5、一维随机变量及分布

1、复习常见的离散型分布 两点分布 二项分布 泊松分布 全部可能的取值； 取值的概率. 随机变量 X 分布列分布函数概率分布与分布函数的关系?连续型离散型分布函数的特征概率函数或分布律或概率分布 F(x)= P(X x)0 pk 1 F(- )= 0， F(+ )= 1; F(x)是 x 的非减函数; P(a a) = 1- F(a);X 0 1pk 1- p p只有两个互逆结果的 n 次独立重复试验 (n+1)p 二项分布的逼近式其图形是右连续的阶梯曲线在点 xk 处有跳跃，跃度为 pk在一定时间内出现在空间给定区域的随机质点的个数 在这个意义上，我们说 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列

2、， 也就知道了该随机变量取值的概率规律. 离散型随机变量由它的分布列唯一确定. 下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量我们介绍了离散型随机变量及其概率分布. 只要知道了随机变量的分布函数，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率. 连续型随机变量的描述方法. 令 X 为落入后这个质点到原点 O 的距离，解 显然 X 为随机变量，3 连续型随机变量全部可能取值有无穷多，而且充满一个(或若干)区间而不能一一列举 类似于前面对离散型随机变量的讨论，对于连续型随机变量我们首先关心的是： 分布函数 其取值的概率规律 例1(P.65 例7) 如何描述它取值的概率规律. ？设有一质点等可能地落入区间0,

3、2内， 求 X 的分布函数. 且可能取值充满了区间0, 2， 当 x 0 时，F(x)= P(X x)故 X 的分布函数为 = P( )= 0;当 0 x 2 时， F(x)= P(X x)= x / 2； 当 x 2 时，F(x)= P(X x)= P(X 0)+ P(0 X 2)+ P(2 X x) = 0 + 2/ 2 + 0 = 1. 非负函数不能象离散型那样, 以指定它取每个值的概率的方式去给出其概率分布1 . .0 1 2x F . 可积 连续函数 简称为概率密度或密度. 对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 若存在非负可积函数 f (x)，使得对任意实数 x，有 则称 X 为

4、连续型随机变量， 由定义一、连续型随机变量的概率密度称 f (x)为 X 的概率密度函数，定义1(P.63定义3) 密度函数的基本特性： (1) f (x) 0 ；= 1 - 0 1 ； (2) P(x1 X x2) = F(x2) - F(x1) (3)(4) (5) = 0 判定一个函数 f (x) 为某连续型随机变量的概率密度的充要条件独点概率非负性 规范性 可微性 概率公式 y O xy = f (x) 面积为1x1 x2 若 f (x) 在点 x 处连续， 则 P( X = x0 ) = 0 . P(aXb)= P(a Xb)= P(aXb )= P(aXb ) 几乎不可能事件几乎必

5、然事件 P(A)= 0 A = ； P(B)=1 B = . X 取值于(x , x+x的概率=其密度在此区间上的积分可积 连续型的分布函数必连续 所以，若已知密度函数，该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述. 即在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. 注意，密度函数 f (x) 在某点 a 处的值，并不等于 X 取值的概率. 这表明 f (x)x 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P X= xk= pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似. 它表明随机变量 X 取值于区间(x , x+x的概率近似等于 f (x)x；但这个值越大，则 X 取 a 附近的值的概率就越大.

6、 如果我们把概率理解为质量， 恰好是 X 落在区间 ( x , x+x 上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这表明 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值， 若 x 是 f (x) 的连续点，则= f (x) 对 f (x) 的进一步理解:则 f (x) 相当于线密度. 由极限概念知 质量 连续型随机变量由它的密度函数所唯一确定. 例1(P.66例8) 设随机变量 X 的概率密度为(1) 确定常数 A； (2) 求 X 的分布函数 F(x); 解(1) (3) 求 P(0X1). 由概率密度定义知 当 x 0 时，当 0 x 1)=1- P(X1)F(1) P(0X1) = F(1)-

7、F(0) 用概率密度求 例1(P66.例9) 设随机变量 X 的分布函数为(1) 确定系数 A ; (2)求 P(|X| 0为常数，记为 XE( ). 2. 指数分布指数分布的分布函数： F(x) O x1 如电子产品或动物寿命的分布, 一般地, 当随机质点流中在长 t 的时间内出现的质点数服从参数为t 的泊松分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 的指数分布. = 1 定义2(P.66定义) 若连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) O x 。 寿命 X 服从参数为0.05 的指数分布，解 X E(0. 05), (1) P(0 X 20) 例4(P.66例9) 从某项寿命试验

8、的数据中知，(1) 求 P(0 80|X 50); 事件 X 80X 50， P(X 80|X 50) 即有 - 0.05 x x ) x ) 0.1 , 则 x 取值应在什么范围内？回忆一个重要的二重积分： 若连续型随机变量 X 的概率密度函数为 则称 X 服从参数为 和 的正态分布，正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态分布， 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.定义3(P.69 定义) 记为 XN( , 2 ). f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 - 0 为常数， 3. 正态分布所以通常称为高斯分布.

9、由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点. 在各种分布中具首要地位正态分布密度的性质 (1) 在 x = 处取到最大值故 f (x)以为对称轴，令 x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得且 f (+c)=f (-c) f (+c) f (), f (-c)f ()x =为 f (x) 的两个拐点的横坐标. (2) 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方,且关于 x = 对称，对密度函数求导：= 0 ， (3) 密度曲线 y = f (x) 有拐点即曲线 y = f (x) 向左右伸展时,越来越贴近 x 轴. 当 x 时，f (x)

10、 0+, 决定了图形中峰的陡峭程度若固定 ，改变 的值，反之亦然， 则密度曲线左右整体平移. (4) f (x) 以 x 轴为水平渐近线; 正态分布 N( , 2 )的密度函数图形的特点: 两头低,中间高,左右对称的 “峰” 状 若固定 ，改变 的值， 决定了图形的中心位置 决定图形的中心位置; 但每个因素所起的作用不大. 经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布. 正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；射击目标的水平或垂直偏差，测量误差， 从直方图，我们可以初步看出, 年降雨量近似服从正态分布. 用上海99年降雨量的数据画出了频率直方图. 下面是我们用某

11、大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.可见, 男大学生的身高应服从正态分布. 除了上面提到的年降雨量和某地区成年男子的身高、体重外,农作物的产量，小麦的穗长、株高； 在自然现象和社会现象中大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布.生物学中同一群体的形态指标， 电子元器件的信号噪声、电压、电流； 拟合的正态密度曲线有很多分布还可以用正态分布近似. 而正态分布自身还有很多良好的性质. 若影响某一数量指标的随机因素很多， 每一因素独立， 服从正态分布若随机变量 X N( , 2 )， 则 正态分布的分布函数X 的分布函数 下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布 = 0 , = 1 的正态

12、分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用 (x) 和 (x)表示：可查表得其值 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 求 P(X 2. 5)及Y N(0, 1) 设 XN ( , 2 )， P(-1.64 X 2. 5)= 1-(2. 5) P(X 0. 5)= F(0. 5) 查表得= 0. 6915 ; = 1 - 0. 9938 = 0. 0062 ; P(-1.64 X 250) = 1- P(X 250) = 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 . 再看一个应用正态分布的例子上一讲我们已经看到，当

13、n 很大，p 接近 0 或 1 时，二项分布近似泊松分布; 可以证明，如果 n 很大，而 p 不接近于 0 或 1 时， 二项分布近似于正态分布. 例8 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以下来设计的.问门高度应如何确定? 解 设车门高度为 h cm, 按设计要求应有 P(Xh)0.01或 P(X 0. 99 ， h=170+13.98 184 . 设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若 XN( , 2 )时，要求满足 P(X x0)= p 的 x0 ： P(X x0)= p 已知1987 年全国普通高校统考物理成绩XN(42,36),这表明

14、有16%的考生成绩超过48分， 如果某考生得48分,求有多少考生名列该考生之前?例9 (确定超前百分位数、排定名次)解 由条件知即求 P(X48)， 查表可知即84%的考生名列该考生之后.= 1-(1), 即成绩高于甲的人数应占考生的16.9%,对于录取考试人们最关心的是 自己能否达到录取分数线？ 自己的名次？ 某公司招工300名(正式工280,临时工20名),例10 (预测录取分数和考生名次) 解 设考生成绩为X,最低分数线为 x0, 166, X N(166,932)，(1)(预测分数线) 考后由媒体得知：考试总平均成绩为166分,360分以上的高分考生有31人. 考生甲得256分,问他能

15、否被录用？如录用能否被录为正式工？ 有1657人参加考试,考试满分为400分.高于此线的考生频率为 300 / 1657 高于360分的考生频率为(2)(预测甲的名次) 当 X=256 时, P(X256) 这表明高于256分的频率应为0.169,排在甲前应有甲大约排在283名. 故甲能被录取,但成为正式工的可能性不大. P(X360)类似计算可得，= 0. 9974 例11(P73.例13) 设 XN( , 2 )， 解 求 P(|X-| k ) k=1,2,3 . P(|X-| 3 ) = P( - 3 X u ) = 的数 u 为标准正态分布的上侧 分位数；定义4(P.74 定义)设 X

16、N(0 , 1 )，0 u )= 1- P(Xu ) 称满足等式 P(|X|u/2 ) = 的数 u/2 为标准正态分布的双侧 分位数； (x) O xu (x) O x / 2 / 2-u/2u/2= ， = 1-(u ) (u )= 1- ， 可查表得值类似可得 (u/2 )= 1- /2 ， 若 XN( , 2 )时，要求满足 P(X x0 )= 的 x0 ： (u )= 1- u 若某校有200名初一学生,按能力分成5组参加某项测验,求各组分别应有多少人?例12（按能力分组）学生学习能力一般服从正态分布,解 设学习能力X N (0,1),由三 原则,则每组应占6/5的范围, 由三 原则

17、,可认为 X 落在(-3, 3)内, (x)x-3 3查表可知 由对称性可知 A 组和E 组应有2000.034587 (人) B 组和D 组应有2000.2383747 (人) C 组应有200-472-72 = 92 (人)现分成组距相同的五组 A,B,C,D,E(如图), -1.8 -0.6 0.6 1.8A B C D E随机变量 X分布函数离散型连续型 分布列 密度函数 复习其图形是右连续的阶梯曲线 其图形是连续曲线 f (x) 常见的分布均匀分布、指数分布、正态分布离散型连续型两点分布、二项分布、泊松分布超几何分布、几何分布x p(x)0 f (x)x0 特征非负 规范 至此，我们

18、已介绍了两类重要的随机变量:全部可能的取值取值的概率分布是判定一个函数是否为某随机变量X的分布列或密度的充要条件.F(X)= P(X x) P x1 X x2 = F( x2) - F( x1) 在 f (x)的连续点， 由于改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质,故可在 没意义的点处任意规定 f (x) 的值.是判定一个函数 f (x)是否为某连续型随机变量X 的概率密度的充要条件.P( X = x0 )= 0 P(aXb)= P(a Xb)= P(aXb )= P(aXb ) 分布函数概率分布与分布函数的关系?分布函数的特征 F(x)= P(X x)F(- )= 0， F(+ )= 1; F(x)是