网络综合原理：第四章 逼近理论2

1、4.3 切比雪夫逼近4.3.1 切比雪夫多项式定义切比雪夫多项式为：若记 ，则：定义广义切比雪夫多项式：1网络综合原理 第四章 逼近理论2切比雪夫多项式与广义切比雪夫多项式是一致的。网络综合原理 第四章 逼近理论3网络综合原理 第四章 逼近理论切比雪夫多项式有下列性质：1. 递推关系4网络综合原理 第四章 逼近理论5网络综合原理 第四章 逼近理论2. 切比雪夫多项式 是 的 阶代数多项式。3. 4. 当 时， 是单调上升的。5. 在 中有 个不同的实根， 6 . 在 中有 个点 在这些点上 轮流取最大值1和最小值-1。7. 当 为奇数时， 是奇函数，当 为偶数时， 是偶函数，且 。8. 切比雪

2、夫多项式 的最高幂次 项的系数 为6网络综合原理 第四章 逼近理论证明：根据欧拉公式7网络综合原理 第四章 逼近理论8记最高幂次项 的系数为 ，则：网络综合原理 第四章 逼近理论4.3.2 切比雪夫滤波器把特征函数的双口网络称为切比雪夫滤波器，简称C型滤波器。切比雪夫滤波器的工作衰减为：幅度函数的平方为：9网络综合原理 第四章 逼近理论10切比雪夫滤波器具有如下性质：1. 在 中有 个点 在这些点轮流取值 和证明: 网络综合原理 第四章 逼近理论11网络综合原理 第四章 逼近理论12 和 在 区间内等波动，所以切比雪夫逼近又称等波动逼近。2. 当 时， 单调下降，且在高频段的下降率为每十倍频网

3、络综合原理 第四章 逼近理论13切比雪夫逼近函数在 时，达到0,1区间的最大衰减 ，得：解得：在阻带频率 上，达到阻带最小衰减 ，得：网络综合原理 第四章 逼近理论144.3.3 切比雪夫逼近的工作传输函数将上式在归一化复平面 上解析延拓，则有：式中 是归一化复频率，令 得网络综合原理 第四章 逼近理论15网络综合原理 第四章 逼近理论根据欧拉公式：将上述关系代入（4-24）得：比较上式等号左右两边可得：由于 ，故只有 ，解得：将上式代入（4-25b）得：16网络综合原理 第四章 逼近理论17网络综合原理 第四章 逼近理论由于 ，故有：于是：令满足上式的各 之值为 ，则：18网络综合原理 第四

4、章 逼近理论19网络综合原理 第四章 逼近理论根的实部和虚部分别为：将 左半平面的根赋予 ，即得：由于20将式（4-26）代入上式可得：切比雪夫工作传输函数的根位于 复平面椭圆上。切比雪夫滤波器是全极点型低通滤波器。网络综合原理 第四章 逼近理论21 4.3.4 切比雪夫低通滤波器的设计常数 、阶数 和工作传输函数的确定以及电路实现。例4-2 设计一个切比雪夫低通滤波器，技术指标同例4-1，解：1. 确定阶数根据式（4-22）和（4-23）网络综合原理 第四章 逼近理论取整数2. 求归一化频率特征函数 和工作传输函数根据切比雪夫多项式的递推公式可得：22网络综合原理 第四章 逼近理论23可得：其归一化电路原型如下：网络综合原理 第四章 逼近理论图4.4 四阶切比雪夫低通原型电路(a)(b)图（a）中,图（b）中, 4. 反归一化得到实际电路的元件值参考电阻： ，参考频率：反归一化电容单位：反归一化电感单位：24网络综合原理 第四章 逼近理论得实际电路参数为：对于（a）图电路：对于（b）图电路：网络综合原