专题6网格问题解法

1、专题六网格问题解法网格问题是指以正方形网格为背景的一类试题.此类问题由于不需要繁杂的计算和繁 难的证明，试题背景公平，题型灵活，操作性强，趣味性浓，体现新课程理念，近几年是 中考的热点问题。网格问题一般都以中低档题的形式出现.利用网格自身的特点进行图案的设计和图形 变换作图，计算线段的长度或图形的面积，探究图形的变化规律等.近年来，以网格为载 体的有关相似形、圆或平面直角坐标系的综合题频频出现，应引起我们的重视.下面以几 例介绍数学中的网格问题。1、利用网格进行图形变换的作图例1如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个 ABC和一点 O，AABC的顶点和点O均与小正方形的

2、顶点重合.在方格纸中，将 ABC向下平移5个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1；在方格纸中，将AABC绕点O旋转180得到 ABC，请画出 ABC.2 2 22 2 2分析 本题考查图形的平移和旋转画图.(1)中分别作出点A、B、C向下平移5个单位后 的对称点，然后再分别连接这三个点即可.(2)中将 ABC绕点O旋转180，须先作出 点A、B、C关于中心O的对称点.解如图2.变式练习：(2013江苏泰州市，本题满分10分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中，AABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将 ABC向下平移4个单位、再向 右平移3个单位得到AA B C，然

3、后将AA BC绕点A顺时针旋转90得到A BC .11111111 2 2在网格中画出 A1B1C1和AWR；计算线段AC在变换到A1 C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)第1题图第2题图图4(2010浙江湖州)如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若 ABC与4 ABC是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的 1 1 1坐标是.2、以网格为载体综合考查数学知识的应用将圆置于正方形的网格中，解题关键是利用同弧所对圆周角相等，把不是直角三角形中 的角转化为直角三角形的角，从而求出三角函数值.例2如图4,在5X5正方形网格中，一条圆弧经过A,

4、B, C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A、点PB、点QC、点RD、点M分析：本题由垂直于弦的直径的性质和推论的知识可知，圆心是弦AB、弦BC的中垂线的交点，借助网格可以得出弦AB、弦BC的中垂线相交于Q点，故选B。将弧置于正方形的网格中，解题关键是利用垂径定理和推论，作弦AB、弦BC的中垂线，两条垂直平分线的交点即为圆心所在的位置。变式练习：(2010湖北孝感)如图，AABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan/A的值是( )图题3官 算65八2J03、10A、-B、丁C、-D、7TT-56310(2010新疆乌鲁木齐)如图2,在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,

5、 4), (5, 4), (1, -2)，则AABC外接圆的圆心坐标是A、 (2, 3)B、 (3, 2) C、 (1, 3)D、 (3, 1)(2010四川乐山)如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标 系，使点A的坐标为(一2, 4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是()A、 (-1, 2) B、 (1,-1) C、(-1, 1)D、(2, 1)3、在网格中计数例3如图5所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得AABC为等腰三角形，则点C的个数是()A、 6B、 7C、 8D、 9分析与解 用列举法把所有的可能情况全部列举

6、出来.以点A为等腰三角形顶角的顶点 时，格点C存在2个；以点B为等腰三角形顶角的顶点时，格点C存在2个；以点C为等 腰三角形顶角的顶点时，格点C存在4个；共8种.选C.中考中常出现利用网格计数的问题，考查分类讨论的数学思想在分类讨论时，应注 重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到不重复、不遗漏.变式练习：(2011福建福州，10，4分)如图3,C、8D、91.在长方形网格中，每个小长方形的长为2,宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B. C为顶点的三角形面积为则满足条件的点C个数是()A、2B、3C、4D、54、利用网格的特殊性计算 例4如图6,在边长为1的小正方形组

7、成的网格中，AABC的三个顶点均在格点上，请按 要求完成下列各题：画ADBC (D为格点)，连接CD；线段CD的长为； 请你在AACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是，则它所对.应的正弦函数值;若E为BC中点，则tanZCAE的值是.分析 欲画ADBC，要注意D是格点，可先猜后画再明晰其中的道理.求CD的长，可将CD看作是某个直角三角形的边长. 5 解(1)如图 7； (2)/5 ； (3)ZCAD，w TOC o 1-5 h z 2*1(或ZADC -)；(4)- 点拨 本题利用格点作图和计算，涉及勾股定理、三角函数、平行线等知识，方法新颖， 思路巧.解此类题要注意运用网格中隐含的

8、平行、垂直、相等的角和相等的线段变式练习1 (2010年贵州毕节)在正方形网格中,ABC的位置如图所示，则cos B的值为()A、B、C、D、2.（第111山东青岛6, 3演攻如醴 若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的1，则点A的对应点的坐标是（）2A、(-4, 3)B、 (4, 3)C、(- 2, 6)D、(- 2, 3)5、利用网格设计图案例5已知每个网格中小正方形的边长都是1,图8中的阴影图案是由三段以格点为圆心， 半径分别为1和2的圆弧围成.（1） 填空：图8中阴影部分的面积是 （结果保留兀）；（2）请你在图9以图8为基本图案，借助轴对称、平移或旋

9、转设计一个完整的花边图 案（要求至少含有两种图形变换）.图9分析：在求图形阴影部分的面积时，一般采用的方法是利用规则图形的面积的和差解决问 题.在使用基本图案进行新图案设计时，常用的方法就是运用图形的平移、翻折、旋转、 轴对称及中心对称等方法来设计.解 （1）兀2 ；（2）答案不唯一，图10提供三种图案.图10新课程标准要求“欣赏现实生活中的轴对称和中心对称图形，结合现实生活中典型的 实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称和中心对称进行图案设计”.本例在网格 中进行图案设计，具有一定的开放性.变式练习：七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为 的三块板（如

10、图1）经过平移、旋转拼成图形.（1）拼成矩形，在图2中画出示意图.（2）拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图.注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上.（2011吉林长春，20，6分）在正方形网格图.图中各画一个等腰三角形.要求:每个等腰三角形的一个顶点为格点A,其余顶点从格点B. C. D. E. F. G. H中选取，并且所画的两个三角形不全等.6、利用网格进行证明和探究例6：如图11所示在4x4正方形网格中，Z1+ Z2 + Z3 + Z4 + Z5 + Z6 + Z7 =(A、B、C、D、A、 330B、 315C、 310D、 320分析：利用网格可以证明出

11、匕1和匕7所在的两个网格直角三角形全等，于是可得出Z1+ Z7=900；同理，匕2+匕6=90。；匕3+匕5=900；利用网格可以得出匕4=45。；故Z1+Z2+Z3+ Z4+Z5+Z6+Z7=3150；所以选 B。例7：如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）分析：可利用网格分别求出图中所有的三角形的边长，再利用三角形相似的判定方法得出 答案。也可以通过网格得出ZACB=1350，若三角形与AABC相似，则必有一角是1350，由 网格可知，只有B中三角形才有一角是1350，故答案为B。变式练习：（2013湖北荆州，7, 3分）下列4X 4的正方形网格中，小正

12、方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与AABC相似的三角形所在的网格图形是（）综合练习一、选择题如图（1）在边长为1的小正方形组成的网格中，半径为2的0的圆心0在格点上，将一个与口 】重合的等圆向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到D O2，则口 O2与口 O1的位置关系是（）A、内切B、外切C、相交D、外离（2010湖北宜昌）如图，在方格纸上ADEF是由 ABC绕定点P顺时 针旋转得到的。如果用（2,1）表示方格纸上A点的位置，（1,2）表示B 点的位置，那么点P的位置为（）。A、 （5,2）B、（2,5） C、（2,1）D、（1,2）二、填空题（2010四川凉山）如第14题图，Z

13、1的正切值等于。第4题图（2010浙江嘉兴）在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点.已知一个圆的圆心在原点、半径等于5,那么这个圆上的格点有个. （2010福建晋江）如图，ZBAC位于6x6的方格纸中，则tanZBAC =.（2010江苏泰州）如图在8x 6的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，OA的半径为2个单位长度，。B的半径为1个单位长度，要使运动的。B与静止的。A内 切，应将。B由图示位置向左平移 个单位长度. （2010江苏苏州）.如图，在4X4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边 长为1的正方形.0、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长

14、等于.（201?浙江湖州）请你在如图所示的12X12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 个格点.（2010四川内江）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形有个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形有个.图1图2（2010山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度 的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为J5的线段 条.riill第11题图（2010福建泉州南安）如图，大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成， 把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长 是（2010江苏连云港）（本题满分10分）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转90，试解决下列