(t)e (t-t0)t0toe(t)8/14/202276第76页，共122页。例：用阶跃函数表示下列波形 f1(t) = 2e(t)t0tof1(t)2t03t0+2-2t0tof2(t)2t021- 4e(t-t0)+ 4e(t-2t0)- 4e(t-3t0)+ f2(t) = e(t)+ e(t-t0)- 2e(t-2t0)分段常量信号可以表示成一系列阶跃信号之和。8/14/202277第77页，共122页。3

54、.阶跃响应 单位阶跃输入的零状态响应称为电路的单位阶跃响应，记作s(t)。通过例题说明一些概念。例1：求 uC(t) 、iC(t)。根据阶跃函数的性质得 uC(0-)=0，解：uC()=1V单位阶跃响应为 uC = (1- e RC-tiC =R1ee(t) At-tf(t) = ee(t)t-tf(t) = et0初值为零。 注意 初值可以不为零。) e(t) V+-uCRC+-e(t)iCRC-t11/RtouCiC8/14/202278第78页，共122页。若激励在t = t0 时加入，则响应从t = t0 开始。 延迟的阶跃响应为 uC = (1- e RC-t-t0iC =R1e)

55、e(t-t0) VRC-t-t0e(t-t0) A 注意：延迟的阶跃响应不要写为 +-uCRC+-e(t)iCiC =R1eRC-te(t-t0) AiC t0R1t0阶跃响应的求法与恒定激励下的零状态响应的求法本质相同。用 f(t)e(t-t0) 表示。一阶电路可用三要素法；二阶电路见76。8/14/202279第79页，共122页。例2：S在位置1时电路处于稳态。 t=0时S由位置1合向位置2，在t= 时，S又从位置2 合向位置1。求t0时的uC 。解法1：把电路的工作过程分段求解(1) 0t：(2) t：uC = US (1-e-tS(t=)+-uCRC21US+-(t=0) = RCu

56、C = 0.632US e -t -0ttt初始值：uC(+) = uC(-)为典型RC串联电路的零状态响应。 为典型RC串联电路的零输入响应。= US (1- e-1) = 0.632US 8/14/202280第80页，共122页。解法2：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。uS(t) = US e(t) -US e(t-)RC电路的单位阶跃响应为tuS(t)toUSs(t) = (1-e -tt-t -ts(t-) = (1-e 利用线性电路的叠加性质可得uC(t) =阶跃响应延迟的阶跃响应S(t=t)+-uCRC21US+-t=0) e(t) e(t-)uc(t)tot0.632UsUsU

57、S (1-e ) e(t)t-t- US (1-e ) e(t-)t-t -t8/14/202281第81页，共122页。f(t)toD1DD0D1f(t)f(t)f(t) = ?DD1当单位脉冲处于极限情况时，但面积仍为1。8/14/202282第82页，共122页。7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应1. 冲激函数的定义(1)单位冲激函数(2)延迟的单位冲激函数pD(t)toD0lim pD(t)= (t)(t)ot10，t 0-+(t)dt =10，t t0-+(t -t0)dt =10-0+(t)dt =1由于t 0+和t 0-时(t) =0，(t) =(t-t0) =所以：D1/D1

58、/DDt = 0 为奇异点。8/14/202283第83页，共122页。2. 冲激函数的性质(1) (t) 与 (t)的关系(2)“筛分”性质 f(t) (t-t0) = f(t0) (t-t0) (t) =d(t)dt(t) =-t()d -+f(t0) (t-t0) dt= f(t0)把t0时刻的函数值“筛”出来，也称取样性质。(3)冲激强度定义中的积分值称为冲激强度。kd(t)的冲激强度为k。(t)otkt0-k-k(t-t0)8/14/202284第84页，共122页。3. 冲激响应的分析 对上式取积分求uC(0+)；di(t)RC+-uC在冲激电流激励下的RC并联电路duCdtC+R

59、= di(t)uCuC(0-) = 00+0-duCdtCdt+0+0-RuCdt=0+0-di(t) dtC uC(0+) -uC(0-) 因uC是有限值，故此项积分为0。uC(0+) =C1+ uC(0-)电路在单位冲激函数激励下的零状态响应称为冲激响应。记作h(t)。(1) 分析过程 列t0-时电路的微分方程；根据di(t)的定义，故此项积分为1。= 18/14/202285第85页，共122页。(3) t0+时，di(t) = 0。 用同样的方法，可求得RL串联电路在单位冲激电压作用下的响应。di(t)RC+-uCduCdtC+R= di(t)uC变为= 0duCdtC+RuCuC(0

60、+) =C1+ uC(0-)du(t)RL+-uL+-iLdiLdtL+ RiL = 0iL(0+) =L1+ iL(0-)方程t0+di(t)uC(0+)已变成了零输入响应的求解问题(t0+) 。iL(0+)du(t)+-t0+8/14/202286第86页，共122页。综上，冲激响应分两个过程：若d(t)的强度为 kuC(0+) =Ck+ uC(0-)iL(0+) =Lk+ iL(0-)过程1 ： t 从 0- 0+uC(t)从uC(0-) uC(0+)iL(t) 从iL(0-) iL(0+)建立初始值的过程。uC 或 iL 产生跃变，已不满足换路定则。过程2 ：t 从 0+ d(t)已不