非线性方程求根的加权迭代法

1、非线性方程求根的加权迭代法论文导读：众所周知，工程和科学计算中的许多问题常常归结为非线性方程求根的问题，而非线性方程的解一般不能解析求出，所以数值求解在实际应用中就变得更加重要。用加权迭代公式3求非线性方程根的近似值的方法称为加权迭代法。关键词：非线性方程，加权迭代法，收敛性，数值实验众所周知，工程和科学计算中的许多问题常常归结为非线性方程求根的问题，而非线性方程的解一般不能解析求出，所以数值求解在实际应用中就变得更加重要。求解此类问题的一个根本方法是迭代法，常用的迭代法主要有简单迭代法、牛顿迭代法和弦割法等【1】。在【2】、【3】和【4】文献中给出了多种非线性方程根的改良迭代算法。本文基于简

2、单迭代公式结合加权思想，给出一种可行的加权迭代算法从而可以提高非线性方程求根的收敛速度。最后给出数值算例，数值结果说明此迭代格式对于非线性方程求根具有较快的收敛速度。1.非线性方程求根的简单迭代法简单迭代法是计算非线性方程根的一种根本方法。其根本思想是利用某种迭代公式，使某个近似根逐步精确化，直到得到满足精度要求的近似根为止。将非线性方程化为同解的方程。给定一个适宜的初值，代入右端可算得，再将代入右端， 又可得，如此继续下去,那么得到一个序列，其中， 。论文格式。 称为迭代序列，称为迭代函数。假设迭代序列收敛到即，那么当函数连续时，由可得：=称为的不动点，即为原方程的根。实际计算时， 当迭代到

3、一定程度时，一般计算到有限步，即可得到某种精度的近似根，就取作为原方程根的近似值。这种求根方法称为简单迭代法，或逐次逼近法。当然，假设发散，迭代法就失败。2.加权迭代格式2.1加权迭代格式的构造设方程 在 附近有一个根，将其化为同解的方程。论文格式。 那么的根即为两条线的交点。首先构造迭代格式：1见文献【2】。令,设是根的某个近似值，用迭代格式1()校正一次得：，而由微分中值定理，有 介于与之间。 假设在所考察的范围内变化不大，近似地取某个近似值为L，那么有得：这就是说，假设将迭代值与加权迭代平均，即取上式右端为=，那么是比更好的根的近似值，这样得到加权迭代的公式为： 用加权迭代公式3求非线性

4、方程根的近似值的方法称为加权迭代法。2.2加权迭代格式的收敛性分析简单迭代法的迭代函数为，而加权迭代法是以代替了。论文格式。令上式右端对求导并化简得：由于见文【3】,而为与1的加权平均，从而有3.数值实验我们以简单迭代法和加权迭代法求解在附近的根为例，精度取为。用简单迭代法求解此方程的根至少要迭代14次以上才可到达精度要求，迭代结果见表1：表1：简单迭代法求解方程近似根的结果表2：加权迭代法求解方程近似根的结果比拟表1和表2的迭代结果可以看出，加权迭代法与简单迭代法相比具有较快的收敛速度、较高的数值精度。迭代法是在非线性方程求根中经常使用的一种算法，而加权迭代法具有收敛速度快、精度高等特点，从而该方法在非线性方程求根中具有很高的实用价值。参考文献【1】李庆扬，王能超，易大义.数值分析. 北京: 清华大学出版社, 2001.【4】冯新龙,张知难. 求解非线性方程的加