《数学物理方程》课程教学大纲

1、数学物理方程Mathematical Physics Equations一、课程基本情况课程类别：公共基础课课程学分：2学分课程总学时：32学时，其中讲课：32学时课程性质：必修开课学期：第3学期先修课程：高等数学，线性代数适用专业：物理，应用物理，材料物理，光电教 材：王元明主编，数理方程与特殊函数，高等教育出版社，2012年。开课单位：物理与光电工程学院材料物理系二、课程性质、教学目标和任务课程的目的是为学生提供学习后继专业课程和在未来的工作实际中所必须的工程数学基础，使学生在运用数学物理方程与特殊函数的思想和方法解决实际问题的能力方面得到系统的培养和训练，掌握两种常用积分变换法（傅里叶变

2、换和拉普拉斯变换）的性质和应用，数理方程的导出、以及数理方程的几种常用的求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、Green函数法等，另外引入几个常见的特殊函数，如Bessel函数（柱函数）、Legendre多项式（球函数）等，培养学生运用数理方程的方法分析和解决实际问题的能力。本课程有其独特的数学概念和方法，并大量向各学科渗透并与之结合成不少边缘学科，其教学方式应注重启发式、引导式，课堂上注意经常列举本课程在各领域成功应用的实例，增强同学的学习热情，讲授时应注意善于联系已学过课程的有关概念、理论和方法，使同学加快对本课程的基本概念、基本理论和基本方法的理解。配合理论教学需要，在习题课中通过合适

3、的例题和适当的讲解，使同学通过做题既加深对课堂讲授的内容的理解，又增强运用理论建立数学模型、解决实际问题的能力。三、教学内容和要求章 节教 学 内 容授课学时第一章一些典型方程和特定条件的推导4第二章分离变量法8第三章行波法与积分变换法8第四章 格林函数法4第七章Bessel函数及其性质4第八章Legendre多项式4合计32第1章 一些典型方程和特定条件的推导(4学时)1.1基本方程的建立（1学时）（1）了解振动方程、热传导方程、拉普拉斯方程及泊松方程的物理意义。（2）理解振动方程、热传导方程、拉普拉斯方程及泊松方程的导出过程。（3）掌握振动方程、热传导方程、拉普拉斯方程及泊松方程的物理意义

4、和导出过程。1.2初始条件与边界条件（1学时）（1）了解三种类型的初始条件与边界条件的物理意义（2）理解三种类型的初始条件与边界条件由物理现象到数学表达式的抽象过程。（3）掌握三种类型的初始条件与边界条件的数学表达式1.3定解问题的提法（2学时）（1）了解三类方程定解问题的提法。（2）理解三类方程定解问题的解法。（3）掌握线性二阶偏微分方程的分类、特征，双曲型，抛物型和椭圆型方程。本章重点：常用数理方程的推导过程；边界条件的几种形式；线性二阶偏微分方程分类方法。本章难点：线性二阶偏微分方程的分类的方法。第2章 分离变量法(8学时)2.1有界弦的自由振动（2学时）（1）了解此类问题的物理背景（2

5、）理解此类问题属于第一类边界条件（3）掌握此类问题的解法，并回归讨论两端固定的弦的自由振动的物理图像。2.2有限长杆上的热传导（2学时）（1）了解此类问题的物理背景（2）理解此类问题属于第二、三类齐次边界条件（3）掌握如何处理含有第二、三类齐次边界条件的定解问题，并回归讨论物理图像。2.3圆域类的二维拉普拉斯方程的定解问题（2学时）（1）了解此类问题提出的物理背景（2）理解坐标系，柱坐标系的分离变量（3）掌握如何在极坐标系下使用分离变量法2.4非齐次方程的解及非齐次边界条件的处理（2学时）（1）了解此类问题提出的物理背景（2）理解非齐次振动方程和输运方程的傅立叶级数法（3）掌握处理非齐次方程和

6、非齐次边界的方法本章重点：学会解偏微分方程的分离变量的基本方法，并用它讨论本征值和本征函数的问题，并会处理非齐次方程和非齐次边界。掌握球坐标系，柱坐标系的分离变量，能够从拉普拉斯方程，波动方程推导出特殊函数常微分方程。本章难点：球坐标系，柱坐标系的分离变量。第3章 行波法与积分变换法（8学时）3.1一维波动方程的拉朗贝尔公式（2学时）（1）了解波动方程的物理背景。（2）理解行波法的物理思想。（3）掌握达朗贝尔公式的推导过程。3.2三维波动方程的泊松公式（2学时）（1）了解求解高维波动方程的初值问题的基本思想。（2）理解用平均值函数法和降维法的基本思想。（3）掌握用平均值函数法和降维法求解高维波

7、动方程的过程。3.3积分变换法举例（4学时）（1）了解积分变换的一般讨论（2）理解傅立叶变换法, 拉普拉斯变换法的原理以及这些方法适应的范围（3）掌握傅立叶变换法, 拉普拉斯变换法求解数理方程的过程本章重点：理解行波法的物理思想，达朗贝尔公式的推导过程，掌握傅立叶变换法和拉普拉斯变换法解数理方程的原理以及这些方法适应的范围。本章难点：傅立叶变换法和拉普拉斯变换法解数理方程的原理。第4章 拉普拉斯方程的格林（Green）函数法（4学时）格林公式（2学时）（1）了解拉普拉斯方程边值问题的提出和两类格林公式的导出过程（2）理解调和函数的积分表达式及其意义（3）掌握格林函数的导出思想及格林函数的基本性

8、质4.3两种特殊区域的格林函数及狄式问题的解（2学时）（1）了解此类问题的物理背景（2）理解格林函数法求解特殊区域上稳定场问题的基本思想（3）掌握格林函数法求解某些特殊区域上（半空间的格林函数、球空间的格林函数）的稳定场问题的一般步骤本章重点：重点掌握用格林函数解数理方程的原理。本章难点： 格林函数法求解某些特殊区域上的稳定场问题第七章 Bessel函数及其性质（4学时）（1）了解贝塞尔方程的引出（2）理解贝塞尔方程的求解，以及当N为整数时贝塞尔函数的通解（3）掌握球贝塞尔方程的求解方法以及在物理问题上的应用，函数发展成贝塞尔函数级数的一般步骤本章重点：贝塞尔方程的求解和通解，函数发展成贝塞尔函数级数的一般步骤。本章难点：贝塞尔方程的求解方法以及在物理问题上的应用。第八章 勒让德多项式（1）了解勒让德方程的引出的物理背景（2）理解勒让德方程的求解方法（3）掌握勒让德多项式的微分表示、正交完备性、归一关系、生成函数、递推关系。 本章重点：勒让德方程的求解方法，微分表示、正交完备性、归一关系、生成函数、递推关系。本章难点：勒让德方程的求解方法以及在物理问题上的应用。四、课程考核1、考核方式：闭卷