圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)基础知识及常用结论

1、第 页圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-椭圆一、椭圆定义椭圆三定义，简称和比积.1、定义1:（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为长轴.（定值=2。）2、定义2:（比）到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=）3、定义3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.定点为短轴顶点，定值为负值.（定值k=e2-1）二、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，a方、b方除以c通径等于2ep，切线方程用代替焦三角形计面积，半角正切连乘b注解：1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2d，

2、短轴=2b，焦距=2c，则：a2=b?+c22、准线方程准焦距，a方、b方除以ca2ac准线方程：x=（方除以）cb2c准焦距P:焦点到准线的距离：P=-（b方除以c）c3、|通径等于2eP，切线方程用代替椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距”cb22b2离称为椭圆的通径.(通径d=2eP=2一=aca过椭圆上(x,y)点的切线方程，用(x,y)等效代替椭圆方程得到.0000 xxyy等效代替后的是切线方程是:右+右=14、焦三角形计面积，半角正切连乘b焦三角形：以椭圆的两个焦点F,F为顶点，另一个顶点p在椭圆122上的三角形称为焦三角形半角是指e=ZFPF的一半.1c”e

3、证明：设|PFj=m，由余弦定理：=n，则m+n=2a.则焦三角形的面积为：s=b2tan2m2+n-2mn-cose=4c2=4a2-4b2=(m+n)2-4b2-2mn-cose=2mn-4b2，即：2b2=(1+cose)mn.mn=1PFIIPF1=121+cose故：s1e=1S=mnsine=F1PF222ee2sincos222cos22sine又：1+cose2b2sine-sme=b21+cose1+cosee=tan2e所以：椭圆的焦点三角形的面积为九軒=b2tan2三、椭圆的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距

4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理2、切点连线求方程，极线定理须牢记若P0(x0,y0)在椭圆+艺=1外，则过P作椭圆的两条切线，切点为000a2b20P1,p，则点P0和切点弦p,p分别称为椭圆的极点和极线切点弦P1P2的直线方程即极线方程是+也=1(称为极线定理a2b23、|弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指椭圆内的一弦AB中线指弦AB的中点M与原点o的连线，即AOAB得中线这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离x=-去除ccpb2准焦距p=等，其结果是:kAB-kOM=X=一云c4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点

5、为M（x0,y0），弦AB称xxyyx2y2为中点弦，则中点弦的方程就是右+右=ar+b2，是直线方程.弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点P0（x0,y0）的弦AB，其xxyyx2y2中点M的方程就是匕0厂+0=-+2，仍为椭圆.a2b2a2b2这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义1、定义仁（差）平面内，到两个定点f,F的距离之差的绝对值为定12FF）的点的轨迹称为双曲线。定点12双曲线有四定义，差比交线反比例值2a（小于这两个定点间的距离|PF-PF二2a12F,F叫双曲线的焦点。即：12!！2、定义2：（比）平面内，到给

6、定一点及一直线的距离之比为定值e1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。3、定义3：（交线）一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。k4、定义4：（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图x象称为双曲线。证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到X2y2证明：因为xy=k的对称轴是y=x,y=_x,而一-=二1的对称轴a2b2是x轴，y轴，所以应该旋转450.设旋转的角度为a(a鼻0，顺时针)(a为双曲线渐进线的倾斜角)贝U有：X=xcosa+ysina，Y=-xsina+ycosa取a=45o，则：X2Y2

7、=xcos45o+ysin45。2xsin45。ycos45。2=1(x+y-(x一y=2xy而xy=k，所以，X2Y2=2xy=2k即：12y2=i(k0)或二-旦=1(k0)2k2k(2k)(2k)由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，a方、b方除以c通径等于2ep，切线方程用代替焦三角形计面积，半角余切连乘注解：1、实轴虚轴与焦距：形似勾股弦定理实轴=2a，虚轴二2b，焦距二2c，则：a2+b2=c22、准线方程准焦距，a方、b方除以c亠a2准

8、线方程：X=C（a方除以C）cb2准焦距p:焦点到准线的距离：P=（b方除以c）c3、|通径等于2ep,切线方程用代替双曲线的通径d:过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间-cb22b2的距离称为双曲线的通径.（通径d=2ep=2一=aca过双曲线上P0（x0,y0）点的切线方程，用P0（x0,y0）等效代替双曲线方程xxyy得到，等效代替后的是切线方程是:备-0-4、焦三角形计面积，半角余切连乘b焦三角形：以双曲线的两个焦点F,F为顶点，另一个顶点p在椭12圆上的三角形称为焦三角形半角是指丫=ZFPF的一半.12双曲线12-=1的左右焦点分别为Fi，F2，点p为双曲线上异于顶点任意一点Z

9、FPF=y12，则双曲线的焦点三角形满足:lPF11PF22b21-cosy其面积为;y=b2cot2证明:设ipf1=m，pf2=n,则m-n=2a在AFPF中，由余弦定理得：12PF2+PF2一2PFI|PFcosy=FF2,121U212即：m2+n2一2mn-cosy=4c2=4a2+4b2=（m一n）2+4b2即：m2+n2一2mncosy=（m一n）2+4b2即：2mn-2mncosy=4b2,即：2b2=mn（1一cosy）即：2b2mn=1-cosY，即：PFPF22b21-cosY那么，焦点三角形的面积为：S吓21=mn-siny22b21-cosYYY2sincosbsin

10、Y=b2221-cosY2sin2Y2Y=b2cotYS=b2cot_故：AFPF212同时：S=1af1pf22b2Y故：叭=ccot2双曲线的焦点三角形的面积为：SAF1PF2Y=b2cot2三、双曲线的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.如图，AF

11、PF是焦点三角形，FPF为焦周角，PT为双曲线的切线.1212则PT平分F1PF2-2、切点连线求方程，极线定理须牢记若P0(x0,y0)在双曲线-=1外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过作双曲选的两条切线，切点为P1、P2，则点P0和切点弦P1P2分别称为双曲线的极点和极线，切点弦pp的直线方程即极线方程是xx-y=112a2b2(称为极线定理)3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指双曲线内的一弦ab.中线指弦ab的中点M与原点O的连线，即AOAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离TOC o 1-5 h zx=去除准焦距p=，其结果是：cc”cpb2 HYPERLI

12、NK l bookmark16 o Current Document k-k=-ABOMxa2c4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在双曲线中，若弦ab的中点为M(x0,y0)，称弦AB为中点弦，则中点弦的方程就是：=xi-yl，它是直线方程.a22a22弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点P0(x0,y0)的弦xxyyx2y2AB,其AB中点m的方程就是02一br=02一b，仍为双曲线.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线一、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物

13、线.2、二次函数的图象是抛物线二、抛物线性质焦点准线极点线，两臂点乘积不变焦弦切线成直角，切点就是两端点端点投影在准线，连结焦点垂直线焦弦垂直极焦线，切线是角平分线直角梯形对角线，交点就是本原点焦弦三角计面积，半个p方除正弦注解：1、焦点准线极点线抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：y2=2px，焦点F(P,0)，准线x=2p2(抛物线的顶点0(0,0)到定点F(,0)和定直线x=距离相等)2p2焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A和B，则AB称为焦弦.弦中点M（Xm），xM=XA2XByM=焦弦方程：y=k(X-),k为斜率.22、两臂点乘积不变焦点三角形两边oa和|ob|的点

14、乘积为定值，且夹角是钝角证明：焦弦AB满足的条件TOC o 1-5 h z=2k22vnk2(x-)2=2pxnk2x2-(k2+2)px+=0y=k(x-2)24由韦达定理得：xAxB=22XB=2XAXB=-2P-2=-29即：XAXB=aVb=-2且:OA-O=（XAA）*（XB，yB）=XAXB+佔=-3P20，0e0,360）以焦点F（0,0）为极点（原点o）,的实轴为极轴的建立极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p、且垂直于极轴的直线L.极坐标系与直角坐标系的换算关系是：P=x2+y2，y0=arctanx或者：x=Pcos0，y=Psin0特别注意：极坐标系中，以焦以椭圆长轴、抛

15、物线对称轴、双曲线点为极点（原点），而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.如图，O为极点，L为准线，则依据定义，到定点（极点）和到定直线（准线）的距离之比为定值（定值e）的点的轨迹为圆锥曲线.所以，对极坐标系，请记住：极坐标系的极点O是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点第 页曲线上的点P(p,e)到焦点F的距离是P，到准线的距离是p+pcose,根据定义：Pp+pcos0即：ep+epcosO=p，即：ep=p-epcos0,即：p=1-ecosO这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.(3)对应不同的e，呈现不同的曲线对双曲线，只是右边的一支；对抛物线，开口向右.二、极轴旋转1800将极

16、轴旋转180，a和e分别对应变极坐标系的极点O是椭圆的右焦0=a+90o，则情况如图圆锥曲线的方程为：p=1-esin0此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在y轴的情况，且极点对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点对双曲线，只是y轴上边的一支；对抛物线，开口向上(2)如果将极轴逆时针旋转90o，即：0=a-90o，则情况如图圆锥曲线的方程为：p=ep1+esina此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在y轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点对双曲线，只是y轴下边的一支；对抛物线，开口向下四、坐标变换在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：p=ep1-ecos0即：p-epcos0=ep，即：p=ep+epcos0即：p2=(ep+epcosO)2=e2p2+e2(pcos0)2+2e2p(pcos0)将p2=x2+y2,pcos0=x代入式得：x2+y2=e2p2+e2x2+2e2px即：(1-e2)x2-2e2px+y2=e2p2当e工1时有:（1-討）-化X+（巳）2+y2=&+（1-e2）（）2即：(1-e2)(x-e)2+y2=e