1中山岭南学院金融系

1、Estimation with S1A中山大学岭南学院金融系2007.071这是我在西安交通大学中心读博期间整理的学习笔记。非常感谢导师先生带我走进中心的 程建博计量经济学 的多彩世界，并介绍给我一非常难得的朋友 - SA。同时，也要感谢士 (现就职于建行总行博士后站) 和博士 (现就职于国家开发总行) 在 LATEX的使用方面给与的帮助。 如果发现笔记中有任何错误和不妥之处，或是对我还没有想出来有任何解决)的建议， 烦请发邮件给我。同时，我已经完成的笔记 (共 12 章) 都可以在博客 ( http:/中，欢迎光临。由于这些笔记还在不断更新中，所以恳请各位将阅读过程中发现的小错误及时反馈给我

2、， 我会将的名字做成列表，定时发送版的笔记给。目录1122344456781313151616171718191920222223275.15.2简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .OLS 估计的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..25.2.3OLS 估计的有效性 . . . . . . . . . . . .

3、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .统计推断 OLS 估计的方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .拟合优度 R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3自相关的检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...45.3.5基于

4、大样本的一般性检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .解释变量严格外生时的AR(1) 自相关检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .解释变量非严格外生时的AR(1) 自相关检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . .高阶自相关检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SA 实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5、 . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4GLS 估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...4AR(1) 过程 AR(2) 过程 AR(4) 过程MA(1) 过程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5FGLS 估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...4AR(1)过程 AR(2)过程 AR(4)过程MA(

7、1)过程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6异方差和

8、序列相关形式未知时的OLS 稳健性估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2Newey-West 估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wooldridge 估计方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7SA 实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9、. . . . . . .本章附录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I5.1简介在分析时间序列时，一个常见是自相关，或随机干扰项的序列相关。尽管截面分析有时也会存在自相关，但主要发生在时间序列模型中。模型的基本设定如下：y = X + (5-1)其中，E = 0 ， Var() = = 2 。一般假设 服从一个稳定的随机过程，因此其均值和方差都不依赖于 t 。于是，11 2 1112T 11T 2221 T 3(5-2) = = . . . .T 1

10、.T 2.T 3.1其中， s = E t , ts/ 2 = E t , t+s/ 2 for1, 2, , 表示两个相隔 s 期的干扰项之间的相关系数。显然，矩阵 中含有 T (T 1)/2 个未知参数，为了使模型可以估计，须对矩阵 具体形式进行设定，以便减少参数的个数。 矩阵 具体形式的设定就对应着对随机干扰项自相关形式的不同假设。 最为常用的就是假设干扰项服从AR(1) 过程，即t = t1 + ut(5-3)2其中， | 1 时，无法计算检验统计量。ct 检验当 Ts2 1 时， Durbin 建议采用如下渐进等价方法： 用 et 对 xt , yt1, , et1 做回归 (也c可

11、包含 yt 和 et 的高阶滞后项) ，进而采用传统的 t 统计量检验 et1 项系数的显著性。这里在回归式中加入除 et1 以外的其它回归项的作用就在于控制解释变量的非严格外生问题。因此，从本质上讲它与上一小节中介绍的 t 检验是等价的。 如果回归式中存在异方差， 可以很容易地采用White 公式得到具有异方差稳健性的t 统计量。Durbinh 检验是基于大样本的，其在小样本下的表现并没有一致的结论，在某些情况下其检定力非常低， 小样本下的检验结果也往往与大样本下有较大的差异。不过，目前还没有一个明显优于Durbinh 检验的方法。5.3.4高阶自相关检验Breusch-Godfreys L

12、M 检验该检验可视为在第(5.3.3) 小节中介绍的t 检验的扩展。 其原假设为：H0 : 不存在序列相关被择假设为：H1 : t = AR(q) 或 t = MA(q)检验的步骤如下：用 yt 对 xt 做OLS 回归，得到残差 et ， t = 1, 2, , T ；用 et 对 xt , et1, et2, , etq 做回归，t = (q + 1), , T ， 得到拟合优度 R2 ；计算LM 统计量：LM = (T q)R2 2(q)LM 统计量要求满足同方差假设：Var(ut |xt , ut1, , utq) = 2.但可以通过变换得到异方差稳健统计量（Wooldridge,19

13、91），在 S(5-16)A 中，bgodfrey 命令在上述回归过程中加入了 xt 项，所以即使便是在考虑异方差的情况下进行该检验的。由于原始模型中包含非严格外生的解释变量，该检验仍然是适用的。因此，若解释变量 都是严格外生的，即 X e = 0 ，那么在上述回归中，可以省略 xt 项。同时，也可以对所有 et 的滞后项作联合 F 检验，如果在较高的显著水平上（如 5% ）了原假设， 就认为存在序列相关。由于该检验的被择假设对应着两种自相关的结构，所以在对干扰项的具体形式作进一步的判断，以便于后面的估计。原假设的情况下还需要5.3 自相关的检验8Q 检验在原假设 6= 0 成立的条件下，如果

14、解释变量严格外生，该检验渐进等价于 LM 检验， 检验统计量为：pX22Q = Tr ( P)(5-17)jj =1其中，PTe et t j t = j +1r =PjTe2i =1 i可以采用Ljung-Box 建议的修正统计量：对于小样本而言，Pr 2XjT jQ0= T (T 2(5-18).j =1研究表明 LM 检验和 Q 检验都有很好的检定力，但滞后阶数 q 的选择往往比较，对此在后续专门探讨时间序列的章节中还会作进一步的。5.3.5SA 实现首先介绍序列相关的检验方法，继而用一个简单的实例来说明几种可能产生序列相关的原因。 所用的数据来源于SA8.0 自带的数据friedman

15、2.dta ，输入如下命令调出数据：去除原始数据中的缺漏值，继而进行对数化和差分处理：这里 tsset 命令的作用在于告诉 SA分析的是时间序列资料，时间标示变量是 time 。这样 SA 就会自动将所有观察值按照变量 time 进行排序，只有如此才可以在接下来的分A 提供的一套专门针对时间序列资料令。3析中使用S要进行D-W 检验，只需在完成OLS 回归后输入dws命令即可：输出结果为：3在第八章介绍面板数据时还会用到此命令，其作用在于同时截面变量和时间变量，如 tsset code year 。qui reg consump m1 m2 dwsdrop if m1=.tsset time/

16、*declare the dataset to be time-series*/foreach var of varlist cons m1 m2 gen ln_var = ln(var)gen dln_var = D.ln_varuse D:sa8adoExlesTFilesfriedman2.dta, clear9此值非常低，表明的模型中存在正的序列相关。依据 (5-11) 式，可很方便的计算出一阶自相关系数：这里r(dw) 是前面执行dws命令后得到的返回值。 4作为对比，检验：分别采用原始数据的对数形式和对数差分形式进行回归后再进行序列相关可见，当对原始数据进行了取对数和差分处理后，O

17、LS 模型已基本上不存在序列相关的问题了。 事实上，对原始数据和取对数后的数据进行的根检验都表明二者是含有根在第11章进行介绍。这里的，即均为 非平稳序列。至于非平稳序列在回归中产生的影响仅需知道当模型中存在 非稳定时间序列时， OLS 往往是有问题的。同时，也可以认为差分的过程去除掉了一些随时间变化 较慢的干扰项的影响，而这些的存在很可能导致序列相关问题。 另一方面，也可以通过绘制回归残差的时序图来作出粗略的判断。图 5-2 绘制了以上三种回归得到的残差的时序图，可以看出对原始数据和取对数后的数据进行回归得到的残差存在 明显的正相关关系，而经过差分处理的数据回归得到的残差了。不存在明显的序列

18、相关下面说明遗漏变量产生的影响。假设如下回归对应着正确的模型设定形式，其D-W 检验结果为：4要看到所有返回值，可采用 return list 命令。. dwsDurbin-Watson d-sistic( 3, 158) = 1.623562. reg dln_consump dln_m1 dln_m2. qui reg ln_consump ln_m*. dwsDurbin-Watson d-sistic(3, 159) = .0686131. dis rho= =1-r(dw)/2 rho=.96569347. qui reg dln_consump dln_m*. dwsDurbin-

19、Watson d-sistic(3, 158) = 1.623562. dis rho= =1-r(dw)/2 rho=.18821888. dis rho= =1-r(dw)/2 rho=0.98601764Durbin-Watson d-sistic( 3, 159) = .02796475.3 自相关的检验10图 5-2: 数据的非平稳性导致的序列相关查表可知， k = 3 , T = 100 对应的 dL 值为 1.61 ，所以不存在显著的序列相关问题。 假设在分析中遗漏了变量m2 ，那么相应的结果为：如果在模型的设定中遗漏了m1，那么得到的结果为：可见，在两种遗漏变量的情况下，的检验

20、结果都表明存在序列相关。进一步会发现，所遗漏的 变量越平滑，导致的序列相关问题越严重。从上面的结果来看，猜测变量 m2 要比m1 平滑。下面的结果证实了这一点：4002000200400600.1.050.05.1. qui reg dln_m1 L.dln_m1. dis _bL.dln_m1 0.58713586. qui reg dln_m2 L.dln_m2. dis _bL.dln_m2 0.6359475. qui reg dln_consump dln_m2. dwsDurbin-Watson d-sistic( 2, 158) = 1.58292. qui reg dln_co

21、nsump dln_m1. dwsDurbin-Watson d-sistic( 2, 158) = 1.3924151960q11970q11980q11990q12000q1time1960q11970q11980q11990q12000q1timee_lne_dlne_lne_dlne_ols11因此，当检验表明存在序列相关时，应首先检查模型的设定是否正确，在排除这个嫌疑以后，再想办法处理“真正”的序列相关问题。在解释变量严格外生的情况下，也可以采用 5.3.2 小节介绍的t 检验：输出结果如下：可见，残差滞后项的t 值为 46.19 ，相应的P 值为 0.000 ，表明存在显著的序列相

22、关问题。 而我们此处得到的相关系数(0.981) 与根据D-W 检验值计算出的数值非常接近。此方法可以扩展为针对高阶自相关的F 检验，可以采用test 命令：当解释变量非严格外生时，可以采用 5.3.3 小节介绍的 Durbins h 检验或 t 检验。 下面以解释变量中包含被解释变量的一阶滞后项为例说明。进行Durbins h 检验令为 durbina :输出结果为：进行t 检验令为：. predict e, res. reg e L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2 L.eDurbins alternative test for autocorrelationla

23、gs(p) |chi2dfProb chi2-+- 1|12.02710.0005H0: no serial correlation. reg dln_consump L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2. durbina. qui reg e L.e L2.e. test L1.e L2.e (1) L.e1 = 0(2) L2.e1 = 0F( 2, 154) = 1125.58 Prob F = 0.00000e1|Coef.Std. Err.tP|t|95% Conf.erval-+-e1|L1 |.9807905.021235446.190.000.9388

24、4451.022737_cons|.0004358.00076130.570.568-.0010681.0019396. reg ln_consump ln_m1 ln_m2. predict e, res. reg e L.e5.3 自相关的检验12结果显示L.e 的t 值和P 值分别为-3.46 和 0.001 。验：也可以durbinh 命令来完成上述t 检输出结果为：细心的读者会发现，此处得到的结果与上面手动计算出的结果是一致的。对于高阶自相关，可以采用F 检验，下面是检验AR(2)令：输出结果为：若需进行Breusch-Godfreys LM 检验，则只需在回归后执行bgodfrey

25、 命令即可: 5输出结果为：其中，选项lag(2) 用于指定自相关的阶数，对于小样本还可以增加small 选项：当然，也可以手动计算上述结果：5也可以从网上bgtest 命令，它的使用方法和原理与 bgodfrey 命令基本相同。. bgodfrey,lag(2) smallBreusch-Godfrey LM test for autocorrelationlags(p) |chi2dfProb chi2-+- 2|148.97720.0000H0: no serial correlation. reg ln_consump ln_m1 ln_m2. bgodfrey,lag(2)F( 2,

26、 149) = 6.44 Prob F = 0.0021. reg e L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2 L.e L2.e. test L.e L2.eDurbin-Watson h-sistic: 0.0928273 t = 1.13013 P-value = 0.2602. reg dln_consump L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2. durbinh13在第 5.3.4 小节所介绍的 Q 检验，可以采用 ac 和 pac 命令进行分析。由于 这部分至于内容在第 11 章时间序列分析中详加介绍，这里就不再赘述。65.4GLS

27、估计本节中假设在 6 已知的情况下，采用第四章介绍的 GLS 进行估计。当 6 未知时， 我们就需要采用FGLS 估计模型，这将在下一节中介绍，但本节的内容是基础。5.4.1AR(1) 过程在处理序列相关的过程中，应用的最多的是假设随机干扰项服从 AR(1) 过程，此时模型可以表示为：yt = x0t + t t = t1 + ut(5-19)(5-20)可以对模型做22其中， E u = 0 , E u = , E u u = 0t 6= s) , | s ， t 均不与 ut 相关，所以，s 2uCov(t , ts) = E t ts =(5-25)1 2结合(5-24) 和(5-25)

28、 两式，可以得到任意两个时期干扰的相关系数为：Cov( , )t t 1s= (5-26) =sVar(t )至此，(5-2)式就可以表示为：1 22 1T 1 T 2 T 311 22 (5-27)8 = 6 = . . . .T 1.T 2.T 3.1假设 已知，那么 6 也是已知的，那么模型(5-19) 的GLS 估计量为： = X0 61X1X0 61y,(5-28)样本方差为：Var() = 2X0 61X1.(5-29)一般的处理方法是，首先求得 P 矩阵，使之满足 P0P = 61 ， 进而将模型(5-19) 转化为：y = X + (5-30)其中， y = Py , X =

29、PX , = P ，且 p1 201001000 0 P = (5-31),. .00.1= E 0000 227222 22v因为， Var( ) = Var) ，且 E v = 0 , 所以 = Var = E +v 2 v = +( )tttttttt 1t 1tt 1, 于是， t = t 1 + vt 。15那么， (5-28) 式的GLS 估计就可以转化为如下OLS 估计： = X X1X y(5-32)该转换通常称为“部分差分”(partial difference)、“准差分”(quasi difference)或“伪差分” (pseudodifference)。需要的是， 由

30、于在上述转换的过程中， 常数项被转换成(1 2)1/2, (1 ), , (1 ) ，所以在小样本下，拟合优度也就失去了其 常规意义，这与在第四章中异方差时的结果是一样的。5.4.2AR(2) 过程设随机干扰项服从如下 AR(2) 过程，此时模型可以表示为yt = x t + t= 1t 1 + 2t 2 + ut(5-33)(5-34)t其中， E ut = 0 , E u2 = 2 , E ut us = 0(t = s) 。模型的稳定性 条件为： 1 + 2 1 ,tu2 1 1 且 1 2 2(5-41)s = 1s1 + 2s2,5.4 GLS 估计16得到 6 矩阵后，满足 P0P

31、 = 61 的矩阵定义为： 000100010000u/ qq22221 1 121P =(5-42)021 ,. .00.00.110000 其中， 12/221 +1 ) ( )(221(5-43)u/ =1 2如果 1 和 2 均已知，那么运用OLS 对如下变换后的模型进行估计，y = X + 其中， y = Py , X = PX , = P 。得到的GLS 估计量为 = X0 61X1X0 61y 。(5-44)5.4.3AR(4) 过程当采用季度数据进行实证分析时，假设干扰项服从 AR(4) 过程可能更为合理。但一般并不采用完整的 AR(4) 过程，而是做如下设定：t = t4 +

32、 ut(5-45)Thomas and Wallis(1971) 认为，对于不同的年度，只有相应的季度间才具有明显的相关性。其处理方式与 AR(1) 过程极为相似， GLS 估计量是建立在如下变换基础之上的：(p1 z2t = 1, 2, 3, 4,tz =(5-46)tzt zt4t MA(1) 过程尽管在多数情况下都会将序列相关的干扰项设定为自回归的形式，但经济理论中也的确存在一些干扰项服从移动平均(MA) 过程的实例。而且，将干扰项设定为MA 或ARMA 过程也往往更能反应数据的真实生成过程。 此时，模型设定为：yt = x0t + t(5-47)ut 1(5-48)t =

33、22其中， E u = 0 , E u = , E u u = 0t 6= s) ，同时满足可逆条件 0)；且有 = (1u1 + 201 + 20000 1 + 2000 (5-49) =,. . . .00.00.00.1 + 2.1 + 2111相应的GLS 估计量为： = X X Xy12uXX 。1及 Var() = 由 1 = /(1 + 2) 可知， 1 分别在 = 1 和 = 1 时取得最大值 和最小值，分别为 0.5和0.5 。因此，自相关性较强的序列( | 0.5) 不可能服从 MA(1) 过程。至于高阶的MA 过程，可以参考Judge 等(1985) 第八章。5.5FGL

34、S 估计当 未知时，可以采用FGLS 估计，主要包括如下两个步骤：1. 估计 矩阵中的参数，得到 。如在AR(1) 的设定下，定下，需要估计 。需要估计 ，在 MA(1) 的设2. 用 代替 5.4 节中给出的GLS 估计量中的 ， 得到 = X 1X1X 1y 。当然，也可以采用迭代的方法，重复以上步骤多次直到前后两次的估计系数不再有明显变化为止。 因此，这里主要介绍 中参数的估计方法。5.5.1AR(1)过程在AR(1) 的设定下， 主要通过以下几种方法获得：1. 样本相关系数 估计量为： Tet et 1t =2(5-50) = Te2ti =1其中， et 为 OLS 估计的残差。也可

35、以将 视为回归式 et = et1 + ut 中系数 的估计值，只是此时 (5-50) 式中的分母 部分不包含 e1 。Theil(1971) 给出了另一个针对小样本的修正统计量： T(T K)et et 1t =2 =2. D-W 统计量 由(5-11) 式可知，(5-51). Te2(T 1)ti =11 = 1 2 d该估计值与上面的介绍的样本相关系数非常接近。(5-52)5.5 FGLS 估计183.Durbin 估计量 该方法基于对(5-21) 式的变换:yt= yt1 + xt 0 x0t 1 + ut(5-53)000+ x x0 + ut001 ) + y= (1t 1tt 1

36、00000000其中， x0t = (1, x ) , = ( , ) 。因此，0可以用 y 对常数项、 y、 x 以及 x1tt 1ttt 1做回归，得到的 yt1 项的估计系数即为 。Theil-Nagar 修正估计量 针对模型中含有部分非常平滑的解释变量的情况， 8 Theil 和Nagar(1961) 提出了如下估计量：4.T 2(1 d/2) + K 2(5-54) =T 2 K 2其中， d 为D-W 统计值。该统计量是基于对 d 的均值和方差的近似得到的。5.Hilderh-Lu(1960) 搜索法 由于 介于 -1 和 1 之间，所以可以在此范围内进行搜索以得到能使模型 (5-

37、21) 的残差平方和最小的 值，作为 的估计值。为了得到全局的最小值，可以先在一个 较大的范围内以较大的步长进行搜索，继而一步得到的搜索值附近以一个较小的步长作进一步的搜索。 如，可以先在 (-0.9, 0.9) 范围内，以每次增加 0.1 的步长对模型 (5-21) 进行估计，假设得到的 最优值为 1 = 0.65 ；然后就可以在 (0.55, 0.75) 的范围内以每次增加 0.01 的 步长对模型 (5-21) 进行估计，本次得到的 2 值即可视为 。5.5.2AR(2)过程在实际操作中，需要首先估计 1 和 2 ，继而得到转换模型 (5-44) 。 如果用1和 2 代替 (5-42)

38、式中的 1 和 2 ， 得到 P , 并进而得到 6 ，那么相应的 FGLS 估计量为 = (X0 6 1X)1X0 6 1y 。为了估计 1 和 2 ，可以先求得OLS 的残差 e = y Xb ，继而采用以下几种方法进行估计。1. 依据样本自相关系数 求得OLS 的残差后，可以得到样本自相关系数，PTe et t s t =s+1s = 1, 2(5-55) =PsTe2ti =1它们可以作为 1 和 2 的估计值。然而，对于小样本而言，它们可能存在较大的偏差（参见Malinvaud ,1970, pp.517）。将 1 和 2 代入 (5-39) 和(5-40) 式即到 1 和 2 的估

39、计值：1(1 2)1 =(5-56)21 12 21(5-57) =221 18所谓平滑是指变量的当期观察值与前期观察值间的差异相对于其绝对数值而言非常小，也就是说 变化非常缓慢。192. 回归法 这与上一小节的方法极为相似， 1 和 2 的估计值可以通过对下式做OLS 回归得到，et= 1et 1 + 2et 2 + vtt = 3, 4, , T(5-58)非线性估计 Tu2 最小时对应的 1 , 2 和 。其中ee采用非线性估计的基本思路是找到使得+12t =2 te 和 e 由 (5-36) 和 (5-37) 两式定义。 由于 e 和 e 的定义方式不同于 u2, t = 3, 4,

40、, T ，所t1212以通常采用以下渐进等价的修正估计方法： Tu2 ，以获得 1 、 2 和 的估计值；1.最小化t =3 t T2x , u2 = y2 1 y1 (x2 1x1) 2e02.最小化u ，其中 u = y e e111 02 1t =1 t由此可获得 1 、 2 、 、 e0 和 e1 的估计值； Tu2，以获得 1 、 2 和 的估计值。3.设定 ee = 0 ，最小化= 10tt =1可以采用迭代或数值算法 (如 Gau相关内容。ewton) 进行估计，具体可参考第8章非线性估计部分5.5.3AR(4)过程对于AR(4) 过程，可以通过如下回归得到 的估计值：et =

41、et4 + ut ,其中， et 为OLS 估计的残差。5.5.4MA(1)过程t = 5, 6, , T.(5-59)在 5.4.4 小节中，已经得到当随机干扰项服从MA(1) 过程时的GLS 估计量为， = X 1X1X 1y(5-60)211() = X XVar(5-61)可以u其中有两个未知参数需要估计： 和 2 。由于 OLS 估计仍然是无偏且一致的，所以u利用OLS 的残差 et 来估计这两个参数。由(5-48) 式可知，222Var1 + )( ) = = (tu可以采用如下估计式，T 1T22221 + ) =e(5-62) = (utt =1此式中包含两个参数，无法求解。可

42、以利用 t 和 t1 间的协方差构造如下估计式：T 1T2Cov(t , te e(5-63) = =1t t 1ut =25.6 异方差和序列相关形式未知时的OLS 稳健性估计202由于 e 是 的一致估计，根据“大数法则”可知，由 (5-62) 和 (5-63) 解得的 和 是 和 ttuu可以得到如下 FGLS 一致估计量： = X0 6 1X1X0 6 1y1的一致估计量。据此，(5-64)21Var X0 6X(5-65)() = u当然， 可以通过对 6 矩阵进行 Cholesky 分解，得到 P 矩阵后 对转换后的模型进行 OLS 估计。操作的过程中仅需估计 ，这可以利用 在 5

43、.4.4 小节中 解得一阶自相关系数 1 = /(1 + 2) ，构造如下估计式：PT 1 + et et 1t =2(5-66)1 =PTe2ti =1得到 ，进而得到 6 = 6 () 。 但由于进行 Cholesky 分解的形式较为复杂， 9就不再深入分析，有的读者可以参考Judge 等(1985, pp.299-304) 。5.6异方差和序列相关形式未知时的 OLS 稳健性估计当对序列相关的具体形式一无所知时，可以仍然采用 OLS 估计系数，但推及推论需要知道， OLS 估计量的渐进分布为：基于其方差的渐进分布得到稳健性估计。T ( )d N (0, Q1Q1)(5-67)xx X0

44、0X 1其中 Qx =X0X， = lim E的目的在于得到 的一致估计量。设 mt = xt t ，。TTt 则TTXXX =x 0=mt ttt =1t =1因此， ! !#TTXX1mtm0t = limEt Tt =1t =1假设 mt 是协方差稳定的 ( mt 与 mts 间的协方差不依赖于 t ) 。mt与 mt v(5-68)这里，间的自协方差定义为： 100v = E mt m0t v 一般而言，有如下性质存在：1.mt 是序列相关的，这是因为 t 的序列相关性，所以 0v = E mt m0t v 6= 0 ；同期相关性( E mit m0j t 6= 0 ) ，这是因为一般

45、而言 xt 是相关的。2.223.异方差性( E m = ) ，这是由解释变量的异方差性决定的。i ti9不过，利用 SA中的矩阵函数可以很轻易地做到这一点。10显然， E mt m0t +v = 00v 。21由于自相关的形式未知，所以也就无法进行一些含有参数的设定。近期的研究主要集中于采用非参数方法来得到 一致性估计上。下面，如下设定对此作一简单介绍。首先，需作 TT 1mtm t T = E T(5-69)t =1t =1将等式右边展开，整理得： 11T 1T 21 (5-70) T = +( + ) +( + ) + +(+ )012T 112T 1TTT显然， v 的一致估计量为：T

46、T 1T 1T vm m或m m (5-71)=ttvt vvt vt =v+1t =v+1其中， m t = xt et ， et 为OLS 估计的残差。 于是， T 的估计量为：T 1T 21 T 1 T= +( + ) +( + ) + +(+ )012T 112TTTT 1(5-72) T v = +( + )0vvTv=1但一般而言，该估计量是不一致的。因为参数的个数大于样本数，并且其增加速度比 n 要快，所以无法得到当 n 时的估计式。为了得到 T 的一致估计量，需要作一些限制。假设随着 v ， v 会以相当快的速度趋向于 0 ，可以得到如下修正统计量：q(T ) T(5-73)=

47、 +( + )0vvv=1p其中，随着 T , q(T ) 是一致估计，因为已经 假设 q(T ) 增加的足够慢。至此，需要强调以下几点：干扰项的自相关会随着时间的拉长而逐渐的假设在多数情况下都是非常合理的。比如，最常用 AR(1) 模型 ( | 1 ) 就具有这个性质。因此，这里 q(T ) 的值越大就表明会包含较多的控制可能存在的序列相关问题，尽管序列相关形式是未知的。这里省略了 (T v)/ T 项，因为给定 q(T ) 相对于 T 仅缓慢增加，对于所有的 v F=0.0000Residual | .013753691156 .000088165R-squared=0.9860-+-Ad

48、j R-squared =0.9858Total | .983357802158 .006223784Root MSE= .00939ln_consump |Coef.Std.Err.tP|t|95% Conf.erval-+- ln_m1 |.282468.06554314.31 0.000.1530015.4119345ln_m2 |.8169021.0542766 15.05 0.000.7096902.924114_cons | -.2435428.1682721 -1.45 0.150 -.5759286.088843-+-rho |.9806157Durbin-Watson sis

49、tic (original)0.068613Durbin-Watson sistic (transformed) 1.50868325robust 采用Huber/White/sandwich 公式估计系数的方差。clusterhc2 hc3分组变量，如、地区等，用于估计仅有组间存在相关性，而组内独立的情况。同在第四章中介绍的reg 命令的hc2, hc3 具有相同的含义。若需进行 5.6 小节中介绍的Newey-West 估计，可以采用newey 命令， 15 其基本语法格式如下：其中，选项 lag 对应 (5-74) 式中的 q 。所以，以下两条命令的效果是相同的，都是采用 White公式

50、估计系数的方差。若选定q=2 ，则可采用如下命令进行估计：有的读者可以对比一下这里得到的标准差和OLS 估计的结果，看看二者有何差异。至于当干扰项服从 AR(2)，AR(4) 或 MA(1) 过程时的估计方法，SA 中并没有专门令可供采用。 不过，可以根据前面介绍的理论知识，很方便的写出一些小程序进行估计。受限于篇幅，下面仅以 干扰项服从 MA(1) 过程为例 (见 5.5.4 小节) 进行说明，其它的处理命令均放置于附录中。15 SA 的使用者们还提供了该命令的两个扩展命令，分别为 nwest 和 newey2 。前者可以进行离散模型的 方差稳健性估计。后者则可以应用到面板数据模型中，同时也

51、允许使用工具变量。qui reg ln_consump ln_m1 ln_m2 qui dwslocal rho = 1 - r(dw)/2local phi = rho/(1-rho)/*see equation 66*/*= to form the matrix Sigmaz =/*see equation 49*/ local T = _Ntempname a bmat a = phi*I(T-1)mat b = J(T,T,0)mat S1 = b mat S12,1 = amat S2 = b mat S21,2 = amat Sigma = (1+phi2)*I(T) mat Si

52、gma = Sigma + S1 + S2mat P = cholesky(Sigma)newey ln_consump ln_m1 ln_m2, lag(2)newey ln_consump ln_m1 ln_m2, lag(0) regln_consump ln_m1 ln_m2, robustnewey depvar varlist weight if in,lag(#) noconstant level(#)5.7 SA 实现26mat P = Pmkm n_consump , mat(y) mkm n_m1 ln_m2 , mat(X) mat y_star = P*ymat X_star = P*Xsvmat y_star , names(y) svmat X_star , names(x)reg y x*/*estimate the transformed m*/27本章附录附录 1: 本章使用的主tsset dwsereturn list testcrcar1