2021-2022学年高二物理竞赛课件：薛定谔方程的建立与算符

1、薛定谔方程的建立与算符薛定谔方程的建立与算符 1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。 几个星期后，薛定谔(Schrdinger)又作了一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就是著名的薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。薛定谔 (Erwin Schrdinger

2、, 18871961) 薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在量子化就是本征值问题的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为什么是生命 活细胞的物理面貌的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。 奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱

3、及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。1、自由粒子的薛定谔方程分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数非相对论E=p2/2m把波函数与方程E=p2/2m相乘注意到算符与物理量的替代关系非相对论粒子有关系式得自由粒子的薛定谔方程令其作用于波函数 上物理量与算符替代关系动量用算符表达2.力学量用算符表达 坐标用算符表达算符(operator) 对波函数的运算、变换或操作。算符只是一种抽象的数学记号，本身并不象经典力学中的力学量那样具有实在的物理含义。 若粒子在势场中，势能函数为U (x , t ) ，则粒子总能量3、势场中运动的粒子的薛定谔方程 算符对应关系：作用于波函数，得三维：引入拉普拉斯算

4、符薛定谔方程：引入哈密顿算符(Hamiltonian operator)4、关于薛定谔方程的说明是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理方程中含有虚数 i它的解 是复函数，复数不能直接测量。而 的模方代表概率密度，可测量。是量子力学的一个基本原理；是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函数的演化规律。若1和2是方程的解，则它们的线性组合（C11C22）也一定是方程的解。薛定谔方程关于时间是一阶的，这不同于经典波动方程（时间二阶）薛定谔方程的解满足波函数的性质,因而在求解薛定谔方程时，还要加上一些条件：波函数平方可积，且满足归一化条件；波函数及其对空间的一阶导数连续；波函数必须单值，有限。5、定

5、态薛定谔方程除以 ，得若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程，分离变量代入薛定谔方程，得=E (常数)可分为以下两个方程：含时薛定谔方程上式 左边是 t 的函数右边是的函数且两变量相互独立两边必须等于同一个常量时才成立解为振动因子1) E 的量纲是能量的量纲 所以E 代表粒子的能量2) C 可以是复数3) 从推导过程可知 方程(1)的解与具体势函数无关 所以在类似问题中作为已知结果使用4) 物理上主要任务是解方程(2)不含时薛定谔方程、定态薛定谔方程、能量本征方程从数学上讲，E 不论取何值，方程都有解。 的具体形式依赖于方程的解是什么呢?从物理上讲，E只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条

6、件（单值、有限、连续）定态(stationary state): 能量取确定值的状态满足方程的特定的E 值，称为能量本征值各E值所对应的 叫能量本征函数，故该方程又称为：能量本征值方程定态波函数:薛定谔方程的特解若能量本征值取一系列分立的值 En，n=1,2,3,相应的能量本征函数为n，n=1,2,3,薛定谔方程的一系列定态解为通解可写成定态解叠加的形式 式中Cn称为展开系数。给定初始时刻的状态(x,0)， Cn可按下式计算1).定态薛定谔方程，没有初始条件，只与边界条件有关；2).在定态下：粒子在空间的概率分布不随时间变化；能量不变；力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。量子力学唯一可以和实验进行比较的是力学量的平均值 平均值的假定方程解为：A,B是积分常数，由边界条件确定。整理得 令 (x)在x=0时应连续，有：得A=0。