行列式行列式性质计算

1、关于行列式行列式的性质计算第一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月一、对换二、行列式的性质（重点）三、行列式的计算（重点、难点）四、行列式按行（列）展开第一章 行列式主要内容：第二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性一、对 换提问：什么叫排列的奇偶性？第三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性证明：设排列为对换 与除 外，其它元素的逆序数不改变.第四张，PPT共四十六页，

2、创作于2022年6月当 时，经对换后 的逆序数增加1，的逆序数不变；经对换后 的逆序数不变， 的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当 时，现来对换 与第五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,推论奇排列变标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.定理2 阶行列式也可定义为其中 为行标排列 的逆序数.证明而标准排列是偶排列(逆序数为0),所以推论成立.第七张，PPT共四十六页

3、，创作于2022年6月性质1 行列式D与它的转置行列式DT 相等 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之同 性质2 互换行列式的两行 行列式变号 二、行列式的性质第八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式。推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零。第九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和。 即第十

4、张，PPT共四十六页，创作于2022年6月性质5 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零 性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。第十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月称n 阶行列式为上三角行列式。 下三角行列式？上三角和下三角行列式统称为三角形行列式。显然，n阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积三、行列式的计算第十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查:符号规定 第 i 行(或列)提出公因子 k 记作 rik (或 cik ) 交换 i j 两行记作 rir

5、j 交换 i j 两列记作 cicj 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) 对任意的n阶行列式可用行列式性质将其化为三角形行列式，这时计算n阶行列式的值即转化为计算三角形行列式主对角线上的元素相乘的积。第十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 例1 计算 3 1 215 14 3 2 01 1 153 3 214 31 13 3 1 3 21 1 3 21 016 72 0 1 2 31 2 11 0 010 8 0 1 2 31 2 11 0 21 1 1 1 05解： 3 1 215 14 3 2 01 1 153 3 35 2 1c1c2 r2r

6、1r45r1 0 08166 4 0 21 1 72 086 4r2r3 0 010 8 0 01510 r34r2r48r2 0 05/2 040 第十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月r4r1r3r16 1 1 1 1 例2 计算 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 解： c1c2c3c4 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 16 c16 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1r2r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 06848

7、第十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月D 例3 计算 解： r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bcabcd0aababc00a2ab00a3abr4r3r3r2abcd0aababc00a2ab000 ar4r3a4 第十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为 证 例4 证明DD1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2

8、 第十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 把D2n中的第2n行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1) (adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2 (adbc)n 解 例5 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 第十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月四、余子式、代数余子式所在的第i行和第j列在n阶行列式中，把元素的余子式（complement minor），记作阶行列式叫做元素划去后，剩下来的代数余子式（algebrai

9、c complement minor），而前面附以符号后，叫做元素的来表示，即用符号第十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例如4阶行列式中元素的余子式和代数余子式分别为：第二十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 例如第二十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月证当 位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时本次课例4的特殊情形第二十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调得(共掉换i-1次)：第二十三张，P

10、PT共四十六页，创作于2022年6月得(共掉换j-1次)：再把D中的第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对调第二十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月第二十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月中的余子式元素 在行列式中的余子式仍然是 在第二十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月故得于是有第二十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月在运用定理3来计算行列式时，总是按含0最多的行或列来展开行列式，因为0位置的代数余子式乘以0后仍然是0。 第二十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例6 证明：第二十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月证：由定理3将

11、行列式按第1行展开，对这个n1阶行列式再按第1行展开有： 这样逐步推下去，则得到 第三十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例7 计算的值。第三十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 第三十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月第三十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 证：用数学归纳法所以当 时，(1)式成立。因为第三十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月假设(1)对于n-1阶范德蒙德行列式成立.按第1列展开，并把每列的公因子 提出，就有设法对Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有：第三十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月n-1阶范德蒙

12、行列式第三十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证把行列式D按第j行展开，有行列式D，特别写出了第i行和第j行第三十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月同理，相同把 换成 ，可得当 时，第i行第j行第三十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月由此得关于代数余子式的重要性质：其中或第三十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月相关应用 如果第i行的元素为b1 b2 bn 则有 如果第j列的元素为b1 b2 bn 则有第四十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例9 设D的(i，j)元的余子式和代数余子式依次记作 和 ，求第四十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解： 第四十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月第四十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月小 结一、对换二、行列式