11.3　余弦定理、正弦定理的应用 学案

1、113余弦定理、正弦定理的应用学习指导核心素养1.理解测量中的有关名词、术语的确切含义2.会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、角度等问题3.能够运用正、余弦定理解决三角形中的面积等综合问题1.直观想象、数学建模：正、余弦定理的实际应用2.直观想象、数学运算：正、余弦定理在平面几何中的应用1实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫作基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)南偏西60(指

2、以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角2.解三角形应用题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形).(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在同一个三角形中，建立一个解三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解3三角形的面积公式(1)S eq f(1,2)aha eq f(1,2)bhb eq f(1,2)chc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高).(2)S eq f(1,

3、2)ab sin C eq f(1,2)bc sin A eq f(1,2)ac sinB(3)S eq f(1,2)(abc)r(r为ABC内切圆的半径).三角形的面积公式S eq f(1,2)ab sin C与原来的面积公式S eq f(1,2)ah(h为a边上的高)的关系为hb sin C，实质上b sin C就是ABC中a边上的高h.1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)方向角与方位角是同一概念()(2)方位角的范围是 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2).()(3)北偏西10指的是方位角()(4)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北44方向()答案：(1

4、)(2)(3)(4)2轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A50 n mileB70 n mileC90 n mileD110 n mile解析：选B如图，设轮船A和轮船B两个小时后分别到达点C，D两处，则OC50，OD30，DOC120.由余弦定理可得CD2OC2OD22OCOD cos 12050230225030( eq f(1,2)2 5009001 5004 900，所以CD70 n mile.3在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC的值为()A

5、eq f(1,2)B eq f(r(3),2)C eq r(3)D2 eq r(3)解析：选BSABC eq f(1,2)ABAC sin A eq f(1,2)12 eq f(r(3),2) eq f(r(3),2).4.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC60 m，天文台最高处B的仰角为45，天文台底部C的仰角为15，则天文台BC的高为_m.解析：由题图，可得B45，BAC30，故BC eq f(ACsin BAC,sin B) eq f(60sin 30,sin 45)30 eq r(2)(m).答案：30 eq r(2)探究点1测量距离问题 海上A，B两个小岛相距10

6、 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是_【解析】如图，在ABC中，C180(BA)45，由正弦定理，可得 eq f(BC,sin 60) eq f(AB,sin 45)，所以BC eq f(r(3),r(2)105 eq r(6)(n mile).【答案】5 eq r(6) n mile测量距离问题的解题思路选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中 1要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距 eq r(3) km的C，D两点，并测得

7、BCA75，BCD45，ADC30，ADB45，则AB()A2 kmB eq r(5) kmC3 kmD eq r(6) km解析：选B在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD eq r(3) km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，所以BC eq f(r(3)sin 75,sin 60) eq f(r(6)r(2),2)(km).在ABC中，由余弦定理，得AB23 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),2) eq sup12(2)2 eq r(3) eq f(r(6)r(2),2)cos 755，所以AB eq r(5) km.2如图，

8、若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB6 m，ABD60，DBC90，DAB75，试求C，D之间的距离解：ABCABDDBC150.因为ABCD，所以C18015030.在ABD中，AB6，ADB180756045，所以AD eq f(ABsin ABD,sin ADB) eq f(6sin 60,sin 45)3 eq r(6)，所以BD eq f(ADsin DAB,sin ABD) eq f(3r(6)sin 75,sin 60)33 eq r(3).在RtDBC中，CD eq f(BD,sin C)

9、eq f(33r(3),sin 30)66 eq r(3).所以C，D之间的距离为(66 eq r(3)m.探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得 eq f(600,sin 45) eq f(BC,sin 30)，解得BC300 eq r(2) m在RtBCD中，CDBCtan 30300 eq r(2) eq f(r(

10、3),3)100 eq r(6)(m).【答案】100 eq r(6) eq avs4al()测量高度问题的解题思路这里要解决的主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度 如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60和45，AB长为40 m，斜坡与水平面成30角，则铁塔CD的高为_

11、m.解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40 m，在ACD中，由正弦定理，得 eq f(AC,sin ADC) eq f(CD,sin CAD)，即 eq f(40,f(r(3),2) eq f(CD,f(1,2)，解得CD eq f(40r(3),3).答案： eq f(40r(3),3)探究点3测量角度问题 如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处( eq r(3)1)n mile的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2 n m

12、ile的C处的我方缉私船奉命以10 eq r(3) n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间【解】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10 eq r(3)t，BD10t，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABAC cos A( eq r(3)1)2222( eq r(3)1)2cos 1206.所以BC eq r(6).又因为 eq f(BC,sin A) eq f(AC,sin ABC)，所以sin ABC eq f(ACsin

13、 A,BC) eq f(2sin 120,r(6) eq f(r(2),2)，又ABC(0，60)，所以ABC45，所以B点在C点的正东方向上，所以CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得 eq f(BD,sin BCD) eq f(CD,sin CBD)，所以sin BCD eq f(BDsin CBD,CD) eq f(10tsin 120,10r(3)t) eq f(1,2).又因为BCD(0，60)，所以BCD30，所以缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，所以CDB30，所以BDBC，即10t eq r(6).所以t eq f(r(6),10) h

14、15 min.所以缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15 min.测量角度问题的基本思路(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解 若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15方向上B北偏西15方向上C北偏东10方向上D北偏西10方向上解析：选B如图所示，ACB90.又因为ACBC，所以CBA45.因为30，所以90453015.所以点A在点B的北偏西15方向上探究点4三角形中

15、的几何计算 已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积【解】(1)连接BD，则由题设及余弦定理得，BD2BC2CD22BCCD cos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDA cos A54cos C由得cos C eq f(1,2)，故C60，BD eq r(7).(2)四边形ABCD的面积S eq f(1,2)ABDA sin A eq f(1,2)BCCD sin C eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)12f(1,2)32)sin 602 eq r(3).三角形中几何计算问题的解题思路(1

16、)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件 (2021南通调研)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos2Acos2Ccos2B1sinA sin C(1)求角B的大小；(2)若b eq r(3)，求2ac的最大值解：(1)因为cos2Acos2Ccos2B1sin A sin C，所以(1sin2A)(1sin2C)(1sin2B)1sinA sin C所以sin2Bsin2Asin2CsinA sin C所以由正弦定理可得b2a2c2ac

17、.所以由余弦定理可得cos B eq f(a2c2b2,2ac) eq f(1,2).因为B(0，)，所以B eq f(,3).(2)记R为ABC外接圆半径因为b eq r(3)，B eq f(,3)，由正弦定理可得 eq f(b,sin B)2R2.所以2ac4R sin A2R sin C4sin A2sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)4sin A2sin eq f(2,3)cos A2cos eq f(2,3)sin A5sin A eq r(3)cos A2 eq r(7)sin (A) eq blc(rc)(avs4alco1(0f(,2)，其中tan

18、 eq f(r(3),5).因为0A eq f(2,3)，所以A eq f(2,3)，结合0 eq f(,2)可知2ac的最大值为2 eq r(7).1若P在Q的北偏东4450方向上，则Q在P的()A东偏北4510方向上B东偏北4550方向上C南偏西4450方向上 D西偏南4550方向上解析：选C如图所示2如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD200 m，点C位于BD上，则山高AB等于()A100 eq r(2) mB50( eq r(3)1)mC100( eq r(3)1)mD200 m解析：选C设ABx m，在RtACB中

19、，ACB45，所以BCABx.在RtABD中，D30，则BD eq r(3)AB eq r(3)x.因为BDBCCD，所以 eq r(3)xx200，解得x100( eq r(3)1).故选C3已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v km/h沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处，若cos eq f(3,4)cos ，则v()A60B80C100D125解析：选C画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2200215022200150cos ()，由正弦定理得 eq f(150,sin ) eq f(200,sin )，所以sin

20、eq f(4,3)sin 又cos eq f(3,4)cos ，sin2 cos21，解得sin eq f(3,5)，故cos eq f(4,5)，sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，故cos () eq f(12,25) eq f(12,25)0，代入解得v100.4在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向北偏东30方向刮去，风速是20 km/h.水向正东方向流去，流速是20 km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h.解析：如图所示，由题意知四边形OACB为菱形，| eq

21、o(OA,sup6()|20，| eq o(AC,sup6()|20，OAC120，由余弦定理知| eq o(OC,sup6()|220220222020cos 1201 200，故| eq o(OC,sup6()|20 eq r(3)，COY303060.答案：6020 eq r(3)A基础达标1某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A500米B600米C700米D800米解析：选C由题意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250

22、022300500cos 120，所以AB700米故选C2若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向走了80 m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110 mB112 mC220 mD224 m解析：选A如图，设CD为金字塔，AB80 m设CDh，则由已知得(80h) eq f(r(3),3)h，h40( eq r(3)1)109.从选项来看110最接近，故选A3有一坡面长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长()A5 mB10 mC10 eq r(2) mD1

23、0 eq r(3) m解析：选C如图，BDA75，ACB30，DBC45，BD10 m由正弦定理，得 eq f(BD,sin BCD) eq f(CD,sin DBC)，所以CD eq f(BD sin DBC,sin BCD) eq f(10sin 45,sin 30)10 eq r(2)(m).4一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这艘船的速度是()A5 eq r(2) n mile/hB5 n mile/hC10 eq r(2) n mile/hD10

24、n mile/h解析：选D如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10 n mile，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5 n mile，所以这艘船的速度是10 n mile/h.故选D5(2021无锡检测)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过80 s后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔为()A5 000( eq r(3)1)mB5 000( eq r(3)1)mC5 000(3 eq r(3)mD5 000(5 eq r(3)m解析：选C如图，过点C作

25、CDAB于点D.由题意知A30，CBD75，则ACB45，AB90080 eq f(1,3 600)20(km).所以在ABC中，由正弦定理，得BC10 eq r(2) km.因为CDAD，所以CDBC sin CBDBCsin 7510 eq r(2)sin 7555 eq r(3)(km).山顶的海拔为20(55 eq r(3)km5 000(3 eq r(3)m.故选C6如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 eq r(2) mm，AB eq r(29) mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cos ACB eq f(32（2r(2)）2（r(29

26、)）2,232r(2) eq f(r(2),2).因为ACB(0，)，所以ACB eq f(3,4).答案： eq f(3,4)7湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75方向，则小岛到公路的距离是_km.解析：如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得 eq f(BC,sin CAB) eq f(AB,sin ACB)，BC eq f(sin 15,sin 60) eq f(r(6)r(2),2r(3)(km).设C到直线AB的距离为d，则dBC

27、 sin 75 eq f(r(6)r(2),2r(3) eq f(r(6)r(2),4) eq f(r(3),6)(km).答案： eq f(r(3),6)8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，则塔高AB_ m解析：在RtABC中，ACB45.设ABh，则BCh，在RtABD中，ADB30，所以BD eq r(3)h.在BCD中，CBD30，CD200 m，由余弦定理可得40 000h23h22h eq r(3)h eq f(r(3),2)，解得h20

28、0(负值舍去)，所以塔高AB200 m.答案：2009.如图，在ABC中，B30，D是BC边上的一点，AD5，AC7，DC3.(1)求ADC的面积；(2)求边AB的长解：(1)在ADC中，由余弦定理得cos ADC eq f(AD2DC2AC2,2ADDC) eq f(523272,253) eq f(1,2).因为ADC为三角形的内角，所以ADC120，所以sin ADC eq f(r(3),2).所以SADC eq f(1,2)ADDCsin ADC eq f(1,2)53 eq f(r(3),2) eq f(15r(3),4).(2)在ABD中，ADB60，由正弦定理得 eq f(AB,

29、sin ADB) eq f(AD,sin B)，所以AB eq f(5,f(1,2) eq f(r(3),2)5 eq r(3).10空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45，同时在气球的南偏东60方向的地面上有一点B，在此处测得气球的仰角为30，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度解：如图，设CDx m，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx m.在RtBCD中，CBD30，所以CB eq f(CD,tan 30) eq r(3)x(m).在ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，所以2662x2(

30、eq r(3)x)22x eq r(3)x eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2).解得x38 eq r(7)(负值舍去).所以气球的高度为38 eq r(7) mB能力提升11.如图，A，B两船相距10 n mile，B船在A船南偏西45方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的 eq r(2)倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为()A南偏西30 B南偏西15C南偏东30 D南偏东15解析：选B设B船的速度为v，A船的速度为 eq r(2)v，经过t时，A船在C点追上B船，则BCtv，AC eq r(2)tv，ABC135，如图所示：在ABC中，由

31、正弦定理得， eq f(AC,sin 135) eq f(BC,sin BAC)，所以sin BAC eq f(BCsin 135,AC)tv eq f(r(2),2) eq f(1,r(2)tv) eq f(1,2).因为0sin BAC90，所以BAC30，则A船行驶的角度为南偏西453015.故选B12.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为()A80 eq r

32、(3)B80C160D80 eq r(5)解析：选D在ADC中， ADCADBCDB13515150，所以DAC180ACDADC15，所以ADDC80，在BDC中，DCBACBACD12015135，所以DBC180BCDBDC30.所以 eq f(BD,sin BCD) eq f(DC,sin DBC)，所以BD eq f(80sin 135,sin 30)80 eq r(2).在BDA中， AB2AD2BD22ADBDcos 135802(80 eq r(2)228080 eq r(2)( eq f(r(2),2)8025，所以AB80 eq r(5)，故选D13已知ABC的三个内角满足2BAC，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_解析：由2BAC，及ABC知，B eq f(,3).在ABD中，AB1，BD eq f(BC,2)2，所以AD2AB2BD22ABBD cos eq f(,3)3.因此AD eq r(3).答案： eq r(3)14我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章