数学经典易错题会诊与高考试题预测16

1、实用文档经典易错题会诊与2012届高考试题预测(十六)考点16复数复数的概念复数的代数形式及运算复数概念的应用复数的代数形式及运算经典易错题会诊命题角度1复数的概念1.(典型例题)若zi=a+2i,Z2=3-4i,且亘为纯虚数，则实数a的值为.42考 场 错 解zi+a+2i,z2=3-4i,4 _ + 2i _ (。+ 20(3 + 40 _ 3。-8 + (6 + 4。 _ 3。-8 J +z7 = 3-4 = (3-40(3 + 4/) =9 + 16= 25 + 25 ,又.亘为纯虚数。专家把脉,复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数的充要条件是a=0且bwO,因此上面解答虽然答案是正确

2、的，但解答过程错了，在由宇=。解得a=5时还需满足黑工。对症下药.Z=a+2iz=3-4i,Z| _ a + 2i _ (o + 2i)(3 + 4i) _ (3a-8) + (6 + 4a)i _ 3。-8 6 + 4。.z7 = 3-4/ = (3-4iX3 + 4i) =25= 25 + 25 12 = o,.义为纯虚数，FJ5解得 TOC o 1-5 h z t=-. 3专家把脉.zR。=z.z为纯虚数oz+=0(zW0)因此上面解答应用的是Z为纯虚 数的充根条件，因而求出的t是Z15为纯虚数的结果，显然是错误的。对诊下药解法 1：Z1=( 3+4i) (t-i)= (3-4i)(t+

3、i)为实数，.4t-3=0 ,4解法 2 ： . Zlz2 R / - -Zlz2 = 0Z2/. (3+4i)(t-i)=(3-4i)(t+i)n ( 3t+4 ) +(4t-3)i=(3t+4) + (3-4t)i=4t-3=3-4tn t=44 .（典型例题）已知z是复数，z+2i上均为实数（i为虚数单位）,且复数（2+ai）2在复平面上对应的点在第一象限。求实数a的取值范围。考场设 z=x+yi(x/yGR)；/z+2i=x+(y+2)i由题意得y=2_7 = 4(x+2)(2+i)=l(2x+2)+l(x-4)i.由题意得x=4.z=4-2i.v(z+ai)2=4+(a-2)i2=(

4、12+4a-a2)+8(a-2)i（z+ai）2在复平面上的点在第一象限，,实数a的取值范围是2, 6。专家把脉复数z=a+bi(a、bR)对应点(a. b在第一象限的充要条件是a0,b0.二0对应点在虚轴上;b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a/2 , b/6o 对症下药设 z=x+yi(x、yGR)./z+2i=x+(y+2)i由题意得，y=2又二= 壬，)=1 (2x+2)+ - (x-4)i.由题意得：x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i根据条件，可知解得2a0实数a的取值范围是(2,6、专家会诊.深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、幅

5、角、辐角主值、共鸵复数的概念和 得数的几何表示一复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点(a、b )及向量而是 对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上 的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。.要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,bR),但有时给许多问题 的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。考场思维训炼1若复数a + 3i1 + 2/(aGR J为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为a + 3i (6/+ 3/)(1-2/) 。+ +

6、(3 - 2。 a + b 3-2a1 + 2/ (1 + 20(1-2/)i.依有题意有0 = 05解得6.3 一 2a 八工052复数z二若-1，在复平面内，z所对应的点在C.第三象限Z二土I + i三=一 m4 = T + i,z所对应的点在第二象限内选B 1+/ 1+13设复数z满足彩=,，则|l+z|二答案：c解析：由三1 + Z1-/ (I-/)2.Z = = = T1 + i 2.|1+小|1止出+ 12 = 6 选C.4已知复数zi满足(1+i) zi=-l+5i , a?=a-2-i.其中i为虚数单位,aGRo若 |zl-三卜，求a的取值范围。答案：解：由题意得q =产；=2

7、 + 3,于是15一可1=14一a + 2il=，（4一。/+ 4. I5 1=疽由 7（4-n）2+4 而,得/ -8。+ 7 0./.laP _ 2S(1-V3/)1 + 44选D。专家把脉上面解答似乎很有道理，但（； + ） 5= （ -； +当）34是错误的5=4 在数范围内,必须是m、n均正整数时才成立，这一错误是机，械地照搬实数集中分数指 数黑运算法则，所以对于数学中的有关定理、定义、法则、性质等，在应用时，必须注 意成立的条件，否则会产生错误。5 1 J3 5对症下药选A。原式二1与1 = =与t=_16（令“，=- |z|2- Vio =2i|z|0. |z|eRo |邛-而R

8、而2i|z|为纯虚数或0。当|z|二0。显然不成立；当2i|z|为纯虚数，也不成立。综合得：原方程无解。专家把脉以上解答错在两边取模的计算，因为|Z1 + Z2| = |Z1| + |Z2| ,只有当Z1二入Z2 (A R+)时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。对症下药原方程化简为|z|2+ (1-i) z-( 1+i) z=l-3i.设z=x+yi(x,yR),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=l-3i.x2 + y2 = 1(I)2x + 2y = 3(2)将(2 )代入(1),整理得 8x2-12x+5=0 (*)a=-16ja = -4b = 25设i是虚数单位，复数

9、2和/7满足zw+2iz-2iw+l=0(1)若z和w又满足Kz=2i，求z和w值。答条：z = 27,/. z = iv-2/ 代人工.+ 2五-2河+1 = 01tl得2iX+ 21)-2iw+1 = 0 :.HrH -4/H+ 2hv + 5 = 0.设卬=,T + M*.y e R),则上式可变为(x + wXa - W)-4i(x + 货)+ 2i(x yi) + 5 = 0n x2 + y2 + 6v + 5-2a7 =0a=0, v = -5-2x = 0 x = 0阳 v =:.h, = -/, z = -i或w = -5i. z = 3i.(2 )求证：如果|z|二石，那么|

10、w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。答案:由 wz+2iz-2iw+l=0有 z(w+2i)=2iw-l /.|z|w+2i|=|2iw-l|设w=x+yi,则有I iv + 2/1=1 x + (y + 2)/1= Jx2(y + 2)2 = J +/+4y + 4I 2iw-1 IT -2y-l + 23 1=42尸 +1户+4/ = J4M+4/+外 +1 又|z|=3,故式可变为3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+l/.x2+y2-8y=ll. J H -4/1=1 x + (y-4)i 1=+(y4)4=x2 + y2 -8y +16=J16 + U =36的值是常

11、数,且等于3H探究开放题预测预测角度1复数概念的应用下列命题中：(1)两个复数不能匕瞰大小;(2 )若z=a+bi,则当且仅当a=O,b/O时，z为纯虚数;(3)( zl-z2 ) 2+ ( z2-z3 ) 2=0 ,则zl=z2=z3 ;(4 ) x+yi = l+io x=y=l;(5期实数a与ai对应则实数集与纯虚集一对应。其中正确的命题的个数是()A . 0 B . 1 C . 2 D . 3解题思路关键是理解复数及其有关的概念，证明它们之间的关系，若对复数概念理 解不透彻，导致判断失误。解答选A都不正确:(1)因为当两个复数是实数时，可以比较大小；(2 )若 b=i 时，则有 z=0

12、+i2=-lGRo(3 )只有当ZK Z2、Z33R时,命题才成立,当z1=l, z2=0 , z2=i满足条件,故结论 不成立。(4 )只有当x、y R时，命题才正确。(5 )若a=0 ,则前=0,不再是纯虚数。2 .复数 z=log2(Z2-3x-3)+ilog2(x-3),当 x 为何实数时。(l)zeR;(2)z为虚数；(3 ) z为纯虚数;(4) z =log449-i; ( 5 )在复平面上z的 对应点们于第三象限。解题思路讨论此类问题时，首先将原式化为复数z=a + bi(a,bR)的形式,然后根据 复数的分类求解。解答(11.,一个复数是实数的充要条件是虚部为0 ,.解得 x=

13、4,当 乂二4 时，xGRolog2(A-3) = 0(2 ) T复数是虚数的充要条件是虚部 0。.,2-3k-30解得上更x4log2(x-3) 02即xW(当红,4) U(4,+ 8)时，Z为虚数。(3 ) ,一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为零。.咋2(1-3-3)=。解得x e即x不存在。 log2(x-3)*0.(4 ) log2(x2-3x-3)-Hog2(x-3)=log49-i,根据两个复数相等的条件:log2(x2 - 3x -3) = log4 49log2(x-3) = 1解得 x=5，当 x=5 时,z=log449-i.(5)例意有阿(-3.3)0log2a-3

14、)0解得二旦x4.当 若I x4时，复数z对应的点位于第三象限。 2预测角度2复数的代数形式及运算.计算：(1)匚(2) (1-V3/)5解题思路利用w的性质和in的周期性进行运算。解答(1 )原式=工=变？ = 2卬=2( +9)=-1 +而 1 V3 5- 21-5-2h-622丐F(2 ) J=AjIOOl = / + ( 2 )1003 = 1003 = 2.l + 2,3i I2，.设复数zn2：+3(i ,若z2+az+b=1+i,求实数a、b的值。2 + 1解题思路与实数集中求值问题类似，应先化简后代入求值。解答Z=(1 + i)2 + 3(1-D _ 2i+3(l-0 _ 3-

15、i _ (3-/X2-0 _ 5-5i 2+Z= 2i- = 2+7 = (2 + /X2-/) = 5将 z=l-i 代入 z2+az+b=l+i 得(l-i)2+a(l-i) + b=l+i即(a+b)-(a+b)i = l+i= 1.-Q + 2) = 1.3.若zee,且|z+2-2i|=l,则|z+2-2i|的了小值是()解题思路运用数形结合的思想求解。解答B|z+2-2i|二L 即 |z-(2+2i)|二l.点z的轨迹是以(-2,2)为圆心，以1为半径的圆|z-(2+2i)|表示圆上一点到定点A ( 2,2 )的最小距离|AP|=|AC|-1 =；(2+2)2+02-1 =4-1

16、二3。4设z是虚数，w=z+L为实数，且1yw2.Z(1 )求|z|的值及Z的实部的取值范围。,求证：u为纯虚数。(3)求W-U2的最小值。解题思路设z=a + bi(a,bR,bwO)代入w整理为w=x+yi形式w是实数的条件去创造等量关系。解答(1)设z=a+bi(a,bR,bHO)w=a + bi+!+-土下)i.a + bi ci+Zr a +/.w是实数，bHO./.a2+b2=lfBD|z|=lo,.w=2a,-lw2.，z的实音B的取值范围是(-1,1)(2 1 Z _ a - bi _ (1 力i) _ (1 + 9定义运算=ad - be,若复数Z=x+yi(xzy G R)

17、满足的模等于x ,则复数Z对应的点Z ( X/y )的轨迹方程为.答案：V2 =2(汇一，),解析：lz-ll=x = (x-l)2 + y2 = d n y2 = 2q-L). 2210 ( 1-4 ) 1。的展开式中所有奇数项的和为.答案：-2。解析:v(i-技出=1一九技+。得(技)2_扁(技尸+. (1-同1的展开式中奇数项之和为星数(1严的实部，又(1 -囚严=-2(-。+争严=2叫3 = / W = 2叫-。+?/) = 4 .(1-旧i)。的展开式中各奇数项和为-29.11已知z2=5-12i,求f(z)=z的值。Z答案 解 设 z=z+yi(xlyR)厕 z2=( x+yi )2=x2-y2+2xyi 由题设得 x2-y2+2xyi=5-12i.t5 =解得x = 3 F = ：32av = -12)? = -2 y = 2z=3-2i 或 z=-3+2i,|z|2:13.f(z)=z- _L = z- = = z(l -L)=Z Izl2 Izl2 13当 z=3-2i 时，f(z)有(3-2i).当z=-3+2i时，f(z)=-j|(3-2i)12设复数z满足|z|二5，且(3+4i )z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|后-加|二5人(mR ).求z