浅谈矩阵的对角化问题

1、 苏州大学本科毕业论文（2012届）浅谈矩阵的对角化问题 学号 0807402069 姓名 马莉莹 院系 数学科学学院 专业 数学与应用数学（师范）指导老师朱广俊 目录中文 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc293486645 摘要1 HYPERLINK l _Toc293486646 Abstract2 HYPERLINK l _Toc293486647 前 言3 HYPERLINK l _Toc293486651 第一章 矩阵相似对角化问题的引入4 HYPERLINK l _Toc293486657 第二章 矩阵相似对角化的条件5 HYPERLINK l _T

2、oc293486657 第三章 矩阵对角化的若干方法7 HYPERLINK l _Toc293486658 3.1 一般矩阵对角化的方法7 HYPERLINK l _Toc293486659 3.2 实对称矩阵对角化的方法20第四章 特殊矩阵的对角化 HYPERLINK l _Toc293486663 27总 结 HYPERLINK l _Toc293486664 31参考文献 HYPERLINK l _Toc293486665 32致 谢 HYPERLINK l _Toc293486666 33 中文摘要 矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的

3、若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等.关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换. Abstract Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theo

4、ry. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, ni

5、lpotent matrix，real symmetric matrix and hermite matrix.Keywords : diagonalization，eigenvalue，eigenvectors， similarity transformation，linear transformation. 前 言 矩阵的对角化在国内外已有一定的研究.早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念.随着计算机的发展，矩阵对角化的应用前景也变得更为广阔. 对角矩阵是一类最简单的矩阵，它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、计算机等中起着重要的作用.由于通过相似变换

6、，许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩阵等价，而对角矩阵的性质很容易从它自身元素的特点得出，所以对于可对角化的矩阵，我们只要研究它的相似标准形即可. 本文主要简述了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换,线性方程组,特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等.符号说明 数域 复数域 数域上的线性空间 的全体线性变换的集合 数域上的维向量全体所组成的集合 数域上的阶矩阵的集合 单位矩阵 矩阵的逆 矩阵的转置 矩阵的共轭转置 矩阵的秩 矩阵的迹第一章 矩阵相似对角化问题的引入 在高等代数中

7、，对于有限维线性变换的研究，主要有两种方法.第一种：对某空间的全体线性变换的集合就构成了数域上的线性空间.我们可利用这些运算来研究线性变换.第二种：在空间中取定一组基，建立起线性变换与矩阵之间的一一对应关系，通过对线性变换所对应的矩阵的线性性质的探索了解，来获得线性变换的线性性质的相关信息. 当利用矩阵这一工具来研究线性变换时，我们自然希望它所对应的矩阵较为简单，最好为对角矩阵，以便容易了解它的性质.接下来我们自然会问：(1) 对一个线性空间中的线性变换而言，是否一定存在某个基，使得它对应的矩阵是对角形的？(2) 若存在，则需满足什么条件？将矩阵变为对角矩阵又有哪些方法？(3) 若不存在，那么

8、我们能否退而求其次，使得线性变换在某一基下的矩阵是准对角矩阵？事实上，对于第三个问题，在复数域上已得到了非常完美的解决，这就是矩阵的Jordan相似标准形问题.下面给出相关定义和定理.定义1：设矩阵,称为属于的一个Jordan块，其中是它的主对角元，Jordan块的准对角矩阵为Jordan形矩阵.定理1（4)：设是复数域上的Jordan形矩阵，使得与Jordan块的排列顺序，这样的Jordan形矩阵是唯一的. 一般情况下，Jordan标准形不是对角矩阵，它的主对角线上的元素是Jordan块，但当所有的Jordan块都是一阶时，Jordan标准形变为对角矩阵，即对角矩阵是它的一种特殊情况.那么，

9、满足什么条件时，所有的Jordan块都是一阶的？这就是接下来要讨论的矩阵可对角化的条件.第二章 矩阵相似对角化的条件随着矩阵的类型和其所在数域范围的不同，矩阵可对角化的条件也有所不同.下面分别列出了矩阵在任意数域、复数域和实数域上所需满足的条件.任意数域上矩阵相似对角化的条件充要条件设为阶方阵的个互异的特征值，且它们的重数分别为，.可对角化有个线性无关的特征向量 对于的每个特征值,其代数重数等于其几何重数 的最小多项式无重根 对于的每个特征值，都有 的初等因子都是1次的 与某个循环矩阵相似充分条件有个不同特征值可对角化的零化多项式（称满足的多项式为矩阵的零化多项式）无重根可对角化（9）复数域上

10、Hermite矩阵相似对角化的条件定义2：满足的阶复矩阵称为酉矩阵.定义3：满足的阶复矩阵称为Hermite矩阵.定理2（4)：设，并且是Hermite矩阵，则存在一个酉矩阵，使得,并且是实数，. 由定理2知Hermite矩阵必可对角化.实数域上对称矩阵相似对角化的条件定义4：满足的阶实矩阵称为正交矩阵.定义5：满足的阶实矩阵称为实对称矩阵.定理3(4)：设是一个阶的实对称矩阵，则存在一个正交矩阵,使得,并且是实数，. 由定理3知实对称矩阵既可相似对角化又可合同对角化.第三章 矩阵对角化的若干方法3.1 一般矩阵对角化的方法 本文介绍了将一般矩阵对角化的五种方法，分别是特征向量法、矩阵乘积运算

11、法、Jordan标准形法、矩阵标准形法和数字矩阵对角形法.下面我们一一加以讨论. 设矩阵与相似，且，并设，得,即.由此可见，这里只要取的列为方阵的可逆，所以的对角化问题最终归结为求其特征值以及求特征值所对应的齐次线性方程组的基础解系的问题. 如果阶方阵相似于对角矩阵,则的相似对角化的一般步骤如下: (1)求出的全部特征值.(2)对的每个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系,将所有这样 的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有个,它们就是的个线性无关的特征向量，分别设它们为.令，则，其中是属于特征值的列向量的排列次序应该与对角矩阵的主对角线元素的排列次序相一致.例1：判定矩阵能否对角化

12、，若能，求可逆矩阵，使得 为对角矩阵. 解：由，得的特征值， 当时，解齐次线性方程组，得基础解系，. 当时，解齐次线性方程组，得基础解系. 令，则有.此方法的原理简单易懂，是最常规的方法.但在解决问题时，需要去求矩阵的特征值，并且对于求得的每个特征值都要逐一带入齐次线性方程组求出该特征值对应的特征向量，过程繁琐且当矩阵的阶数越来越高时，求起来也越来越困难.设是在数域,且，记为的属于的特征子空间. 对于齐次线性方程组，有如下结论：若可对角化，则对于的每个特征值，都有个与其对应的线性无关的特征向量.可对角化的充要条件是对于的每个特征值,其代数重数等于其几何重数，即. 类似地，我们有定理4.定理4（

13、3)：设是在数域上的全部互不相同的特征值，其重数分别为,且，记=. 对于，有如下结论：（1）若可对角化，则矩阵的列向量组中有对应于的个线性无关的特征向量.（2）可对角化的充要条件是. 定理4表明，要构造可对角化矩阵的相似变换矩阵,完全可以不像常规方法那样解齐次线性方程组，而只需对每一特征值（），从矩阵乘积中找出个与对应的线性无关的特征向量，以这样所得的个特征向量为列作一个阶矩阵即可. 下面我们利用此方法来解决具体问题.例2：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对角矩阵. 解：由 ，得的特征值（二重)， 因为，所以可对角化. 当（二重）时， 取中的两个线性无关的向量， 由定理4知，即为

14、特征值-1对应的两个线性无关的特征向量. 当时， 取中的向量. 由定理4知即为特征值5对应的特征向量. 故相似变换矩阵，且例3：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对角矩阵. 解：由，得 （二重）， 所以矩阵可对角化.当（二重）时： 取中的两个线性无关的向量. 由定理4知，即为特征值-1对应的两个线性无关的特征向量.当时： 取中的 由定理4知即为特征值5对应的特征向量.当时： 取中的. 由定理4知即为特征值1对应的特征向量.于是相似变换矩阵，且该方法区别于传统的特征向量法，把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵.3.Jordan标准形法我

15、们知道复数域上任意的阶矩阵都相似于一个Jordan矩阵，即存在可逆矩阵，使得（定理1）.在的Jordan标准形中，主对角线上的元素是在复数域为对角矩阵，则可对角化，否则，不可对角化.一般情况下，我们采用初等因子法来确定一个矩阵的Jordan标准形.但在此过程中,我们不能直接得到相似变换矩阵.下面，我们将从相似变换的角度来求一个矩阵的Jordan标准形，该方法可以同时求得矩阵的特征值，特征向量以及相似变换矩阵.由于矩阵可逆，所以存在一系列的初等矩阵，使得: ，.又因为，所以有： .在对施行初等变换时，我们可对先施行一次初等行变换后，接着再施行一次相应的初等列变换，且上述两次初等变换所对应的初等矩

16、阵是互逆的.用初等变换的语言表述为：先将的第行乘以后加到第行，再将它的第列乘以后加到第施行了一次相似变换.显然，可对施行一系列的相似变换，将化为Jordan形矩阵.由于第一种初等变换和第二种初等变换均可由第三种初等变换得到，所以只需对施行第三种初等变换即可.下面我们来看具体实例.例4：判定矩阵能否对角化. 解：将矩阵化为Jordan标准形 由的Jordan标准形可知，矩阵不可对角化且它的特征值为1,1,2.例5：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对角矩阵. 解：将矩阵化为Jordan标准形 由的Jordan标准形可知，矩阵可对角化，它的特征值为-2,1,1，且对共施行了三次相似变换

17、，其中，三次初等列变换分别为： 所以，且. 由可知：特征值-2对应的特征向量为，特征值1（二重）对应的两个线性无关的特征向量分别为，.4.矩阵标准形法引理1（5)：设是阶方阵，则必能用初等变换将 变为对角矩阵： 并且多项式 的所有根恰好是的所有特征值.定理5（5）：设是阶方阵， 是对角形矩阵，是可逆的矩阵，且满足.如果 .即用对作初等行变换，用对作初等列变换，使变为对角矩阵.随着行的变化而变为.则若的所有根都在内，则就是的所有特征值.对于的特征值，设第行是的全部为零的行，则的第行即构成为特征值的特征子空间.（3）可对角化，此处是的重数.根据定理5即可得到矩阵标准形法：（1） 对作初等变换，使之

18、成为对角矩阵，随着行的变化而变为.设，求出的所有解.（2） 若的解都在内，并且对每个解都有中零行的数目等于的重数，则可对角化，转（3）；否则不可对角化，结束.（3） 对于的任一特征值，若的第行都为零，则取出的第， ,行构作: 则 下面利用上述步骤来解答具体问题.例6：判定矩阵能否对角化，若能，则求出可逆矩阵，使得为对角矩阵. 解：作初等变换： 按照上述方法：（1）记， 由和，得，（2）当时，中零行的数目的重数 当时，中零行的数目的重数 由定理5知可对角化.（3）当时， 取中与中零行所对应的向量， 由定理5知即为属于特征值2的两个线性无关的特征向量. 当时， 取中与中零行所对应的向量. 由定理5

19、知即为属于特征值-4的特征向量. 令，则例7：判定矩阵能否对角化，若能，则求出可逆矩阵，使得为对角矩阵. 解：作初等变换： 按照上述方法：（1）记， 由和，得（2）当时，中零行的数目的重数 当时，中零行的数目的重数.由定理5知可对角化.（3）当时， 取中与中零行所对应的向量， 由定理5知即为属于特征值0的两个线性无关的特征向量. 当时， 取中与中零行所对应的向量. 由定理5知即为属于特征值2的特征向量. 令，则5. 数字矩阵对角形法若矩阵在数域上可对角化，则存在上的可逆矩阵，使得为对角矩阵，且的主对角线上的元素为的全体特征值.由于矩阵可逆，所以存在一系列的初等矩阵，使得: .于是，做初等变换：

20、 .该变换形式表示：对施行一系列的初等行变换和初等列变换,使其变为对角矩阵，对只施行相应的初等列变换变为.在施行初等变换时,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换，只要保持变换后，最后所得矩阵与相似即可.例8：判定矩阵 能否对角化，若能，则求出可逆矩阵，使得为对角矩阵. 解：作初等变换： . 所以可对角化. 令，则有.例9：判定矩阵 能否对角化，若能，则求出可逆矩阵，使得为对角矩阵. 解：作初等变换： 所以可对角化. 令，则有 利用初等变换将矩阵对角化时，不需要单独去求特征值与特征向量，只须通过对矩阵进行适当的初等变换就可同时求出矩阵的特征值与特征向量，收到了判定求解一体

21、化的效果，它简单易操作，大大简化了求解过程，以至于判定求解都是从最终的矩阵读出来的.3.2 实对称矩阵对角化的方法实对称矩阵是研究二次型，线性空间和线性变换等问题的有利工具，现在我们来研究将实对称矩阵对角化的方法.将一个实对称矩阵合同对角化的方法实际就是求二次型标准形的方法,即通过坐标变换（或者配方）的方法来实现的；将一个实对称矩阵相似对角化的方法与一般矩阵的相似对角化方法相同，在本章的第一节已给出了五种方法；下面我们重点研究将一个实对称矩阵既合同又相似对角化的方法.这里主要介绍三种,分别是Schmidt正交法、直接正交法和度量矩阵法.1.Schmidt正交法该方法是在相似对角化的基础上将可逆

22、矩阵化为正交矩阵.由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，因此将实对称矩阵相似对角化后，只需要将代数重数大于1的特征值所对应的特征向量先正交化，然后再将所有的特征向量单位化即可.对于实对称矩阵, 求一个正交矩阵, 使得为对角矩阵的步骤如下:（1）求的特征值.（2）求对应于每个特征值的特征向量.对于单特征值，只需将属于它的特征向量单位化；对于重特征值，先求出属于它的个线性无关的特征向量, 然后对这个特征向量进行正交单位化，这样就可得到个两两正交的单位特征向量.（3）以正交单位化的特征向量为列组成矩阵, 它就是所需的正交矩阵,且满足为对角矩阵.例10：设 .求一正交矩阵, 使得为对角矩阵. 解

23、：由，得（二重），. 当时，解齐次线性方程组，得基础解系,. 将,正交化： ， 再将单位化: ， 当时，解齐次线性方程组，得基础解系. 将单位化: 令,则. 用Schmidt正交方法求正交特征向量时，必须牢记公式，且当特征值的重数较大时，计算较为复杂. 当实对称矩阵的某一特征根为重根时，我们可以求出属于的个特征向量，要得到个彼此正交的单位特征向量，可以直接从特征子空间中求出正交向量，然后单位化即可.且当特征根的重数较大时，能够大大减少计算量.例11：设 ，求一正交矩阵, 使得为对角矩阵. 解：由，得（三重），. 设 当时，解齐次线性方程组，得. 先取一个特征向量. 设特征向量. 因与正交，从而

24、有.又因为，所以可得. 取.再设特征向量. 因与和都正交，从而有，.又因为， 所以可得.取. 现将，都单位化： ，. 当时,可求得单位特征向量：. 令，则.例12：设，求一正交矩阵, 使得为对角矩阵. 解：由，得（三重），. 设 当时,解齐次线性方程组，得. 先取一个特征向量.设特征向量. 因与正交，从而有，又因为，所以可得. 取 .再设特征向量 . 因与和都正交，从而有，又因为， 所以可得.取. 现将，都单位化.得： ， 当时,可求得单位特征向量：. 令，则.该方法从向量正交的基本定义出发，易于理解和掌握，且在特征值出现重根的情况下,计算量也大为减少.对于维欧氏空间,令是它的一个基，它的度量

25、矩阵 是正定矩阵,于是合同于单位矩阵，即可求得阶可逆矩阵，使得.利用和的基作一个新基:.那么，新基的度量矩阵即为： . 所以是欧式空间的标准正交基.对例12利用度量矩阵和合同变换来求正交矩阵：已知(三重)，. 当时，解齐次线性方程组，得基础解系 ， 当时，解齐次线性方程组，得基础解系 则 是一组基.记其度量矩阵为，那么 对矩阵作合同变换：=. 取，即有.利用和基作新基: . 则： ， . ， . 由于的度量矩阵，故是的标准正交基.令，则是正交矩阵且.例13：设.求一正交矩阵, 使得为对角矩阵. 解：由，得 当时， 解齐次线性方程组， 得基础解系 . 当时，解齐次线性方程组，得基础解系 . 当时

26、， 解齐次线性方程组， 得基础解系 . 当时，解齐次线性方程组，得基础解系 . 则是的一个基. 令其度量矩阵为，那么. 对矩阵作合同变换：. 取，即有. 利用可逆矩阵和基作新基: . 则: 由于的度量矩阵，故是的标准正交基. 令，则是正交矩阵且. 使用该方法时，需要对度量矩阵和合同变换有清晰的了解.利用正定矩阵合同于单位矩阵，求的原基与新基之间的“过渡矩阵”是该方法的关键.特殊矩阵的对角化下面我们来探讨一些特殊矩阵的对角化问题.定义6：设是数域上的阶矩阵，如果，则称为幂等矩阵.引理2（5)：幂等矩阵的特征多项式是的零化多项式.定理6（5)：阶幂等矩阵一定可以对角化，并且的相似标准形是 ，其中,

27、是阶单位矩阵.证明： 因为,所以有零化多项式，因为无重根，所以的特征值只有0和1，所以的相似标准形是,其中.由该定理可以推出幂等矩阵的若干性质：性质1：幂等矩阵的特征值为0或1.性质2：若是幂等矩阵，则性质3：幂等矩阵的迹等于的秩.证明：设是数域上的一个阶幂等矩阵，. 如果，则.如果，则从而 下面设.由定理6知的相似标准形是 于是性质4：任意阶矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积.证明：设阶方阵的秩为，则存在阶可逆矩阵 使得： 所以. 令，.则.易知，所以阶矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积.2.幂零矩阵 定义7：设，若存在正整数，使，则称的最小正整数为的幂零指数

28、.引理3（4）：若 为的特征多项式，为的最小多项式，则.引理4（9)：设为阶矩阵的特征值，则对任意的多项式有的特征值为.幂零矩阵具有下列性质：性质5：为幂零矩阵的充分必要条件是的特征值全为0.证明：（必要性) 若为幂零矩阵，则存在正整数，使得.令为的任意一个特征值，则存在,使得.由引理4知为的特征值. 所以存在 ，使得 ，从而有即有. 又由，知，所以 . 所以为的任意性知的特征值全为0. （充分性）因为的特征值全为0, 所以的特征多项式为,由引理3知,所以为幂零矩阵.性质6：若为幂零矩阵且，则不可对角化.证明：若可对角化，则存在可逆矩阵，使得，此处是为幂零矩阵，则存在正整数，使得，即： ， 又

29、因为，所以有： ，与题设矛盾. 定义8：设，若存在正整数，使得，则称为幂幺矩阵.性质7：幂幺矩阵在复数域上可对角化.证明：若为幂幺矩阵，则存在正整数，使得，所以有零化多项式. 因为在复数域上，的根都是次单位根，故无重根，所以可对角化.注意：在实数域上不一定可对角化！例如，满足，即为幂幺矩阵，但是在实数域上无根，所以在实数域上不可对角化.性质8：实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交.性质9：设是实对称矩阵的重特征值，则对应于特征值，矩阵有个线性无关的特征向量.定理3（4）：设是一个,使得,并且是实数，.证明：设的互不相等的特征值为，并且它们的重数依次为.则对于特征值，恰有个线性无关的实特征向

30、量.把它们正交化并单位化，即得知，这样的特征向量共可得个.由于不同特征值的特征向量正交，故这个单位特征向量两两正交，以它们为列向量作成正交矩阵，则： 为一个实对称矩阵.5.Hermite矩阵欧氏空间实质上是实数域上的一个内积空间.类似地可考虑复数域上的内积空间酉空间和酉空间上的线性变换.与正交变换和实对称矩阵类似，酉空间中有酉变换与Hermite矩阵.性质10：设是Hermite矩阵，则的特征值均为实数.证明：设为的特征值，为其对应的特征向量，即，那么： 但，所以，即为实数.性质11：设是Hermite矩阵，则对应于的不同特征值的特征向量必正交.证明：设是的两个不同的特征值，分别是它们所对应的

31、特征向量，则有 ，. ，即.由于的特征值为实数，也即.又因为，所以，即正交.引理 5 （9)：设，则存在一个酉矩阵，使得是一个上三角形矩阵.定理2（4)：设，并且是Hermite矩阵，则存在一个酉矩阵, 使得,并且是实数，.证明：由引理5知存在一个酉矩阵,使得 是一个上三角形矩阵.又是一个酉矩阵，故也是Hermite矩阵. 于是，对任意，都有，这迫使当时，有；并且是实数，. 因此，Hermite矩阵必定可以对角化，且它的特征多项式的复数根都是实数.总 结 本文给出了矩阵可对角化的若干条件；从不同角度探究了将矩阵对角化的方法；最后分析了若干特殊矩阵的对角化问题.关于矩阵可对角化的条件，由于目前在

32、这一方面的研究比较多，所以本文直接列出了判定矩阵可对角化的常用条件.矩阵对角化的方法是本文研究的重点.本文先对一般矩阵进行了研究，分别给出了特征向量法,矩阵乘积运算法,Jordan标准形法，矩阵标准形法和数字矩阵对角形法这五种方法.其中，特征向量法是常规方法的研究方法，是我们接触最早的方法.矩阵乘积运算法是在特征向量法的基础上得到的，该方法把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵. Jordan标准形法、矩阵标准形法和数字矩阵对角形法这三种方法均是从初等变换这一角度来研究问题的,它们不仅能同步求解特征值，特征向量，相似变换矩阵，而且计算过程较为简单，具有一定的优越性.对于实对称矩阵，本文列出了Schmidt正交法、直接正交法和度量矩阵法这三种方法. 其