上海市徐汇区位育中学2021届高三上学期期中数学试卷含解析

1、2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷，填空题（共12小题）.设集合 A=x|- 1x-2ab C. +b,2V|ab| D, a+b-2V|ab| TOC o 1-5 h z .若函数f (x) = sinx+acosx的图象关于直线对称，则a的值为()A.1B.TC.仃D. 一6.对于函数f (n) = 一 一:二(nCN*),我们可以发现f ( n)有许多性质，如：f (2k)|2|=0 (kCN*)等，下列关于f (n)的性质中一定成立的是()A . f (n+1) - f (n) =1f ( n+k) = f (n) ( kCN*)/ =f (n+1) +f

2、 (n) ( VO)D.，n+1)= l ( a+1) f (n)(# 0)16.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f (x-1)为偶函数，当xq。，1时，五, 若函数g (x) = f (x) - x- m有三个零点，则实数 m的取值范围是()A.5)B.11-悔，我T)C.亚二)鱼2)D. |(4kl-V2*44三、解答题17.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，/ ACB=90 , AB = 2AC = 2, D 是 AB 的中点.(1)若三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为33,求三棱柱ABC-A1B1C1的高；(2)若C=2,求二面角 D - B1C1-A1的大小.18.已

3、知函数 六工)=V百17 (a为实常数). -L(1)讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由；(2)当f (x)为奇函数时，对任意的 xQ1 , 5,不等式f a)喙恒成立，求实数u的最 W大值.某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为5喏米、圆心为60。的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶 点中有两个顶点 M、N在线段OB上，另两个顶点 P、Q分别在弧标、线段OA上.(1)若组成的红旗是长 PN与宽MN的长度比为3: 2的国旗图案，求此国旗的面积;(2)求组成的红旗图案的最大面积.已知抛物线y2=2px (p0),其准线方程为x+1

4、=0,直线l过点T (t, 0) (t0)且与抛物线交于A、B两点，。为坐标原点.(1)求抛物线方程，并证明：而?而的值与直线l倾斜角的大小无关；(2)若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d (t),求d (t)的解析式.设数列an的各项都是正数，若对于任意的正整数m,存在k玳*,使得am、am+八am+2k成等比数列，则称数列an为“Dk型”数列.(1)若an是“ D1型”数列，且我=13卷，求出的值;(2)若an是D2 型数列，且 a1 = a2=a3=1, a8=8,求an的前 n 项和 Sn;(3)若an既是 D2型”数列，又是 D3型”数列，求证：数列an是等比数列.、填空

5、题（共12小题）.1.设集合 A=x|- 1x2 , B=x|0 x 4,则 An B=x|0wxw2解：集合 A=x| - 1x2, B = x|0 x 4,所以 A n B= x| 1 W xw 2 n x|CK x 4 = x|0W x 22.故答案为：x|0wxw2计算:1 iniL 8-n+13n-l =解:- -a+1 nf gZn-l故答案为:已知复数z满足=i, i为虚数单位，则z= 1 2i解：;2+i2+iAi)=i,故答案为:1 - 2i.已知函数y=x3,则此函数的反函数是(xCR)解：函数f (x) = x3,反函数为f故答案为:5.已知x、y满足x+2y-3-2ab

6、 C, a+b2V|ab| D.a+b)-2 钟正解：对于A,当a0时，不等式a2+b2w 2ab不成立，故选项 A错误；对于B,因为(a+b) 20,所以a2+b2+2ab0,则a2+ b2 - 2ab,故选项B正确；对于C,当a0, b0,可得 4 (t)在I |t|递增，所以(j) (t) min = (j) (4) =3,因此不等式右在xqi, 5上恒成立时，u的最大值为3.19.某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为 |50方米、圆心为60。OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点 M、N在线段OB上，另两个顶点 P、

7、Q分别在弧耗、线段OA上，244的扇形(2)求组成的红旗图案的最大面积.(1)若组成的红旗是长 PN与宽MN的长度比为3： 2的国旗图案，求此国旗的面积;m l - ePN(2)设/ POB=贝U PN = 5(A/3sina , om =J-二所以&c“Q -50sinQ ,故此国旗的面积为*=50小0口 (50V3cosCI -SOsind ),整理可得 S二Z5Q0min(2口，其中a E S,4)因为2a -42L.12I66点2s啥)0)且与(1)求抛物线方程，并证明:口A?OB的值与直线l倾斜角的大小无关;(2)若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d (t),求d (t)

8、的解析式. 解：(1)由题意可知：准线方程 x= - 1,则-弓= - 1,则p=2,.抛物线的标准方程为：y2=4x,证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为 x= t,代入y2=4x得，A (t, 2/T) , B (t,-则由p= t2-4t,(kw0),则l的方程为x=my+t,则若直线l的斜率存在，设其斜率为 联立 a ,整理得：y2-4ky- 4t=0.4y =4x设 A (x1，y1), B (x2, y2),则 y1 + y2 = 4k, y1y2= 4t,x1x2= ( my1+t) ( my2+t) = m2y1y2+mt (y+y2)+t2 = t2.OA?OB= xx2+

9、yy2= t2- 4t,综上，爪?iS的彳112-4t与直线l倾斜角的大小无关；(2)设 P (x,斯)，则 I PT |2=(xt)2+(30)2=x2- 2 (t2)x+t2,(x由二次函数的性质可知：当对称轴x=t2V0,即 0vtv2 时，当 x= 0 时，I PT I 取最小值，最小值为t,当t-20时，即x=t-2时，取最小值，| PT I取最小值，最小值为 2口1，m,存在 kN*,使得 am、am+k、am+2kd (t)的解析式, 21.设数列an的各项都是正数，若对于任意的正整数成等比数列，则称数列an为“Dk型”数列.(1)若an是“ D1型”数列，且叼=1, a3=,求

10、口糜(叼+2+a/的值;(2)若an是 “D2 型”数列，且 ai = a2=a3=1, a8=8,求an的前 n 项和 Sn；(3)若an既是“ D2型”数列，又是“ D3型”数列，求证：数列an是等比数列.解：(1)若an是“D1型”数列，可得 am、am+1、am+2成等比数列，即有an为等比数列，设公比为 q, q0,且叼a3=y,1 L 一可得 q2,即 q = j,则前+%)=MT=j=2；12L 21(2)若an是“D2型”数列，可得 am、am+2、am+4成等比数列，可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，当n为奇数时，an=1；当n为偶数时，an=玲-1 ,当n为偶数时，前n项和&=学107 n n卜2 =药-1宁1-2国当n为奇数时，前 n项和Sn=Fi+才不一 -1 ；(3)证明：an既是“D2