三年高考2016-2018高考数学试题分项版解析专题17椭圆理含解析

1、专题17椭圆考纲解读明方向考纲解读考点内容解读要求常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握椭圆的定义、几何图 形、标准方程及简单性质掌握选择题 解答题2.椭圆的几何性质掌握填空题 解答题3.直线与椭圆的位置关系掌握解答题分析解读1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主，与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强，分值约为12分，难度较大.2018年高考全景

2、展示221.【2018年理数全国卷II 已知也是椭圆 口 力的左，右焦点，力是匚的左顶点，点P在过月且斜率为台的直线上，为等腰三角形，FiF二120 则。的离心率为2111A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为工为等腰三角形，所以p=RF2=2c,由HP斜率为6得,lam-PAF61a sinPAFj = -=, cqsLPAFy =2 g 2由正弦定理得2c日十所以n户1 I s血引了犀不薜点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于PF、 sinZ.PAFAI7 7 sinAPF,选

3、D.血的方程或不等式，再根据公也C的关系消掉h得到白了的关系式，而建立关于口也C的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等2.【2018年浙江卷】已知点 R0, 1),椭圆4+y2=mmi)上两点A, B满足=2由，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大.【解析】分析:先根据条件得到33坐标间的关系代入椭圆方程解得3的纵坐标，即得3的横坐标关于书 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解二设。3。巩”上)，由=4昭 =内=2d - 1),一心=2)因为在椭圆上厮以干+优=见三+金=,二二+L 3尸=m.二千十 (y; -5;=- 44444T与十+=用对应相激得打

4、=,当且仅当m = 5时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决3.【2018年理北京卷】已知椭圆22x y,M ：一斗乙=1(1 bAO) a2 b222x yN ： 二 1,双曲线 / n2 若双曲线N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为【答案】【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中加2，产关系，即得双曲线N的

5、离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为匚+也匚，再根据椭圆定义得E +娘匚=2a ,解得椭圆M的离心率. 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为匚+也匚，再根据椭圆定义得f- = L = WL1.匚+ 4丸-二勿，所以椭圆M的离心率为1 1 +追双曲线N的渐近线方程为n n2 2n,_l v, /-=tan 3y -i -xQ 2 Q陶，由题意得双曲线 N的一条渐近线的倾斜角为3m ,5 m2 + n2 m2 + 3m2 a e = 4.e = 2.m2m2点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于“也亡的方程22X X4.【2018年理数天

6、津卷】设椭圆 /或不等式，再根据。也0的关系消掉人得到日4的关系式，而建立关于由瓦广的方程或不等式，要 充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.1（ab0）的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为3，点A的坐标为（瓦0）,且|FHHM = 6蠢.（I ）求椭圆的方程;（II ）设直线l : 与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q若她=也“微11 4（O为原点）1 11（np或而 TOC o 1-5 h z 22xy + - = 1【答案】（1）94;【解析】分析：（I ）由题意结合椭圆的性质可得a=3, b=2.则椭圆的方程为9 4.（n）y = kx设点P的坐标为（

7、xi,yi）,点Q的坐标为（X2,y2）,由题意可得5yi=9y2.由方程组z2+/14=16k可得 JJM + 4.由方程组1 11方程可得k的值为2或28c2 _ 5详解：（I）设椭圆的焦距为2c,由已知知又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得, |FH|=q, |四=戏5,由|F用“M = 6点，可得ab=6,从而a=3, b=2.所以，椭圆的方 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20 o Current Document + = 1程为9 4.（n）设点P的坐标为（Xi, yi）,点Q的坐标为（X2, y2）.由已知有yy20,故_ y2nP

8、QsinAOQ = y1-y2 又因为一而不而，而/ OAB*,故MQI .由， n Ir vAQ_5/2 .x2 y2 _ 6k-51.Yi OQ1- 1 .y1 （ , 27WQI 4,可得5yi=9y2.由方程组94 消去X,可得 49k +4,易f y=kx,y =知直线AB的方程为x+y- 2=0,由方程组消去x,可得一万+ 1 .由5yi=9y2,1 11f2 2k = n K =-=可得5（k+1）= 六便c+4,两边平方，整理得6乩-50+11 : 口，解得 2,或 叫所1 11以，k的值为2或28 TOC o 1-5 h z 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注

9、意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力, 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22X VC ： 一 + =1.5.【2018年全国卷出理】已知斜率为 支的直线1与椭圆4 3 交于4, 8两点，线段题的中点为M。，间（帽）.kb0)的左、右顶点分别为A,A且以线段AA为直径的圆与直线一 相切，则C的离心率为A 3B 3cD.【答案】A【解析】试题分析：以线段4域为直径的圆的图心为坐标原点iQO,半径为尸=白，圆的方程为直线b,-e+lab = 0与圆相切，所以图心到直线的距离等于半径，即：d = /二，

10、-口，整理可得出 = 3b* t 即4* = 3口=亡优=3c,从而二3j椭图的离心率 = = 3=卓，a* 34 V 3故选，【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系(或离心率的取值【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 范围)，常见有两种方法：求出a, c,代入公式e= 0 ；只需要根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2=a2c2转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等 式）即可得e（e的取值范围）.3.12017天津，理19】设椭圆| 的左焦点为 囚，右顶点为J ,离心率为m.已

11、知回是抛物线 一的焦点，可到抛物线的准线二的距离为s.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设m上两点J , M关于回轴对称，直线 山 与椭圆相交于点 （R异于点K ）,直线回与国轴相交于点 药.若 g 的面积为 国，求直线 回的方程.【答案】（1） I X 1, 目.（2）I X 1,或 I X I【解析】试题分析：由于 回为抛物线焦点，囚到抛物线的准线1的距离为m，则 目 ，又椭 圆的离心率为 可，求出 三，得出椭圆的标准方程和抛物线方程； 则 三，设直线 回方程为设一 ,解出 三两点的坐标，把直线 山 方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出回 所在直线方程，求出点可的坐标，最后根据 日

12、 的面积为 也解方程求出3 ,得出直线目的方程.试题解析：（I）解：设 司的坐标为 三| .依题意， 国 习 WI ,解得四，叵,M ,于是 | N J .所以，椭圆的方程为声I ,抛物线的方程为（n）解：设直线 占的方程为一 .，与直线引的方程 皿 联立，可得点臼,故3.将11与联立，消去国，整理得. ，解得回，或 I X .由点异于点,可得点|1.由叵I, 可得直线回的方程为 r = ，令叵,解得,故三 .所以.又因为日的面积为0，故I |,整理得 I 一 ,解得区|,所以.卜I .所以，直线凹的方程为 【X 1,或 X I .【考点】直线与椭圆综合问题不论第一步利用椭圆的离【名师点睛】圆

13、锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题,心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步 联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键4.12017江苏，17 如图，在平面直角坐标系 区 中，椭圆 .1 的左、 右焦点分别为D ,可，离心率为仲,两准线之间的距离为 8.点可在椭圆目上，且位于第象限，过点 可作 直线回 的垂线 入过点可作直线 回 的垂线0 .(1)求椭圆目的标准方程；(2)若直线力的交点日在椭圆可上，求点可的坐标.【答案】（1）（2） x1【解析】解：（1

14、）设椭圆的半焦距为 c.因为椭圆E的离心率为1 ,两准线之间的距离为 8,所以a ,叵,解得 LJ ,于是 一I ,因此椭圆E的标准方程是E .（2）由（1）知， 目,曰 .设 ，因为点回为第一象限的点，故 一.当 二J时，目与日相交于与题设不符.当二J时，直线目的斜率为 回，直线习的斜率为 习.因为LEJ , 目，所以直线日的斜率为 凶 ，直线目的斜率为 国，从而直线日的方程：I k| 直线0的方程:由，解得所以 X I因为点回在椭圆上，由对称性，得又同在椭圆E上，故 S13因此点p的坐标为【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方要充分利用椭圆和双曲线的几

15、何性质、点在曲【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系, 程组，利用韦达定理或求根公式进行转化， 线上则点的坐标?足曲线方程.2016年局考全景展不1.12016高考浙江理数】已知椭圆 G：曰+y2=1（m1）与双曲线G：q-y2=1（n0）的焦点重合，ei, e2分别为C, G的离心率，则（）A. mn 且 eie21B . mn 且 ei&1C , m1D . mn且 ee M: t? 1 .故选 A.考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质.【易错点睛】计算椭圆 习的焦点时，要注意;计算双曲线目的焦点时，要注思.否则很容易出现错误. TOC o 1-5 h z 2.12016高

16、考新课标3理数】已知同为坐标原点，区是椭圆回：的左焦点，分别为国的左，右顶点.回为包上一点，且 匕口 轴.过点回的直线1与线段 回交于点回，与耳轴交于点回.若直线 山经过回的中点，则国的离心率为（）（与目（B）m（C）m（D）1【解析】 试题分析：由题意设直线目的方程为 I K I ,分别令 3与臼I得点X ，整理，得 区| ,所以椭圆离心率为凶，故选A.考点：椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 色 的值，进而求得21的值；（2）建立 山 的齐次等式，求得 三或转化为关于21的等式求解；（3）通过特殊 值或特殊位置，求出 3 .3.12016高考

17、江苏卷】如图，在平面直角坐标系 回 中，区是椭圆X 的右焦点，直线区 与椭圆交于 国 两点，且，则该椭圆的离心率是 .【答案】0【解析】由题意得,因此考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出山，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 山的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于巴的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值4.12016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆 H （ 山）的右焦点为回，右顶点为回，已知 X J ,其中国 为原点，回为椭圆的离心率.（I）求椭圆的方程；（n）设过点回的直线与椭圆交于点 回（国不在目

18、轴上），垂直于3的直线与3交于点 日,与Z1轴交于点 回，若,且 一,求直线的二斜率的取值范围.回 （n）试题分析：（I）求椭圆标准方程，只需确定量，由试题解析：(1)解：设 区J ,由:XL ,即 X ,可得,又 L _ I ，所以 山 ，因此 山，所以椭圆的方程为士.(2)( n)解：设直线目的斜率为目( 臼)，则直线的方程为-I .设 L=J :由方程组|司 ，消去可，整理得 解得皿，或 臼 ,由题意得臼 ,从而 回.由(I)知，设，有 【x I , X I .由二,得 三二，所以一,解得.因此直三消去2J ,解得 日 .在二!,即 . 一 ,化简得山即 I ,解得 或所以，直线的斜率的

19、取值范围为考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.5.12016高考浙江理数】(本题满分15分)如图，设椭圆 叵 (a1)(I )求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用 a、k表示)；(II )若任意以点A (0,1 )为圆心的圆与椭

20、圆至多有 3个公共点，求椭圆离心率的取值【答案】(I) x ； “I) 叵试题分析：(I)先联立和 叵，可得目，回，再利用弦长公式可得直 线 1 被椭圆截得的线段长；(II )先假设圆与椭圆的公共点有 百个，再利用对称性 及已知条件可得任意以点 三为圆心的圆与椭圆至多有 可个公共点时，目的取值范围, 进而可得椭圆离心率的取值范围.试题解析：(I)设直线三I被椭圆截得的线段为山，由目, 尸I因此(II )假设圆与椭圆的公共点有 回个，由对称性可设 四轴左侧的椭圆上有两个不同的点三，记直线 山,M的斜率分别为目，目，且目， 目， H由(I)知，由于13 ,目，口得因此因为式关于 回，目的方程有解的充要条件是因此，任意以点 三I为圆心的圆与椭圆至多有m个公共点的充要条件为3 得，所求离心率的取值范围为区考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率.【思路点睛】（I）先联立 LLI 和 x,可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线 1 被椭圆截得的线段长；（II ）利用对称性及已知条件可得任意以点R1为圆心的圆与椭圆至多有 四个公共点时，旧的取值范