电磁场与电磁波(第9章)

1、第九章 波的反射与折射 本章我们将研究当平面电磁波穿过两种理想的非导体媒质分界面时的情况。我们将对电场和磁场中两种均匀、各向同性、绝缘介质的分界面建立一组边界条件,此外,还会进一步丰富电磁波的数学描述,以便改换一个视角来对电磁波进行研究而又不额外增加数学知识。重点一、电磁波传播的边界条件 二、平面边界的反射与透射三、全折射与全反射 四、反射波的相位 9.1 电磁波传播的边界条件边界和电磁波的传播方向如图所示 电磁波的入射、反射与透射 只考虑介质1和介质2之间边界为平面的情况。假定入射电磁波从介质1穿过边界，并将边界置于y-z平面上,于是x轴便垂直于边界。这样要历经的边界必须沿x方向行进。边界可

2、以看成是从介质1到介质2连续变化的一个小区域。麦克斯韦方程适用于折射率分别为n1和 n2的不同介质,自然也适用于边界区域。回顾各向同性绝缘介质中的麦克斯韦方程 只存在由于介质极化产生的电荷和电流 假定仅在x方向才会有边界的变化,沿着y和z方向没有边界 可以看出，在穿过边界时, 这一项的大小并不改变 即 对于各向同性的绝缘介质，可以利用 和 之间的关系，简化电场在x方向分量的边界条件。电场在x方向上分量的边界条件为 结论：下面考虑麦克斯韦第二方程令右边为零 与x无关的所有项的导数均应为零 结论：全部的电场边界条件为 全部的磁场边界条件为 磁场的任何分量在穿过边界时都不改变。 9.2 传播矢量回顾

3、下面我们采用一种比较灵活的方法来确定波的传播方向,首先考虑一个位置矢量 ( 描述场点的矢量)与矢量 的标量积 描述了一个沿 Z 方向 传播的单色平面波，其中是 一个常向量，其大小确定了电场的幅值，而其方向则给定了电场的极化方向，式中的常数 k 为 现在将 定义为传播矢量，并把平面单色波的方程写为 则只需要改变 的分量就可以达到表示波的传播方向的目的。利用传播矢量 来描述波还有一个好处：可以很容易得到场量关于时间和空间的导数。 对于空间坐标的导数则为这时可将上式写为由于 由矢量分析可知并且 9.3 平面边界的反射与透射平面单色波在两种理想绝缘介质交界面上的入射、反射和透射 利用传播矢量来对平面单

4、色波在两种理想的绝缘介质( 假定为均匀,各向同性和无损耗)之间平面边界上的反射和透射问题重新讨论。如右图示：入射波： 反射波： 透射波： 显然，必须首先明确地给出入射平面单色波的描述式，这里 代表传播方向，常矢量 则表示入射电场的方向。此外,波的传播方向可以是任意的。 第七章中曾经指出：当平面线性极化波穿过各向同性绝缘介质时，场的方向不会产生旋转变化，这样,在假定介质1、介质2和边界区域均为各向同性的情况下，就可以认为电场方向是不会发生旋转变化的。如果用 代表入射波的方向，那么反射波 和透射波 将与 同方向。 下面我们就来分别考虑这两种极端的情况 然而,按照对于所要解决问题的考虑, 的方向可能

5、会出现两种极端的情况，即它或与X-Y平面平行或垂直于X-Y平面， 的其它全部可能的取向可以用这两个相互垂直的方向的矢量和来表示。 第一种情况: 在这种情况下,电场只有 Z 分量,边界上介质1一边的电场是入射场和反射场的矢量和，而介质2这一边的情况则比较简单，电场就是透射场 电场的极化平面垂直于X-Y平面（入射平面） 即 由于这些场都只存在Z分量，而且电场在Z分量上的边界条件为现在假定入射波的传播方向在x-y平面上，有 对于反射波传播方向有 对于透射波传播方向有 因而有即 上式在边界上，即x=0处成立 ，因而有 如果要求该方程必须在边界上的每一点,即对于任何y和z值都成立，而且在任何时刻也必须成

6、立，则应有对入射波 有对反射波 有由 或 所以上式中的正根表明入射波和反射波的传播矢量具有相同的分量，即入射波和反射波的传播方向是相同的，因此在这种情况下应取 又知则由图可知说明入射角等于反射角，这就是斯涅尔反射定律。 对于透射波则有 比较可知，对于入射角和反射角有由于所以有此关系式称为斯涅尔折射定理 结论 上面所得到的结果表明 一、在透射和反射过程中波的频率是不变的，入射、反射、透射三种波均平行于X-Y平面（入射平面），入射角等于反射角； 二、斯涅尔折射定理则反映了入射角和透射角之间的关系。于是可得 为了获得三种波的振幅之间的关系，我们来看一下磁场的边界条件 由于入射面一边的磁场由入射磁场和

7、反射磁场合成，而在边界另一边则仅有透射磁场, 所以边界条件可以写成 因为所以矢量方程对应的各分量应分别相等,所以对于 分量有 可得由于 并且每一个电场仅有Z方向的分量,于是上式又变为 由 三个电场都沿z方向 因为所以即有乘上 后再减去 得 对于 方向分量则可以得到 上式是在电场的切向分量是连续 ( ) 的这一前提下得出的，根据第三章中关于边界条件的讨论可知，在介质1和介质2的交界面上 ,当介质的交界面上无面电流分布时，磁场的切向分量也应是连续的，即 ，于是有根据阻抗关系，引入本征阻抗 后有 其中 通过以上分析可得入射、反射和折射这三个电场振幅之间的另一种描述关系为称为垂直极化波电场反射系数 称

8、为垂直极化波电场折射系数 式中定义入射、反射和折射这三个电场振幅之间还有一种描述关系 这样便得 将 乘上 后再减去 可得 即 于是得到第二种情况: 电场的极化平面平行于X-Y平面（入射平面） 在这种情况下,入射波在x-y平面传播,仅有x分量和y分量，所以其传播矢量 中不存在 Z 分量,可以表示为入射场的方向是由常矢量 来确定的，即有 入射波中的磁场可以表示为 式中磁场的方向 为反射波中的磁场可以表示为 式中对于透射波则有式中现在就可以来应用磁场的边界条件,即 由于整个区域中的介质都是各向同性的，所以波在传播过程中其方向不会发生变化，那么边界条件就可以写成 即 该方程仅在x=0的边界上成立，这就

9、是说对于边界上所有y和 z 的点,它在任意时刻都必须成立，因而有 对于入射波和反射波，其传播矢量的幅值的平方分别为 显然这里若取正根,则反射波和入射波的传播方向是相同的，所以应该取负根,即有 斯涅尔反射定理 于是得到对于入射波和透射波,有如下结论 这表明，在这种情况下斯涅尔折射定理也成立。 各种波的幅值之间的关系 已知，相对介电常数 于是麦克斯韦方程变为 并且因此有 类似地可得 已知，电场的边界条件是 应用 x 边界的边界条件并注意到 由于三个磁场的方向都相同，所以可将上式写成矢量方程 于是得到类似地,应用 y 边界的边界条件可得 又由于三个磁场的方向相同，所以可将上式也写成矢量方程，即有乘以

10、方程 再减去上式，可得 其中于是便得出透射场与入射场之间的关系为 所以得或 或 磁场的上述结果也可以直接用于表示对应的电场幅值之间的关系 反射波的电场幅值之间的关系为 于是从方程 便可以得出入射波与与透射波的电场幅值之间的关系为而由式 又可得到入射波 上述关系也可仿照第一种情况中那样用反射系数和折射系数来表示。由于式中定义 称为平行极化波的电场反射系数 称为平行极化波的电场折射系数 所以有9.4 反射波的极化反射波电场的幅值可以由下面两式求得，即 当 平行于入射平面时: 从以上两式我们可以得出结论： 一般来讲，任何角度入射的波都存在部分极化的情况，但满足 的波被反射后会产生完全极化现象。如果

11、，由于这时只有垂直于入射平面的电场分量会被反射,所以它就是被边界所反射的极化波。 当 垂直于入射平面时: 将 代入斯涅尔定理,可以定义出一个特殊的入射角 ，称为布儒斯特角，此时两种介质边界上所反射的波将会被完全极化，并且有 9.5 法向入射当电场 的方向平行于入射平面时可得 如果 ，利用斯涅尔定理有 在法向入射的情况下，反射波幅值 与入射波幅值两者比值的表示形式特别简单。根据斯涅尔定理可知，对于法向入射,有并且有类似地,对于垂直于入射平面的 有 再根据斯涅尔定理，如果 ，则可得 因此在法向入射的情况下，对于与入射面垂直和平行的 来说, 其反射波幅值 与入射波幅值 两者比值的结果相同。波的能量或

12、是强度与 或 的模的平方成正比 ，并且反射强度与入射强度之比为 在法向入射的情况下，反射系数和折射系数变为 它们满足 和 的关系。即入射波在边界上完全反射。这时若介质1是理想介质，介质2是理想导体 则为了方便讨论，一般可将垂直入射问题都视为垂直极化，并将反射系数 简记为 R ，那么，这时在介质1的区域内，总的电场和总的磁场将是入射场和反射场的叠加 上式中的第1项表示它是向着 z 方向传播的平面电磁波，我们称其为行波；第2项是幅度随着 z 按照正弦变化的电磁振荡波，我们称之为驻波，形成驻波的条件是产生波的全反射，即由入射行波与反射行波叠加而形成驻波。驻波的平均功率流密度为零，没有电磁场能量的传输

13、，只有电场能量与磁场能量的交换。行波与驻波的混合状态称为行驻波。忽略 中的初始相位常量，令其等于实数 则有这样就可以将驻波理解为向着 z 方向传播的一个平面波，它的振幅为 前面的模值，即 上面这两个式子是以 z 为变量，以 为周期的周期性函数，其性质分以下两种情况讨论： 根据前面的式子，有第一种情况：在 ，即 处，为电场振幅的最大点和磁场振幅的最小点 。这时电磁波是由光密媒质入射到光疏媒质上，这时 这时在 ，即 处，为电场振幅的最小点和磁场振幅的最大点 。这时 场强振幅的最大点处称为波腹，场强振幅的最小点处称为波节。可见，当电磁波由光密媒质入射到光疏媒质上时，分界面处为电场的波腹、磁场的波节；

14、而距离分界面 处，为电场的波节和磁场的波腹。 电场的波腹和波节的位置与上述情况正好相反。第二种情况：这时电磁波是由光疏媒质入射到光密媒质上，这时 驻波比和行波系数定义电场或磁场的最大振幅与最小振幅之比被定义为驻波比或驻波系数（VSWR）,记做 在行驻波混合状态下，可以定义行波系数,记做 也可用驻波系数 表示反射系数 也可用行波系数 表示反射系数 9.6 全折射与全反射定义一. 全折射当电磁波以某一入射角入射到两种媒质交界面上时 ，如果反射系数为0 ，则全部电磁能量都进入到第二种媒质，这种情况称为全折射。 出现全折射时对应的入射角就是布儒斯特角 下面以垂直极化波和平行极化波两种情况进行讨论。 （

15、1）垂直极化波的情况由斯涅尔公式可知，使垂直极化波反射系数的条件是 对于一般的非磁性媒质有 如果 ，则上式无解，即不存在这样的入射角；故垂直极化波只有在两种不同媒质的界面上才有产生全折射的可能。 （2）平行极化波的情况由斯涅尔公式可知，使平行极化波反射系数 的条件是 ，则成为同一媒质，没有界面存在, 为任意角时都不会使电磁波的传播性质有所改变。 如果 对于一般的非磁性媒质，由于所以有因此，布儒斯特角为发生全折射时，折射角与入射角的关系为所以有一个极化在任意方向的均匀平面波，当它以布儒斯特角入射到两种媒质的分界面上时，其平行分量发生全折射，结果使得反射波成为一个垂直极化波。 结论二. 全反射定义

16、当电磁波入射到两种媒质交界面上时 ，如果反射系数 ，则投射到界面上的电磁波将全部反射回第一种媒质中，这种情况称为全反射。 根据斯涅尔折射定理有 此时，在实数域内不存在确定的折射角 ，我们说此时发生了全反射。 发生全反射的最小入射角是 时的角，我们称其为临界角，记做 此时有当 ，即电磁波从光密媒质入射到光疏媒质时， 入射角 若大于一定的数值后，将会出现 的情况，对于一般非磁性媒质 9.7 反射波的相位变化当 垂直于入射平面时: 当 平行于入射平面时: 由上式可知，若其中两正弦项之比值为正,则 和 方向相同。由于角度（ ）只能在0和弧度之间，故 总是正值。然而,角度（ ）在0和-/2之间，所以当

17、时 将为负值。于是,根据斯涅尔定理，条件 和 可以看作是等价的。与入射平面相垂直的电场分量的相位变化 如图 入射波从折射率较大的介质被反射时，对于与入射平面相垂直的电场分量而，入射场与反射场的方向在边界处是相反的，即如果 则电场的垂直分量的相位将会发生的 变化。磁场之间的关系又如何呢？ 入射角等于布儒斯特角时的相位突变 如果磁场的相位发生变化，那么 的符号肯定是负的。当 时， 为正值；若这时又有 ，则 也为正值，所以，当 并且 时，磁场的相位不会发生变化。 在入射角大于布儒斯特角的情况下，就有 ，那么 将为负值，这时，入射磁场与反射磁场之间的相位一定会发生变化,两者相差 。 然而,我们并不能说

18、由磁场所得到的结果与在电场中得到的结果是一样的，为了从磁场得到电场，我们必须利用式 电场的方向并不仅仅决定于 ，还需要考虑由 所确定的传播方向。显然，入射波与反射波的传播方向是不同的，这时,若要对入射波与反射波的相位关系进行讨论，实际上实际上只需要考虑入射角的两种极端情况： （a） （b） 当 时，入射波与反射波的传播方向相反，这样就有 此时有这正好符合当 即时相位变化 的情况。 因此 对于法向入射波来说，如果 ，那么不论电场相对于入射平面的角度是多少，反射时其相位都将改变 ，这是由于法向入射时上述两种情况是一样的 。 波的法向入射 另一极端情况是切向入射，即 ，这时反射波与入射波的传播方向相同。如图所示 此时有波的切向入射 于是两个电场和两个磁场具有相同的相位关系,因而当 入射电场和反射电场的相位相差 当 时，相位关系正好反过来了。 下图描述了上面所讨论