三重积分重积分习题

1、三重积分iiizdv1.将I= Q 分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果.其中C是由曲面Z= 12-X2y2及z=x 2 +y 2所围成的闭区域.分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面2222上，由于是由两张曲面个方程所组成的方程组z =N2 -x -y及Z = X +y，而由这两极易消去z,我们把它投影到 xoy面上.然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把C的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可.z= 2 X22y2，解 将。投影到xoy平面上，由自=X + y 消去z得(x 2 +y 2

2、) 2 =2-(x 2 +y 2 ),或 (x 2 +y 2 +2)(x 2 +y 2 -1)=0 ,于是有x 2 +y 2 =1 ,即知，Q在xoy平面上的投影为圆域D ： x 2 +y 2 El . TOC o 1-5 h z 22为此在D内任取一点Q(x ,y),过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过C .穿入时碰到的曲面为z=x +y ,_222_22_222离开时碰到的曲面为 z=、2x -y (不画图，仅用代数方法也易判断z = x y Mz=2_x y ),这是因为x2+y2 1)(1)直角坐标系 下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找 z的变化范围从而化为三重积分.因此再由 D: H

3、YPERLINK l bookmark6 o Current Document 2222x2+y2Wl,有z=x +y Ez=d2x -y ，于是在直角坐标下，夏可表示为-1 x1, 一41 - x2 y J1 一x2,q .、x2 -y2 EzE j2-x2 _y2, 于是有11 -x22e2-y2dx dy zdzI= t工？x2+2(2)柱面坐标下z= v2 一 P2 ,再由投影区域首先把Q的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2 +y 2表示为z= P2 , z= J2 X2 一 y2表示为D为x2+y2W1.故0P 15 0 0 2 .于是C可表示为0 6 2n,0 P 1,P2 z

4、 J2 P2.将所给三重积分中的体积元素du用du =阳Pd8dz去替换，有 TOC o 1-5 h z 2-12 _122 . HYPERLINK l bookmark36 o Current Document zd：.， ii i z：d：dudz , dudpdzI= Q = Q = 00 江(3)球面坐标下cos222用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面 z=X2+y2变为P=Sin巾；曲面z=V2X - y变为P=0 2 .由C在xoy平面上的投影为x2+y2 E1知0 W8 2n，下边找户的变化范围.正z轴在G内，即。内有点P,使0P与oz夹角为零，即 e的下界为零.又曲面 z=X

5、2 +y 2与xoy平面相313T切，故寺的上界为2 ,于是oM E 2再找P的变化范围.原点在Q的表面上，故 P取到最小值为零.为找P的上界，从原点出发作射线穿过 Q ,由于夏的表面由两张曲面所组成，因而P的上界随相应的 户的不同而不同.为此在两曲面的交线2一y上取一点*A(0 , 1, 1),故A所对应的71JI 1 JI9 2时,r的上界由曲面cosr= sin ,所给，故这时.cos一 cot csc,即r的变化范围为因此T 42/2,当0 * w三时,4cot*,当-4cos qsin2 .r 2sin dr - .1 d d r cos0 二 04r2 sin dr由Q的特点(在x

6、oy平面上的投影为圆域，而建本身不是千或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时2 二 12-r22 二 1d dr rzdz d; ! r00 r2_22zr 7_ 7=2h 24 =12 冗.小2(1)计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式.(2)不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标.球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球 面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分.本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用 球面坐标的.(3)还应注意面积元在不同坐标下的不同形式；并且在直角坐标

7、系中，更应该强调学会使用对称性、奇偶性、切片法、换元法、投影面方程的求法等;in z. x2 y2 z2d、22-.计算三重积分Q,其中C是由曲面x2+y2+z2=i及z=v3(x +y )所围成的区域.分析C为球面和圆锥面所围成的区域.故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标.同时，被积函数 中含有因式x 2 +y 2 +z 2 ,故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标.解 在球面坐标下，球面 x 2 +y 2 +z 2 =1的方程为r=1 ,锥面z=*3(x +y )的方程为tan*= 3 ,即 6 ,又z轴的正向穿过 夏故巾的下界为零，因此将C投影到xoy面，由方程组消去z得x

8、2 +y 2 = 4 .因此0 w日w 2n.该锥体的x2 + y2 + z2 = 1, z = 3(x2 y2)顶点在原点，故r下界为零，由穿线法可知三1,故0ErEl.于是hiZ x2 y2 z2dvliir4 cos sin drd d1Qn2 二石1，d sin cos d ： r dr二00=2 二小结当积分区域为由球面与锥角一 0所围成的球锥体时.若锥题的顶点为原点，且Z轴正向穿过积分区域，则有 0 W * W *0 ,且r的下界为零，上界由球面的方程所给出.i(y2 - z2)dv,2.计算Q其中C是由xoy平面上的曲线y =2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域分析

9、：投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z用极坐标代换.还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于 y,z皆为偶函数.因此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关于某相应变量的奇偶性先进行化简. TOC o 1-5 h z 2y2122122解曲线y =2*或*= 2绕x轴旋转得的旋转抛物面方程为x= 2(y + z工故c由抛物面x=2(y +z)与z=0所围成.由于被积函数分别是y和z的偶函数，而积分区域关于平面y=0及z=0都对称，因此! (y2z2)dv! (y2z2)dv=4=4 Q，其中夏，为。在第一卦限内的部分X =1(

10、y2z2),22由lx =5知，建在yoz平面上的投影为y z 10 . Q 在yoz平面上的投影为yoz平面冗0 9 -,2W P V10,2E x E 5. TOC o 1-5 h z 上第一象限内的1/4个圆，因此有2(y2 z2)dv!(y2 z2)dv ! 2：d：dudx 4 2d，10：3.52dx于是 -44 c=00下二 J(5.置)：3d：匹=202=3.小2(1)当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分 化简，其原则为 G关于平面Z=0对称，f(x,y,z)关于z是奇函数时，积分为零；f(x,y,z)关于z是偶函数时，所求积il

11、l f (x, y, z)dv分为2，其中C 为C被z=0所分的上半个子区域，其余类同.如本题，由于我们把(2)对柱面坐标，清楚这是把积分区域投影到哪个平面时就做的相应的柱面坐标变换,。投影到 yoz 平面，就有 y= cos ,z= sin,x=x ,类似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过建的坐标轴如果不是 z轴而是x轴或y轴.球面坐标公式x=rsin cos 71,邛 Ay=rsin sin -,中 z=rcosIII (z3 z2 z 1)dzQ的值,in f dv _ 124.证明当f(z)连续时,。=Lf (z)(1z )dz,并用此公式计算其中 c： x2+y2 +z2 -1分析

12、积分区域见图3,题目要求把三重积分化成只剩下对z的定积分，我们可以把它看作对该三重积分先计算一个关于 x,y的二重积分再计算对z的定积分.显然这种计算方法和我们前边的计算方法是不同的，前边的计算方法(如例1, 2)是先将。投影到坐标平面xoy上得投影区域 D,计算时先对z积分再计算在 D上的二重积分，比如练习题1在直角坐标下可看作22-y2dxdy 好 zdzD即采用 “穿线法”，本题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后垂直于z轴的平面截C得一平面区域Dz ,在每个Dz上作对x,y的二重积分，然后再把这些积分值累加起来，既再对z从-1到1积分.22解由G的表面方程为x + y+

13、z2 =1知，z三匚1,1，既C在轴上的投影为线段匚1,11，在(一1,1)内任取一点z,过z作垂直于z轴的平面截建得一平面区域Dz： X2+y2工1Z2.于是Dz的面积为ng z2).因111 f (z)dz = dz 11 f (z)dxdy = f (z)dz 11 dxdy =二Dz1f (z)(1 - z2)dzJ1in (z3z2 z 1)d -二(z3 z2 z 1)(1 一 z2)dz 勺二当f(z尸z 3+z2 +z+1时，有Q旦=8小结“切片法”适用于被积函数为某变量的一元函数，而垂直于相应坐标轴的平面截建所得截面面积易求(表示垢时的情形.一般的，若被积函数为x的一元函数f

14、(x)时，作垂直于x轴的平面;被积函数为y时，作垂直于y轴的截面；被积函数为 *(z)时,作垂直于z轴的截面.5.求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2+y2 = R2 及222 x +z R所围立体的表面积.分析该两圆柱面直交时所围立体处在八个卦限内.其表面为8 M2个面积相等的曲面，我们只经计算其中一个曲面面积即可.要注意计算曲面面积时，要找其在坐标面内的投影区域.要注意向哪个坐标面作投影要依据曲面方程而定解为计算该住体的表面积.我们只须计算图(a)4阴影部分的面积S1再乘以16即可.该曲面的方程为 z= VR2 x2 .它在xoy面上的投影为D=x,y)x2 +y2 R2,x*0,y )0)

15、：z：:xxR2 - x2于是H1 +(-,x)2dxdy = j R 二S1=d ：R2-x2d，R2-x222, R -xdxdy dx00RR2 -_ 2dy = R x亦称“切片法”，即先将夏投影到z轴上得线段-1,1.在(-1, 1)上任意点z作一故 S=16S1=16R .确定选用何种坐标，一般要从积分区域与被积函数两方面考虑，通常可参阅下表米用坐标积分区域的特点被积函数的特点球面坐标球，或球被圆锥面所截得的球锥体（特殊情况下为半球体），或两同心球面所围的立体及被圆锥面所截得 的主体.2 .2 .2f(x y z )或被积函数含有因式 x2+y2 +z2柱面坐标不适用球面坐标，但积分区域在坐标面上的投影适用于极坐标者2.22,2,2 + y % + y + z % f(x y ), f(x y)2 .2或被积函数含因式x +y直角坐标其他情形2 12 p2 n Eh6.设均匀柱体密度为P,占有闭区域 一 二x, y,z）x y _R ,0_z_h求它对于位于点 M0（0,0, a）（ah）处的单位质量的质点的引力分析 用公式求引力时，要注意利用当P三常数时.以及立体对坐标面的对称性，来简化计算.解。是一位于xoy面上方的圆柱体，它关于 xoz面yoz面都是对称的，因此有FX =FY=0F面计算FzF