湖南师大附中2021届高三年级10月第二次月考数学试题(含答案和解析)(2020.10)

1、数学试题（附中版）第 页（共8页）数学试题附中版）第2页（共8页）湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数 学本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共8页。时量 120分钟。满分150分。得分:第I卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合人=H| |n|。）的下焦点b作y轴的垂线，交双曲线 于A,B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点Fz，则双曲线的离心 率为./（XDe1 ,C1,.已知函数八为二八其中e为自然对数的底数.若函数,xl.XgG）=fG）4%有3个不同的零点，则实数k的取值范围是.

2、 四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.（本小题满分10分）在（a+b2=/+3oZa=VScsinAacos C,（2a6）sin A+（加一） sm B=2csin C,这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cU,而且.求NC;（2）求ABC周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（本小题满分12分）如图 1,在ABC 中,AB=&BC= 242 , /A3C=苧,D 为 AC 的中点, 将AAUD沿折起，得到如图2所示的三棱锥P-6CD,二面角P一 8D-C为直二面

3、角.（D求证:平面PBC_L平面PBD；设E为PC的中点,苏=3淬，求二面角CDE-F的余弦值.本小题满分12分）已知各项均为整数的数列4 满足。3 = 1，% = 4,前6项依次成等差 数列，从第五项起依次成等比数列.（D求数列4的通项公式；（2）求出所有的正整数使得=%+1%+?.（本小题满分12分）设函数 /（jr）=（2e* 4-cos 处其中 aR.若a=l,证明：当V0时,“公2；若在区间0,用内有两个不同的零点，求a的取值范围.（本小题满分12分）现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者 选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己 去参

4、加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2 的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的 概率；（3）用X1分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记$ = IX-YI，求随机变量8的分布列与数学期里将.（本小题满分12分）已知点P是圆Q：（n+27+/ = 32上任意一点，定点K（2,0）,线段PR 的垂直平分线Z与半径PQ相交于M点，当P在圆周上运动时，设点M 的运动轨迹为（1）求点M的轨迹的方程；若点N在双曲线号一%=1（顶点除外）上运动，过点N,R的直线与 曲线相交于A,B,过点N,Q的

5、直线与曲线相交于C,D,试探究 | AB| +1 CD|是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值， 请说明理由.数学参考答喋（附中版）一 数学参考答喋（附中版）一 #湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数学参考答案一、单项选择题:本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.C.C【解析】因为。=后=77惠所以选CJLu 1 1 1J u 1 i / 11/4. A. A【解析】将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2二因为这180个扇形对应的等 腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积.所以180义J X1X1X sin 2

6、0= 90Km 20弓所以sin 20七悬所以选A.D【解析】第一个因式取.产第二个因式取与得：1XQ （ -=5,第一个因式取2,第二个因式取（一得：2X（ 一 1尸=-2,展开式的常数项是3+（2） = 3.877.C【解析】由算端的定义殍（千位）横式上（百位）纵式TT （十位）横式上（个位）纵式I所以8771用笄若应表示 为上TTX 故选C.B【解析XD%=是=仪”的充要条件;错误，当c=0时不成立;Z+5走无理数是为是无理数”的充要条件;成立;%“是的充分条件错误，当=-2= 3时，不成立;ZV5”是，V3”的必要条件，成立，选R& B【解析】取八D的中点E,连接PEPAD中,ZAPD

7、= 12OPA=PD=2. A PE = 1,AQ=26,设ABCD的中心为O,球心为（） fii （力夕= ）= 2,设。到平面 ABCD的，巨离为4,即：肥=/-2 = 2 + （2）2,.=1,犬=万，四校维P- ABCD的外接球的体积为gxR空兀故选：B. TOC o 1-5 h z OO二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对 的得5分，有选错的得。分,部分选对的得3分.ABI）【解析】对于A,甲校抽取U0X篇=60人，乙校抽取H0X黑=50人，故/=10.?=7；故A正确；对于I工估计甲校优秀率为弟=25%,乙校优秀率为

8、期= 40%.故B正确；对于D,甲校平均成绩109. 5,乙校 OUOU平均成绩114.6,故D正确.BD【解析】由用易得点C的横坐标为号所以/（）的周期T-大，所以卬=2又/（-专）=0,所以y一 O0令因此/（=八而（2.丁+4）函数/的图象关于点（一争.0）成中心时称.若圆半径为常则A = OJO工 44J（矍）,一（参）,A=45,函数/（1）的解析式为/（,1）=疝）（2彳+字），故选BD.数学参考答案（附中版）一2数学参考答案（附中版）一2AC【解析】取CD中点M,CC中点N,连接出M.HN.MN,则易证得为N AiEMNAW从而平面BMN平面AWE所以点F的运动轨迹为线段MN.

9、取厂为MN的中点，因为MN是等腰三角形，所以向卜乂犯又因为河氏 CDi,所以UiFCDi 故A正确；设正方体的校长为n,当点产与点M或点N也合 时,直线/，厂与直线BC所成角放大，此时（anZCi B, F= y 00）的下焦点B作,轴的垂线，交双曲战于AI两点则“。|=2,以工3为克径的回恰好过其上点、点尺，可得：鱼=2八，/一42 2改=0,可存/一2一1=0.解 aa得e=l=笈4=1 一笈（舍去）.故答案为：1一乃16. （）志）【解析】令 8（）=（一1）4（/41）则 /Cr）=/c所以当 了6（ 8,0）时，/（.r）V0;当 / （0.1）时,/（.r）0.于是函数x（.r）在

10、区间（一3,0）上单调递减，在区间（0,1）上单调递增，当1一8时. 8（J）-0晨0） = - 1（1）=0.令/（玲=g（001）,则/Cr） = l一单所以当j0（lW时/（）；当Ra.r（c.+8时KG）V0于是函数州外在区间（l.c）上单讷递增，在区间（c,+8）上单调递减/（1） = 0 爪c） = 9 当.L 1 8时JrCr）f 0.函数qQ） = /（.r）-kx有3个不同的零点，等价于方程/（i） =kx有3 个解，即函数/（r）的因象与直线有3个交点，作出函数/行）与交线丫=左下的大致图象.如下图所示.教学参考答案(附中版)一 教学参考答案(附中版)一 数学名考答案（附中

11、版）一 g_0当底线y=日与函数AQ）相切时，设切点坐标为（我,臂），根据导数的几何意义可得：女=学三-= 士春三，解得#=亲4=,要使得函数f（z）的图象与直线尸丘有3个交点，数形结合可如的取值 范囹为（0传）.故冬素为（0,右）.四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【解析】（D选，把（。+切2 =/+W6 .整理得,斯+/ / =昉，由余弦定理有cos C=2ab 2ab 2选/q=J5csin Aacos C由正弦定理得；sin A=s/Tsin Csin Asin Acos C,VsinA-/3sin C-cos C=l即 sin(C1-)=y,

12、文(XC7t,Tr今，-c市=手用c=?选，:Y%6)sin A+(2a)sin B=2csin C, 由正弦定理得：(2d6)q+(26a)6=2d 9 即/十一仇 .厂_斯十一+8S C-荻V0C7r,AC=-f ；由可知（=冷，O在3BC中，由余弦定理得4+历-2abcos C=3,即/十/一而=3,（。+力2 -3=3 cos ZABC= 20, AAC= 2#,D为AC中点，.CD=宿，又 VB5=y （或+电,，访=（BA2 +2BA- BC+BC0 ） = 1,，BD= 1, BD +BC2 = CO ,BCBD.二二面角P-BD-C为直二面角，工平面8CD_L平面PRO,BC_

13、L平面PBD.又TBCU平面PBC, /.平面PBC_L平面PBD.以13为坐标原点收:所在直线为.r轴3D所在直我为,v轴，过点3且垂直于平而 BCD的直线为二轴建立如图所示的空间直角坐标系.可求得B(0.0,0).C(2.0.0). D(0.1.0)P(0,2, 2).因为E为PC的中点.CF= 3 F.正所以E(l. b 1 ).厂(方.0.0).A=(-2.1.0).DE=科 =(1 万/)E- n=0,乙。、加=1 /_=电所以二面二DEF的余弦侦为啰. 12分斤居3319.【解析】(1)设前6项的公差为则力=氏一2=-1+2必=6+露=-1+3(/am 成等比数列，足=化生=(3-

14、 1尸=421-1解得4=1“/=杀舍.46 时a=公 I(一3)，/=一4.*/：； = 19a0=2 则 q=2 时 (f u = 2,1 , 4.&6. /4,W54.V5. ；% = (或为=(或% =6. 12 ”5，2 $ 心5. /(2)由(1)可得:小 ) ：-3,一2一10,匕2,4,8则当 m= 1 时 W：+如+。3 = - 6=24：,当 l2 时0/+。| = -342：；。1=0卬2 +a$+a：如,心，当 ，=3 时，”1 m I 田=0=。？：“一或，=4 时.小+$ +姓=3，|3。6=0、4|十%一期。41小a； 当，心5时假设存在)使得a+。“ 7 +a”

15、-z = 4则有 2M 5 (11-2-4 )=2：7T 5 = 2 ,2-7=22m丁心3工2,“-73二2加；2：=87.从而7=2,；无解.二7心5时.不存在这样的JH.使得I +6 2 =。皿必八 综上所述“=1或，=3. 12分.【解析】(1 )/()-0rKin,由,工0得 1 sin二一LI【则/G)= c sin 0即/(1)在0一入力上为潸函数.故/Q)/3)=2即)24 分数学参考答喋（附中版）一 教学参考答案（附中版）一 (2)由 /(jc)=aez + cos 工=0,得=cos z设函数（=-二 M*nE0,k， 则* （幻=皿邛区名令la)=o,得8=空.即x6 o

16、,卷时,(Jc)0,j：e (竽,时(r) V0,所以力Cn）在（09苧）上单调递增9在7T）上单调递减,.又因为入（0） = l,AG） = e ，=竽）=考6 .所以当ee ige学）时，方程0= 一W在区间。,用内有两个不同解，即所求实数a的取值范围为e ige t）. 12分.【解析】依题意可得：参加甲游戏的概率为pi=4=4 V O参加乙游戏的概率为p2=4=4 O 0设事件4为“有2个人参加甲游戏”，.p（A）=a,）,.p（A2）hQ（/y6y=畀4分（2）设事件B为“甲游戏人数大于乙游戏人数%/B=A$ U A，P（B）=P（AUAC=PAQ+PA,）=ClKy （卷）+0信）=看 8分(3注可取的值为0,2,4,PC)=p(A2)=q (4)2 (等)2=枭P(e=2=P(A1)+PCAJ) = q(-1-)(-|-)34-Ci (y)3(f )=1t出=0X*+2X,+4x|f=. 12分P(6=4)=P(4 )+P(A ) = C$ (等)+0()=居，W024P82740811781 TOC o 1-5 h z 22.【解析】（1）依题意；| MP | = | MR | , 1分且 |MR| + |MQ| = |MQ| + |MP = | PQ| =494= |RQ| , 2 分由椭圆定义知点”的轨迹为以R,Q为焦点，长轴长为4笈,焦距为4的椭