求轨迹方程的常用方法例题及变式

1、求轨迹方程的常用方法:题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M |P(M)直接翻译成x,y的形式f(x,y) 0 ,然后进行等价变换，化简f(x,y) 0 ,要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线上所有的点 适合这个条件而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM和AN ,分别交x, y轴于点M , N ,求线段MN中点P的轨迹方程。0 3 2y 32x 2 0 2解：设P点坐标为P(x,y),由中点坐标公式及 M,N在轴上得M(0,2y)

2、, N(2x,0)(x,y R)1 (x 1),化简得 4x 6y 13 0 (x 1)3当x 1时，M(0,3), N(2,0),止匕时MN的中点P(1,)它也满足万程4x 6y 132以中点P的轨迹方程为4x 6y 13 0变式1已知动点M(x,y)到直线l:x 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍。(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点。若A是PB的中点，求直线m的斜 率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2 动圆M过定点P( 4,0),且与圆C ：x2 y2 8

3、x 0相切，求动圆圆心M的轨迹方 程。解：根据题意|MC| |MP| 4,说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线a 2, c 42匕1122故动圆圆心M的轨迹方程为 4变式239,求 ABC的重心的轨迹方程.在ABC中，BC 24, AC, AB上的两条中线长度之和为解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1,M为重心，则有BM CM：M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆,其中c 12, a22:所求 ABC的重心的轨迹方程为 幺1(y 0) 169 25题型三相关点法 此法的特点是动点M (x, y)的坐标取决于已知曲线 C上的点(x

4、, y)的坐标，可先用x, y 来表示x, y,再代入曲线C的方程f (x, y) 0 ,即得点M的轨迹方程。例3如图，从双曲线x2 y2 1上一点Q引直线x y 2的垂线，垂足为N ,求线段QN的中点P的轨迹方程分析：从题意看动点P的相关点是Q, Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1)，则点N的坐标为(2x Xi ,2y y)N在直线x y 2上,2x Xi 2y y1又 PQ垂直于直线x y2,j 1, x x1y1Xi由解得Xiy13-x21一 x212y32y又点Q在双曲线x2 y21 上，Xi2 y,1 代入，得动点P的轨

5、迹方程为2x2 2y22x 2y 1 0变式3已知 ABC勺顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A在抛物线y X2上运动，求4ABC的重心G的轨迹方程.解：设G(x, y) , A(%, y0),由重心公式，得3 1 X03上,3x0V。3x 2,一 、又. A（x。，y。）3y.在抛物线y x2上，y x2 .将，代入，得3y (3x 2)2( y 0), 即所求曲线方程是y 3x2 4x 4(y 0).3题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数,即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合 适的参数，因为参数不同

6、，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、 线段长度等。例4已知线段AA 2a ,直线l垂直平分AA于O ,在l上取两点巳P ,使有向线段群,OPu 满足OP OPu 4,求直线AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图2,以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 0),则由题意，得P Q4 .由点斜式得直线AP, AP的方程分别为y Lx a), y -(x a), ata两式相乘，消去t ,得4x2 a2y2 4a2(y 0).这就是所求点M的轨迹方程.2变式4设椭圆方程为x2匕1,过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A, B, O

7、是坐标原 4点，l上的动点P满足OP joA OB),点N的坐标为(1),当l绕点N旋转时，求: (1)动点P的轨迹方程；(2) |NP|的最小值与最大值.分析：(1)设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出x1 x2,y1 y2 ,进而表示出点Px的二次函数。设其斜率为k,则l的方程为坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将|NP|表示成变量 解：（1）法一：直线l过点M （0,1）,当l的斜率存在时,y kx 1。设 A(xi, yi),B(x2,y2),由题设可列方程为y kx 1 d2y2x彳1将代入并化简得:(4 k2)x22kx 3 0,2kx1所以y1x248y24 kk2于是OP1 ,

8、 _(OA OB)2xx2 y2,上)(214 k2 ,4 k设点P的坐标为（x,y）,则 消去参数k得4x2 y2 y当直线l的斜率不存在时,A, B的中点坐标为原点（0,0）,也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2 y2法二:设点P的坐标为（x, y）,因庆汉* B（x2, y2）在椭圆上,所以2 xi2 x22 y42 y24一得:2xi所以(x1x2)(x121/2x2-(Y14 1(x2) 一(4v2)0y2)(yiV2)0当x1x2时，有x x2 (y y2)y1y20 4x1 x2x22* 2yy2xx2将代入并整理得4x2 y2 y 0当XiX2时，点A, B的坐标分别为（0,2）、(0, 2),这时点P的坐标为（0,0）,也满足，所以点P的轨迹方程为2 x 彳1