一次函数与反比例函数

1、第一讲：一次函数与反比例函数知识梳理.一次函数：.正比例函数：一般地，形如 y kx(k为常数,且k 0)的函数叫做正比例函数，.正比例函数的图像是一条经过原点的直线。.正比例函数的性质：当k0时，直线ykx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大;当k0时，直线ykx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小。. 一次函数：形如y kx b(k,b是常数,k 0)的函数，叫做一次函数。5. 一次函数的图像和性质：.常用直线的表达式：(1)平行于x轴的直线;(2)平行于y轴的直线;x 轴;y 轴;一、三象限角坐标轴夹角平分线解析式 ;(6)二、四象限角坐标轴夹角平分线解析

2、式 ;(7)过原点且与x轴夹角30的直线解析式 (8)过原点且与y轴夹角30的直线解析式 答案:(1) y a(2) x a(4) x=0(5) y=x(6)y= x3x x3(8)7.直线yik1x b1 与直线 y2k2x b2当当当当k与b满足k与b满足k与b满足k与b满足两直线相交，求交点坐标条件时，两直线平行;条件时，两直线重合;条件时，两直线相交;条件时，两直线垂直;8.如图，在直线L上找一点,k1卜2且b2; k1k2; k1 k2使它到点 A和点B的距离和最小。Byk1x b1yk?x b2A.答案:PA+PB= PA PBAB9.如图，从点A出发,先到直线Li上某一点，然后再

3、到直线L2上某一点，最后回到点B,请你确定最短路线。答案:AM MN NB二.反比例函数：B1AL1AM MN NBAB1.反比例函数的三种表达形式：y.1kx ；xy k （其中k是不等于2.y随x的增大而减小; y随x的增大而增大。零的常数）k反比例函数的性质：反比例函数y 中，x当k0时，图象在第一、三象限，在每个象限内,当k0)与双曲线y 交于A( x1xy1)，B ( x2, y2)两点,则 2x1y2 7x2y1 =100k例6如图，矩形OABC的面积为 ,它的对角线 OB与双曲线y 相交于点D,且 OB:OD=5 : 3,则 k=。k例7如图，已知双曲线 y （X 0）经过矩形O

4、ABC边AB的中点F,交BC于点E,且四边形OEBF的面积为2,X则k=例8两个反比例函数点 Pl, P2, P3,y 3, y 6在第一象限内的图象如图所示,x xP2 009在反比仞函数y 6图象上，它们的横坐标分别是X1, X2, X3,，X2 009,纵坐标分别X是1, 3, 5,，共2009个连续奇数，过点Pi, P2, P3,，P2 009分另作y轴的平行线，与 y3 的图象交点依次是Qi（X1,yi）,Q2（X2,y2）, Q3（X3,y3）,，Q2 009（X2 009 ,y2X009), 则 y2 009 =O 1K-N例9如图，直线y x 1与x轴，y轴分别交于点 A, B

5、,以线段 3AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，/ BAC=90 ,如果在第二象限内有一点1、 rP(a,-),且MBP的面积与 ABC的面积相等，求a的值。k、，一例 10直线 y=kx (kw)与双曲线 y 交于点 A(x 1, y1), B(x 2, y2)，且 yi 、236;x点C(x3,y3)在双曲线上，且x1 0 x3 x2 ,求y3的取值范围。 1 k例11如图，直线y x与双曲线y (k 0)交于A, B两点，且点A的横坐标为4。2xk .(1)求k的值；(2)右双曲线y (k 0)上一点C的纵坐标为8,求4AOC的面积； xk(3)过原点O的另一条直线L父双曲线

6、y (k 0)于P, Q两点(P点在第一象限)， x且由点A, B, P, Q为顶点组成的四边形的面积为24,求点P的坐标。例12已知：在矩形AOBC中，OB 4, OA 3。分别以OB, OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。F是边BC上的一个动点(不与 B, C重合)，过Fk ,点的反比例函数 y - (k 0)的图象与AC边交于点E。 x(1)求证：zAOE与ABOF的面积相等；(2)记S SAoef Saecf ,求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)请探索：是否存在这样的点 F ,使得将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB 上？若存在，求出点 F的坐标；

7、若不存在，请说明理由。典型例题答案例1:解析:例2:解析:k 1例3:答案： 1 m 0答案：6y x 3y kx kk 31 k4kk 11, 2, 4,k3, 1,0,2,3,5答案：(1)卷(1) 2(3) 91234解析:S ABES CDES OBD11AB | yE | 221八2CD |Xe |1OB OD 21212522325323325122394 一1 八例4:答案：y x 32解析：x2 428 x 2 x2 16 x2 16x 6416x 48 x 3M (0, 3) , A (6, 0)6kb 0b 3例5:答案：20y2解析；x1 y1 x2 y2 4,x1x2,

8、 y12xi y2 7x2 yi 2 x2 y 7x2y25x2 y220例6:答案：12解析：S 0AB50S ODE3S OAB2OD S ODEOB 503S ODE 6例7:答案：2解析： 双曲线与BC的交点E也是BC边的中点S EOBS BOF S FOA一一,2由已知，S 0AF1k=2, y x4 过点B的双曲线的解析式为y -x例8:答案:解析：40172要求y2009 ，yP9nnq2 2009 14017P2009只要求x2009 ,x2009624017 1339只要求yP2009y200932133940172而 yP 2n 1Pn例 9:解：A (43,0), B (

9、0, 1),AB=2-1c ccSABC22 22S ABPS OBP S OBA S AOP 2,3 82y kx例 10：解： k kxyx k 0 x2 1k 2 kx kxx 1 x1 0 xx11,x2y y236kx1 kx236 k2136k2 36k 6y 6x当 k=6 时， 6 A 1, 6,B 1,6 y xy36y 6x当 k 66 A 1,6,B1, 6y36例 11:解：（1）在 y gx中，当 x=4 时，y=2。丁点A横坐标为4,且A点在直线y x上点A的坐标为（4, 2）k .一 A点的双曲线y - k 0的图象上 x. k 2 4 8（2）如图所示，过点 C

10、、A分别做x轴的垂线，垂足为 E、F丁点C在双曲线y 上，当y=8时，x=1 x点C的坐标为（1,8）8点C、A都在双曲线y -S梯形 CEFAS COA SxAOFS CDE S AOF 4S CDES CDES 梯形 CEFAS COA 15S弟形 cefa2 8 3 152（3） .反比例函数图象是关于原点O中心对称的图形OP=OQ , OA=OB四边形APBQ是平行四边形 TOC o 1-5 h z 1c1S POA二SP行四边形APBQ二246448设P点横坐标为m （m0且m 4）,则P（m, ） m过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为 E、F丁点P、A在双曲线上S BOQ S AO

11、P 4若0 m 4,如图S POAS AOFS POES梯形 PEFAS弟形 PEFAS POA6,解得 m=2 或 m= 8 (舍去)P (2, 4)若m 4 ,如图, S AOF S梯形 AEFPS AOP S POE 二 S梯形 PEFA S POA 6-12 - m 462 m解得m 8或m 2 (舍去)P (8, 1)点 P 的坐标是 P (2, 4)或 P (8, 1)说明：此题是反比例函数和一次函数以及四边形的综合题，考查学生灵活驾驶所学知 识解决问题的能力。例 12： (1)证明：设 E(xi, y1)，F(x2, y), AOE 与 FOB 的面积分别为 Si ,kS2,由题

12、意得y ,ky 一X2c 11 , cSi- xiyi77k，S22212 x2y22kSi S2 ,即zXAOE与AFOB的面积相等. 一 . kk(2)由题意知：E, F两点坐标分别为E匕,3 , F 4,k 34 HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 111Saecf-ECgCF-4-k HYPERLINK l bookmark129 o Current Document 22312 kSA ECF12 k k Saecf22SAOEFSA ECF-11112 k 2SA ECF 12 k 24 k 3 k234112k2 k6时，S有最大值

13、12(3)解：设存在这样的点 F ,将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边点，过点E作EN OB,垂足为N由题意得：EN AO 3, EM八1八1EC 4 k, MF CF 3 -k34Q EMN FMBFMB MFB 90, EMN MFB又 Q ENM MBF 900 ENM szMBF .EN EMMB MF3MB4 1k_3_3 1k414 1 k12112k21-3 -k ，解得k2189MB -4222QMB2 BF2 MF2,BFk 214 32存在符合条件的点F ,它的坐标为2132【模拟试题】一.选择题：.设b a ,将一次函数y bx a与y ax b的图象画在平面直角

14、坐标系内，则有组a,b的取值，使得下列 4个图中的一个为正确的是（） TOC o 1-5 h z ABCDa b b c c a ,、.已知abc 0,并且 p,则直线y px p 一定通过（）cabA.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限.下列图象中，不可能是关于 x的一次函数y mx m 3的图象的是（）ykx b,当 3 x 1时，对应的y值为1y 9 ,则kb的值为（ ）A. 4 B. 6 C. 4或 21 D. 6或 14.如图，一次函数 y kx b的图象经过 A、B两点，则kx b 0的解集是（）A.x0 B. x2 a- a b 一.已知a b,且

15、a 0,b 0,a b 0 ,则函数y ax b与y 在同一坐标系x中的图象不可能是（）7.如图，已知A是一次函数y=x的图象与反比例函数 y 2的图象在第一象限内的交点, x点B在x轴的负半轴上，且 OA=OB ,那么 AOB的面积为（）A. 2B-i2k 一 一 TOC o 1-5 h z .函数y kxbk 0与y - k 0在同一坐标系中的图象可能是（）.如图，正方形 OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点 F在AB上，点B、，一 1-.在函数y - x 0的图象上，则点 E的坐标是（）xB.D.5 15 1A., HYPERLINK l bookmark121 o Curr

16、ent Document 22,5151C., HYPERLINK l bookmark177 o Current Document 2210.如图，P是函数y2x0图象上一点，直线 yx 1交x轴于点A ,交y于点B, PMOx轴于 M,交AB于E, PNXOy轴于N,交AB于F,则AF - BE的值为 ( )A. 2 B. 2C. 11D.2E二.填空题:1.若一次函数ym 3的图象如图所示，则 m的取值范围是.设直线nx n(n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn (n=1,2,，2005),贝U S1+S2+S2005的值为().如图，一次函数 y kx b的图象过点P(1, 4

17、),且分别与x轴、y轴的正半轴交于点A、B,当 AOB的面积最小时，k,b的值为4.函数y1x 1与y2么使yi, y的值都大于零的5.在平面直角坐标系中,ax b的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那x的取值范围是o已知 A ( J3,1 ) , O (0, 0), C ( J3 , 0)三点，AE 平分/ OAC,交OC于E,则直线AE对应的函数表达式是k.如图，li是反比例函数 y 在第一象限内的图象，且过点 A (2, 1), 12与li关于XX轴对称，那么图象12的函数解析式为 (x0)。.如图，函数y X与y 4的图象交于 A、B两点，过点 A作AC，y轴于C点,X则 B

18、OC的面积为。.若反比例函数y k3的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是x k.已知双曲线 y 经过点(一1, 3),如果 A (ai,bi), B (a2,b2)两点在该双曲线 x上，且 a a2 0,那么 b|b2。，上一 a ，一,4八一.如图， PiOAi、P2A1A2都是等腰直角三角形，点 Pi、P2在函数y - x 0的图X象上，斜边 OAi、A1A2都在x轴上，则点 A2的坐标是 。三.解答题:1.如图，已知直线PA是一次函数 y x n n 0的图象，直线 PB是一次函数y 2x m m n的图象。(i)用m,n表示出A、B、P点的坐标;(2)若点Q是PA与y轴的交点，且四边形 PQOB的面