工科数学分析 1-2

1、2 数列的极限（limit）数列的概念数列极限的定义数列极限的性质高等数学与初等数学的差别在于：研究对象：变量与常量；研究方法：无限观念与有限观念。极限概念是数学分析中一个最基本的概念，导数，定积分和级数等概念都是以极限为基础的，整个微积分是建立在极限理论之上的。Step 1 以直代曲；Step 2 考察变化趋势。1. 极限概念的引入一. 数列的概念n越大，阶梯越多，近似程度就越高，但不论n多大，总是近似的，必须考察n趋于无穷的过程。例2. 求单位半径园的周长。Step 1： 以直代曲，得到一系越来越逼近于圆周长的近似值；Step 2： 考察这一系列值的变化趋势，从而确定出圆周长的准确值圆周长

2、： .2. 数列的定义定义1 通项序列一般可以前面只从实际例子引入极限的定性描述，现在要求用精确的数学语言来描述极限这一概念。先从数列的概念开始。例如定义2. 定义3. 为有界序列。例：二. 数列极限(limit)的定义极限概念的定性描述limit“无限增大”与“无限接近”如何定量描述？例如果数列没有极限,则称数列是发散的.注意：几何解释:证明：证明：证明：三. 数列极限的性质1. 唯一性定理1. 收敛数列的极限是唯一的, 即证明：矛盾！矛盾！例 证明数列是发散的. 证: 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与1 , 内,而此二数不可能同时落

3、在长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .Sep.28 Fri. Review函数运算：四则运算，反函数，复合函数；基本初等函数与初等函数；数列：概念，子列，有界；极限：极限思想、精确定义、几何意义，子列，有界，几个特殊数列的极限；极限性质：唯一性。定理2. 收敛数列必有界。2. 有界性证明：注意：1). 有界性是数列收敛的必要条件； 2). 无界数列必定发散.3. 夹逼性定理3.证明：解：证明：4. 保号性定理4. 证明：推论：证明：*证: 设数列是数列的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *4. 子列收敛性定理4 收敛数

4、列的任意子列也收敛，且极限相同.由此性质可知 ,限 ,例如， 发散 !则原数列一定发散 .说明: 若数列有两个子数列收敛于不同的极Hw: p36 1，2(2).推论：证明：3 函数的极限函数在有限点处的极限单侧极限 时的极限函数极限的性质1. 函数在有限点处的极限一 . 函数极限的定义注意：几何解释：解：x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y)hold plot(x,x);plot(x,-x);解：x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)2. 单侧极限例如,左极限右极限例1问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.左极限右极限两种情形：

5、几何解释：解：Oct. 8 Mon. Review 数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性，保号性，子列收敛性；函数极限：趋于有限点，单侧极限(左右极限).解： 定理 极限的七种形式：二. 函数极限的性质定理1 （唯一性）证明：定理2 （局部有界性）推论：证明:定理3 （保号性）定理4 证明：推论：子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理5 （函数极限的并归性）证明：函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.函数极限与数列极限的关系例证明：二者不相等，定理6. （夹逼性） 例Hw:p36 3(2,4)，4; p39 1，3.1. 数列:研究其变化规律;2. 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;3. 收敛数列的性质: