一类具有线性传染率的 最终稿

1、一类SIQS传染病模型的全局稳定性分析贺冬梅指导老师晏兴学（河西学院数学与应用数学专业2012届2班13号，甘肃张掖734000 ）摘 要本文建立了一类具有标准发生率的SIQS传染病模型.并运用微分方程的定性理论，证明了 无病平衡点E0和地方病平衡点E1的存在性和全局渐近稳定性.关键词传染病模型;标准发生率;平衡点;全局渐进稳定性中图分类号O193The Analysis of Global Stability of a SIQS Epidemic ModelHe Dongmei Instructor Yan Xingxue（NO. 13, Class 2 of 2012. Specialit

2、y of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye, Gansu, 734000）;Abstract: In this paper, we establish a SIQS epidemic model with standard incidence. By using the differential equation qualitative theory, we prove the existence and the global asymptotic stability of the disease-free

3、 equilibrium E and epidemic equilibrium EKey words: epidemic model;standard incidence rate;equilibrium;global asymptotic stability1引言由古至今，人类历史的发展伴随着种类繁多的传染病，如瘟疫、天花、结核病等. 这些疾病的传染性与危害性很强、涉及地域广,严重威胁着人类的健康,每次传染病的 爆发与流行都给人类的生存带来了巨大的灾难.世界卫生组织在最近发表的报告中表 明，目前全球60多亿人口中约有半数受到各种不同传染病的威胁.近20年来，随着国际 贸易和交往的发展、环境污

4、染的加剧、生态平衡的破坏、病原体和传播媒介抗药性的 增强,原来己灭绝和被控制的许多传染病（如性病、结核等）再次抬头并有蔓延的趋势, 一些人类至今仍无法克服的病毒性传染病如艾滋病、肝炎等传染迅速.传染病严重威胁 我国人民的健康.2009年，卫生部和联合国艾滋病规划署、世界卫生组织联合评估结果 表明:截至2009年底，中国现存活艾滋病病毒感染者和病人约74万人，其中病人约 10.5万人;2009年新发感染者约4.8万人,因艾滋病相关死亡约2.6万人.截至2010 年10月底,累计报告艾滋病病毒感染者和病人37万余例，其中病人13万余例，死亡6.8 万余例1.历史和现实都告诫我们：人类正面临着种种传

5、染病长期而严峻的威胁，对传 染病发病机理、流行规律和防治策略的研究有重要意义和实际价值.1.1传染病的历史发展与研究意义传染病有史以来就是危害人类健康的大敌，传染病一次又一次的流行给人类生存 和国计民生带来了巨大的灾难，早在公元2世纪，Antonine瘟疫在罗马帝国流行，导致 了人口的急剧下降和经济恶化，公元1519-1530年间麻疹等传染病的流行，使墨西哥的 印第安人从3000万下降到300万,使人闻之色变的黑死病曾四次在欧洲流行，所以一长 期以来人们跟各种传染病近行了不屈不挠的斗争，回顾斗争历程,应该说20世纪是人 类征服传染病取得最辉煌成果的时期，肆虐了近千年的天花终于被消灭了 ；麻风病

6、、脊 髓灰质炎被彻底消灭的日子也为期不远了；白喉、麻疹、百日咳、破伤风等病已在许多 国家得到遏制；多种抗生素的问世，使一度给人类造成巨大灾难的瘟疫不再危害人间. 然而，人类要征服传染病，道路依然曲折漫长.传染病在现实生活中广泛存在，利用动力学的方法建立流行病传播的数学模型,研 究某种流行病是否在某一地区会继续发展下去而成为该地区的地方病，或这种流行病 最终将彻底消除，是流行病学和数学相结合的一个具有很大现实意义的研究课题,有助 于对流行病将来的发展趋势近行预测，有效的对疾病的预防与控制起到很好的作用.因 而利用数学模型分析和研究传染病的传播已是数学应用的一个重要领域.近年来，国内 外学者对传染

7、病的传播模型作了大量的研究，得到了许多重要结果，在某种程度上极大 地丰富了传染病动力学理论.目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性 研究，传染病动力学是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律, 以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动 力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过程，揭示流行规律,预测变 化趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求预防和控制的最优策略，为防制决策提 供理论依据.1.2传染病模型的历史与研究现状1760年,D.Bernoulli就用数学模型研究过天花的传播，这是迄今为

8、止所知道的最 早的流行病模型,但确定性的传染病模型始于20世纪.1906年Hamer构造并分析了一 个离散模型，用于研究麻疹再次爆发的情况.1911年公共卫生医生Ross博士利用微分 方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为近行了研究，得到了疟疾流行与否 的临界值,Ross因此而获得第二次诺贝尔医学奖.1927年Kermack与McKendrick为研 究1665-1666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了 著名的SIR仓室模型，又在1932年提出了 SIS仓室模型,并在分析所建立模型的基础 上,提出了疾病流行与否的阂值理论，为传染病动力学的研究奠定了基础.

9、传染病动力 学的建模与研究于20世纪中叶开始蓬勃地发展，其标志性的著作是Bailey于1957年 出版、1975年第二版的专著10.近20年来，国际上传染病动力学的研究近展迅速，大量的数学模型被用于研究各 种各样的传染病模型，这些数学模型大多是适用于各种传染病的一般规律的研究.从传 染病的传播机理来看，这些模型涉及接触传播，垂直传播，虫媒传播等不同感染方式，从 模型的数学结构来看，绝大多数传染病模型是常微分方程组，具有年龄结构的模型是一 阶偏微分方程组，具有扩散项的模型是二阶偏微分方程组,具有时滞因素的是时滞微分 积分方程组或微分方程组.回顾近年来的传染病，人们主要采取的还是隔离和接种这两种措

10、施，由于隔离和接 种是行之有效且易实施的控制传染病蔓延的非常重要的措施，因此研究带有隔离或接 种的传染病模型就显得十分重要，比如说在2003年的非典流行时期及后来发生的HINI, 国家就采取了强隔离措施，减少病人与健康人群的接触率,才使得传染病得到很快的控 制.在流行病学上隔离是指在某种局势无法完全控制的情况下采取的一种公共卫生措 施被广泛用于控制天花，肺结核、鼠疫、麻疹、非典型肺炎及艾滋病等人类传染病和口 蹄疫、疯牛病及狂犬病等动物传染病,Hethoote于2002年研究了具有常恢复率的分别 带有双线性传染率、标准传染率及隔离项修正的传染率的三种形式的SIQS模型.由于 不断变化的自然环境使

11、得传染病种类具有多样性，传播流行因素具有复杂性.所以，我 们不仅要考虑隔离和接种两种措施共同使用的数学模型来研究传染病模型，同时要考 虑多种种群动力学因素.然而，以上因素必定会使得我们建立的数学模型的维数增加， 这就使得在分析其动力学行为时缺乏现成的理论依据.现在,对于传染病模型的研究，人们更关心的是模型中的参数满足什么条件时，该 传染病会最终是流行或灭绝，也就是模型的疾病消除.1.3传染病动力学的几个基本概念（1）有效接触率、传染率和标准发生率传染率是传染病动力学模型中的一个非常重要且不可缺少的项.设病人传染是通 过与他人接触形成的.单位时间内一个病人与他人接触的次数称为接触率.它通常依赖

12、环境中的总人口数N，记作U（N）.如果被接触者为易感者，就会有一定程度的传染，设 每次传染的概率为P0，把赋有传染概率P0的接触称为有效接触，这时的接触率称为有 效接触率，即P U（N）.应当注意，一般来说总人口中除易感者和患病者之外还可能包 含有疾病免疫者和潜伏者.当病人与非易感者接触时不会发生传染，而易感者S在总人 口 N中所占比例为N .因此，每一病人平时对易感者的有效接触率为p U（N）土 ,也就 是每一个病人平均对易感者的传染率，简称为传染率.从而t时刻单位时间内被所有病 人传染的人（即新病人）数为p 0U 3 ） Nt）1（t），称为此疾病的发生率.当总人口数很大时，疾病的发生率一

13、般为 堕，这种发生率称为标准发生率.本文 N采用标准发生率.（2）基本再生数对于经典的传染病模型，有一个量R0被称为基本再生数，它表示在发病初期，当所 有人均为易感者时，一个病人在平均患病期内所传染的人数.Ro = 1表示疾病是否消亡 的阀值;当Ro 1,疾病将始终存在而形成地方病2.1.4本文的主要方法和结论本文集中研究一类具有标准发生率的SIQS模型,相应于SIS模型与SIR模型，此模 型的显著特征是引入隔离项，这一项目的引近符合实际情况（如果对染病者近行隔离， 那么就可以减小染病者对其他正常人群的感人概率）.模型表示的含义为易感者被染病 者感染后近入染病者类，部分隔离后的染病者类近入隔离

14、者类，染病者被治愈后部分又 回到易感者类.对于此模型，首先通过疾病的传播机制建立了微分方程数学模型，通过 分析相应的特征方程，得到了当基本再生数Ro 1时，无病平衡点不稳定.其次，通过构造Liapunov函数证明了当R0 1,通过对其特征根的分析 得到地方病平衡点局部渐近稳定.通过构造Dulac函数得到了保证地方病平衡点全局 渐近稳定的一个充分条件.在此传染病模型中引入了隔离项，符合许多疾病的实际情况, 实际意义也更加明确了.2预备知识定义1【6考虑自治系统空=f (x), f e C(G uRn, Rn), dt一(1.1)设有集合B ,若对任意的Pc B ,系统（1.1）过P点的整条轨线L

15、p e B ,则称B是系统（1.1）的一个不变集.引理1 5考虑线性微分方程组dx , =Ax, dt(1.2)其中A是实矩阵，x =（气, x） e Rn，若A的所有特征值均有负实部，则（1.2）的零 解渐近稳定；若A的所有特征值具有非正实部，且其具有零实部的特征值仅对应单重初等因子，则（1.2）的零解是稳定的;若A有正实部的特征值,或者有对应于多重初等因子的零实部特征值，则（1.2）的零解是不稳定的.引理2 6 （ Dulac定理）若有函数B （x, y）。0,连续且有连续的偏导数，使得系统x = P (x, y ),y = Q(x, y),(1.3)在单连通区域D内普+詈不变号，且在D内

16、任一区域不恒为零,则系统（L3）在D内无闭轨.3 SIQS模型的建立首先对模型做如下假设:疾病的发生率采用标准发生率，即单位时间内由易感者变为染病者的人数为P SI .N在单位时间内普通染病者被成功隔离的人数与普通染病者的人数成正比，设比 例系数为5 ,即在单位时间内被隔离的患病者的人数为5 I(t).单位时间内人口的自然死亡率为b，染病者的死亡率为a，染病者变为易感者 的比例为,，隔离者变为易感者的比例为8 .在单位时间内人口因移民或出生而增加的人数为bN ,并且b, a, P, y, 5,8均为 正常数.所有个体的总数记为N(t),则N(t)= S(t)+1(t)+ Q(t).模型的机制可

17、以简单地由 如下的流程图来表示(见图1).图1 SIQS模型流程图按照流程图建立SIQS模型为dS ； P SI 7C ,=bN- bS + 8 Q+y I,dt NdI P SI=一-y I - bI-a I-51, dt N竺=51 - bQ-8 Q.dt因为总人口为N(，)= S(t)+1 (t)+ Q(t).由芬1，可知该种群的总人口数不是常量记S =土 , z=N 则,北分别表示易感者类染病者类,隔离者类在总人 口中所占的比例,通过计算可得x = b - P xy - bx + s z + y y, y，=。xy -(b + 以+ 8+y) y, z = 8 y - bz-8 z.由

18、x + y + z = 1整理得x = b + 8 - P xy -(b + 8 )x-(8-y) y, y，= P xy-(b+以+8 +y) y.4模型的分析定理1区域D = (x, y)|x 0, y 0, x + y 1 为系统(2)的正向不变集.证明取L: x + y = 1,则生=竺 + 空=b + 8 - P xy -(b + 8) x -(8-y) y + P xy -(b + a+ 8+y) y dt dt dt=b + 8 -(b + 8)x-(b+a +8 + 8)y ,因为x + y = 1,所以有b + 8 -(b + 8)x-(b+a+8 + 8)y = -(a +

19、 8)y 0. dt因此，区域D为系统(2)的正向不变集.口4.1平衡点的存在性定理2系统(2)总有无病平衡点E0(1,0)，且有“ b + a +8 +y .b + a +8 +yP ，y1 =当且仅当R 1时，系统(2)有唯一的地方病平衡点E (x , y )，其中 0111(b + 8) P -(b + a+8+y)P (b + a +8 +8)证明令系统(2)的方程右端为零，则立即可得b + 8 -Pxy-(b + 8)x-(8 -丫)y = 0,P xy -(b+a+8+y) y = 0.当y = 0时，x = 1,则系统总有无病平衡点E0 (1,0);当y。0时，有将结果代入方程求

20、得(b + e)P - (b + a+ 8+y)y1P (b + a + 8 + e)，(b + )P-(b + a+8+y)r一 、,当且仅当R0 1时，y广芯+ a+8+,) O -因此当% 1时，系统在D 内存在唯一的地方病平衡点E1 (气,y1). 4.2平衡点的局部渐近稳定性定理3对于系统(2),当R0 1时，无病平衡点E0 (1,0)是局部渐近稳定的. 证明系统(2)在无病平衡点E0 (1,0)处的Jacobi矩阵为：J(E )=0f-(b + s)-P yP y-(8-丫)-。x =-(b+。P x -(b+以+8+y) v 0-G-Y)-pP -(b+以+8+y)E0人 + (

21、b + e)0其特征方程为e -y + P人一 P -(b + 以+8+y)由此解得人=-(b + e) 0, X2 = P - (b+a+8 +y).当 R0 1 时,有 P b + 以 +8 +y，所以 人 1时, 200有P b +以+8 +y ,故气0,方程的两根异号，存在正实部的根，从而，当R0 1时,无 病平衡点E0 (1,0)的Jacobi矩阵存在正实部的特征根.所以当R0 1时，E0不稳定.口类似的，可以得到地方病平衡点E1 (x1, y1)是局部渐近稳定的.定理4当R 1时,地方病平衡点E (x , y )是局部渐近稳定的. 0111证明系统(2)在地方病平衡点E1 (x1,

22、 y的Jacobi矩阵为J (e )=1/、(b + 8)。(。+ 以+8+y)(b +)-(b + 以 +0 +8 )(b + 8 )P-(b +以 + 0+丫)(b+以 + 0 + 8 )、(8 -Y)-(b+以+0 +丫)0其特征方程为X + (b + 8)+( + 8p(b + 以+；+丫) (b + a + 0 + 8 )(b + 8)P (b+a + 0 +y)(b+a + 0 + 8 )b+a +0 +y=0,XJ (E )的特征多项式为:1f(X)= X2 +(b + 8)+(b + 8)P (b+a+0 +y)(b + 以+ 0 + 8)X + (b + 8)P (b + a

23、+ 0 +y),E1若设2个特征根分别设为XX2,从而有()(b + 8)。(b+a+0+Y) 1 时，P b + a+0+y ,有 J：1： 2艮口 X 0 且 X 0.125而上述方程无非负实部的根，因此E1 (气,是局部渐近稳定的.4.3平衡点的全局渐近稳定性定理5 (1)当R0 1时,地方病平衡点E (x , y )是全局渐近稳定的. 0111证明(1)对无病平衡点E (1,0)，构造Liapunov函数V = y，则有 0Vf = y，= P xy (b + a+ 0+y) y P (b + a+ 0+y) y = (R0 1) y,当R0 1时，V，0，且等号成立的充要条件为y = 0或取点E0.由定理1知，D是系统(2) 的正向不变集，又不可能有闭轨线，因此,E0是E =x g Rn|V ,(x )=。上的最大不变集，故E0是全局渐近稳定的.(2)对于地方病平衡点E (x , y ),构造Dulac函数B(x, y)= 1，可得 TOC o 1-5 h z 1 1 1yP = (b + )- Pxy -(b + )x-( -y )y, Q - Pxy -(b+a + 8 +y )y