复变函数 -第3讲

1、 第三讲解析函数 解析函数的充要条件1第一节 解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念2一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:3在定义中应注意:4例1 解5例2 解67例3 解892.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.证10证毕113.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.求导公式与法则:1213二、解析

2、函数的概念1. 解析函数的定义142. 奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.15例4 解由本节例1和例3知:161718例5解19定理以上定理的证明, 可利用求导法则.20根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.21第二节 函数解析的充要条件 一、主要定理22一、主要定理定理一23证(1) 必要性.2425(2) 充分性.由于262728证毕2930二. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解 (1)

3、 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则31解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny32仅在点z = 0处满足C-R条件，故解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则33例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f (z)0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为 解

4、利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.34ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=， k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的, 它们仍互相正交。35三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.36思

5、考题37思考题答案反之不对.放映结束，按Esc退出.38本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内 容 简 介第三节 初等函数39一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数40一、指数函数1.指数函数的定义:41指数函数的定义等价于关系式:422. 加法定理证4344例2 解求出下列复数的辐角主值:454647例3 解48二、对数函数1. 定义49其余各值为特殊地, 50例4 解注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.51例5解522. 性质53证

6、 (3)证毕54三、乘幂 与幂函数1. 乘幂的定义注意:5556特殊情况: 5758例7解答案课堂练习59例8解602. 幂函数的解析性它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,61它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,62四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义将两式相加与相减, 得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.6364有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.65(注意：这是与实变函数完全不同的)66其他复变数三角函数的定义67例11解682. 双曲函数的定义69它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以 为周期的周期函数,70五、反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义两端取对数得71 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:2. 反双曲函数的定义72六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性2. 负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数73思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?74思考题答案 两者在函数