2019-2020年高二数学2.3从速度的倍数到数乘向量教案北师大版必修4

1、2019-2020年高二数学2.3从速度的倍数到数乘向量教案北师大版必修4一、教学目标：知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向 量分解为两个向量。（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更 深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1. “模”与“方向”两点）2.三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）,在此基础上得到数乘运算的几何意义；通

2、过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻 辑思维能力.3情感态度价值观通过本节内容的学习， 使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识， 让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和 积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神教学重、难点重点：1.实数与向量积的定义及几何意义 .平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点：1.实数与向量积的几何意义的理解 .2.平面向量基本定理的理解.学法与教学用具学法：（1）

3、自主性学习+探究式学习法：（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 教学用具：电脑、投影机.教学设想【探究新知】 TOC o 1-5 h z 思考：（引入新课）已知非零向量作出+和 （）+（）+（）工*O A BC*曉N M QP=+=3=（）+（）+（）=3讨论：3与方向相同且|3|=3|3与方向相反且|3|=3|2从而提出课题：实数与向量的积；实数入与向量的积，记作：入定义：实数入与向量的积是一个向量，记作： 入|入1=1入III入0时入与方向相同；入0时入与方向相反；入=0时入=（请学生自己解释其几何 意义）展示投影例题讲评（学生先做，学生评，教师提示

4、或适当补充）例1.（见P96例1）略展示投影（证明的过程思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律 可根据学生的实际水平决定） TOC o 1-5 h z 结合律：入（卩）=（入口 ）第一分配律：（入+卩）=入+卩第二分配律：入什）=入+入结合律证明：如果入=0,卩=0,=至少有一个成立，则式成立如果入0,卩0,有：|入（卩）|=|入|卩|=|入|卩|1（入卩）I=I入卩II I=I入II卩III 1入（卩）I=I（入卩）I如果入、卩同号，则式两端向量的方向都与同向；如果入、卩异号，则式两端向量的方向都与反向。从而入（）=（入口 ）第一分配律证明：如果入=0, 1

5、=0,=至少有一个成立，则式显然成立如果入0, 10,当入、1同号时,贝y入和1同向，I(入+1 )I=I入 + 1 III=(I入 I+I 1 I)III入+1I=I入 I+I 1丄 I=I 入 III+I1 III=(I 入 I+I 1 I)II/入、1同号两边向量方向都与同向即：I（入 +1 ）I=I 入 +1 I当入、1异号，当入1时两边向量的方向都与入同向 当入1时两边向量的方向都与1同向还可证：I（入+ 1 ）I=I入+ 1 I式成立第二分配律证明：如果=,=中至少有一个成立，或入=0,入=1则式显然成立当， 且入0，入1时AA11 当入0且入 1时在平面内任取一点 O,作= 入=

6、入则=+入+入由作法知：/有 OAB= OAB |= 入|OA1|A1B1| OABA OABi|OA|AB|OBil ；AOB= AiOB|OB|因此，0, B, B1在同一直线上，|=|入| 与入方向也相同入（+）=入+入当入0时 可类似证明：入什）=入+入 式成立【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）若有向量（）、，实数入，使=入则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线（）且| ： |= ，则当与同向时=卩；当与反向时= 从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使=入展示投影例题讲评（师生共同分析，学生动手做） 例2.（见P97例2）略例3. （P9

7、7例3改编）如图：，不共线，P点在AB上,求证：存在实数（证明过程与P97例3完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）【巩固深化，加强基础】1.见 P98练习 1、2、3、4 题.2.如例3图，不共线，=t （t R）用，表示.【探究新知、展示投影】1 思考：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一?对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示?2 教师引导学生分析设，是不共线向量，是平面内任一向量入2得平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 入1,入2使=入1+入2.注

8、意几个问题:、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底这个定理也叫共面 向量定理.入1 ,入2是被，唯一确定的数量.学生评讲，教师提示或适当补充；），已知两细绳与水平线分别成同一平面内任一向量 都可以表示为两个不共线向量的线性组合展示投影例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做， 例4. 1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图）30, 60 角，问两细绳各受到多大的力?解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90=1 (kg)ROP=60P2OP=30 =cos60 =1?=0.5 (kg)=cos30 =1?=0.87 （kg）即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 k

9、g例5.如图ABCD的两条对角线交于点M口用，表示，和和 0.87 kg且=,=,解：在ABCD中/ =+=+(+)=()=+例6.如图，在 ABC中，=,=,AD为边BC的中线，ABC的重心,求向量则= =+=+而=+解法2 :过G作BC的平行线，交 AB AC于E、例B7 .谀,是两个不共线向量，已知 =2+k, =+3, =2,若三点A, B, D共线，求k的值.解: = =(2 )(+3)=4/ A, B, D 共线-,共线 存在入使=入即2+k=入（ k= 84）【巩固深化，发展思维】在 ABCD中，设对角线=,=试用，表示,已知 ABCD的两条对角线 AC与BD交于E, O是任意一点,求证：+=4.见Pioo练习1、2题.学习小结（学生总结，其它学生补充）数乘向量的几何意义理解.向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数.入，使=入.平面向量基本定理的理