三角函数与平面向量热点题型的解题技巧

1、洲北壮始月第一中学“微讲座”教研活勘HUBEIJIANSHI NO.l HIGHSCHOOL6年第6期三角函数身率面向量热点题型解题策略主持人：万振科 主讲人:黄丽人主办：教科处 忱力：信息技术外4月19日辔晤）J9： 30-21 ： 00建始一中教师QQ曼9779830三角函数与平面向量热点题型的解题技巧三角函数与平面向量历来是高考的重点内容，这两部分内容之间互相渗透，而且也和其他 数学分支进行融合，在高考试题中，这两部分内容的基础性、工具性以及渗透性都表现得淋漓 尽致，纵观近几年高考可以看出：三角函数与平面向量的试题一般是两个小题和一个大题，但 近两年只有四个小题。对于小题通常设计为基础知

2、识与基础方法类试题，难度不大，但也都不是“一望而解”的 试题，求解时必须拥有基础的知识与技能，也都需要经过一些基本运算，而后产生结论。常见 试题的落点是函数图象、单调性、最值及简单的三角变换。平面向量的试题都是基本的运算， 比如：求数量积、求向量夹角等。当然，有时也会将其融于解答题之中，如与三角函数、圆锥 曲线、数列等问题的交汇。首先我们就看看三角函数的解题技巧1、打（力二-+（0工.:面值域.sinx cos x 21、解：= 51n *+8= ;令+ gs H =想 xj评析*形如/（sin冗85三&inmzosy）型函数的值域常用r =&in # + cos嫩元化为关于t的函数形如 y

3、=asin2x - bsinxcosx - ccos2x型的最值，周期与求值常常化为y=Asin（x +中）或以sin2x + cos2 x代换分母“1”，然后变为关于tanx的函数久 已知&b,c分别为 ABC三个内角A、B、C所对的边长， 目满足 2551口（。+令=也+白（0求角B的大小（2）若点M为BC的中点，且AM=AC,求sin ZB.4C解法一：取CM的中点D,连接AD, AD _LCM ,DA AM = AC. MD = DC 设 CD =x,则 BD =3x由（1）得8= . AD=3、3x,. AC=2.7x 3由正弦定理知一竺一 sin . BAC2,7xjisin 一3

4、21 sin . BAC =7解法二：设.BAM在ABM 中，AM = AC =b, BM =MC =刍 2由正弦定理得BM AM a b 在Dabc中,由正弦定理得 TOC o 1-5 h z si E 一 .二 2 stn .二 si ns.BAC = - - X0 L：二一） 36AC BCn:nsin - sin（ 一二）33b _ asin sin（ 一口33整理得 tan 5、21 sin :J2T714sin BAC = 2 sinAC方法三：用余弦定理解得 TOC o 1-5 h z 由(1)知B=3,又M为BC的中点，二BM =MC =- 32在LI ABM与ABC中，由余弦

5、定理分别得：22 / a 苕 2 aa2 acAM =( ) c -2 c_cosB = c -22一一42222AC =a c -2accosB又a2 ac2 23a7AM =AC, c 一 一 二 a c 。ac, c = b =a42227a由正弦定理知，一a=一2得 sin BAC 。*二sin 3sin BAC 二73、A,BCQ为平面四边形ABCD的四个内角。B证明:(l)tan-=:2 sin WBCD4- tan F tan + tan -777上，,Q)若4+。=18心一怎=0 3C=tCD=4；JD=5 求 tan-的值。2 cifi 口 B * 解：(1)证明: tan

6、B =-: 1 / =-等式成立，即证。 coisi71(2 )由 +。= 180得 = 180。抵 = 180瓦 由(1 )可知:ABA B C Dtan 4-tan +tan +tan =2222_ 1-co%/+1 co 5B + l-c。4万一 J) +1 。式公- B) 2 + 2 sin* sinsin(；T 司 sin(?) sin A sin B连接 BD,在八阳。中,=BC2 +CZ): -25C-CDcos C 得颉 A3 + /40* cos A. = BC + CD -2BC，CD cos C1-22 c2, 26 5 -3 42(6 5 3 4) TOC o 1-5

7、h z 22_ 2_2A AB AD -BC -CD cos A =i2(ABLAD BC_CD)22 10于是 sin A - 1 -cos A =.o762 32 -52 -42 12(6 3 5 4)19连接AC,同理可得：AB2 BC2-AD2-CD2 cosB 二i2(ABLBC ADJCD) 工曰2= 6而于是 sin B = Vl - cos B =。19tq tan tanC tanD 222222+sin A sin B4.103评析：第一问，利用二倍角公式得证，第二问，将四边形转化成三角形问题来解决4、在等腰直角AOPQ中，ZPOQ = 90, OF = 2小,点M在线段F

8、Q上.若OV =忑,求PM的长(2)若点N在线段MQ上,且ZAfO,V=30 /中当POM取何值时OIN的面积最小？并求出面积的最小值口4、解析：(1)在OMP中，ZOPM=Wt UM =、氐 OP二工5 由余弦定理得OM1 =OP2 + PM2-1OP PM cos45a(2)设Wa60，BD = BC +CD 25C*CDcosC在OMP中，由正弦定理，得OM _ OPsin Z OPM sin AOXfPsin(45-a)OPsin 45同理0M= .si 口 (75 +4)故S3w= gx OAf xONxsin2 AMON_ 1 OP2*sin245fl4 sin(45J +a)si

9、n(75J +a)1+-sin(30 + a)4 一v00 a6030 2z+30*150*二当a=3(T时闺n(2a+30。%最大值为1,此时。孙的面积取到最小值，即/P0M =30时心OMVff)面积的最小值为8 - 4/3评析与探究：三角交换与正、余弦定理的综合运用是高考的热点问题，基本思路是利用正、 余弦定理进行边角转化对于求值类题目，一般由已知条件引历程(组)求解即可，对于求范 围问题，关键在于通过等等量代换变成求值域问题,因此必须利用已知条件准确求出变量的 定义域卜面我们说说平面向量的解题技巧二、平面向量1、在,(：中，若ABAC = 7, aB - jc|= 6,则 ABC的面积

10、的最大值为U解析；设角为 B,c的对边分别为at,二则由已知条件可知be= 6,由余弦定49理 可 知 /+ 1-14 = 36,故送+1=50 , 又 2bc2+c2=50c25 ?Sc = be sin =bclCQS2 A =be 11 =49 -V252-49 = 12当B = e = 5时等号成立,故所求的最大值为12。评析：首先是把向量的差转化成边，再用余弦定理转化，然后用基本不等式求最值2、点P是底边长为2若，高为2的正三棱柱表面上的动点,MX是该楼柱内切球的一条直径，则尸M2”的取值范围是_一 T4 * * . IT-B W _ gC2、解析：由题意知内切球的半径为1 ,设球心

11、为。，则 西灰=（丽而+ ON） = PQ +而*7 4两;丽7质二|呵-1 且 画的最大值是点闸正三楼柱顶点的距离上计算可得 网的最大值是后,|用|的最小值等于内切球的半径L于是1曰所卜二再?两亡0用评析：在向量的计算中，尽量把所求向量转化到已知模长的向量的向量，如果有垂直向量 就转化到垂直向量，就可以简化计算，同时也可以建立坐标系，用坐标法来解在平面向量中有些常用的规律和方法也必须掌握，这样给解题带来方便规律方法=（孙）2）1、夹角公式8s8 =需=卬产、HM +弘 & +巧推广:0 = cos 8 = 1锐角=0 cos 8 1 = 0 一 aAb五种情况夹角为直角=cos 8=0钝角=-1 cos 6 0 =a岳cos6 = -l2、平面向蚩的常见向量模型 模型一重心模型i、G是 AB